《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第2節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與最大小值學(xué)案 文 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第2節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與最大小值學(xué)案 文 北師大版（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1

2、 1 第二節(jié)　函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值 [考綱傳真]　1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義.2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質(zhì)． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第9頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．函數(shù)的單調(diào)性 (1)單調(diào)函數(shù)的定義 增函數(shù) 減函數(shù) 定義 在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間A上，如果對(duì)于任意兩數(shù)x1，x2∈A 當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1

3、)＜f(x2)，那么，就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間A上是增加的 當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么，就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間A上是減少的 圖像 描述 自左向右看圖像是上升的 自左向右看圖像是下降的 (2)單調(diào)區(qū)間的定義 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是增加的或是減少的，那么就稱A為單調(diào)區(qū)間． 2．函數(shù)的最大(小)值 前提 函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈 條件 (1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M； (2)對(duì)于任意x∈D，都有f(x0)≤M (3)存在x0∈D，使得f(x)＝M； (4)對(duì)于任意x∈D，都有f(x0)≥M. 結(jié)論 M為最大值 M為

4、最小值 [知識(shí)拓展] 　 函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論 (1)對(duì)任意x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0?f(x)在D上是增函數(shù)，＜0?f(x)在D上是減函數(shù)． (2)對(duì)勾函數(shù)y＝x＋(a＞0)的增區(qū)間為(－∞，－]和[，＋∞)，減區(qū)間為[－，0)和(0，]． (3)在區(qū)間D上，兩個(gè)增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和仍是減函數(shù)． (4)函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”． [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)對(duì)于函數(shù)f(x)，x∈D，若對(duì)任意x1，x2∈D，x1≠

5、x2且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增加的．(　　) (2)函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　) (3)函數(shù)y＝|x|在R上是增加的．(　　) (4)函數(shù)y＝x2－2x在區(qū)間[3，＋∞)上是增加的，則函數(shù)y＝x2－2x的單調(diào)遞增區(qū)間為[3，＋∞)．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(20xx·深圳二次調(diào)研)下列四個(gè)函數(shù)中，在定義域上不是單調(diào)函數(shù)的是(　　) A．y＝x3 B．y＝ C．y＝　　　 D．y＝x C　[選項(xiàng)A，B中函數(shù)在定義域內(nèi)均為單調(diào)遞增函數(shù)，選項(xiàng)D為在

6、定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，選項(xiàng)C中，設(shè)x1＜x2(x1，x2≠0)，則y2－y1＝－＝，因?yàn)閤1－x2＜0，當(dāng)x1，x2同號(hào)時(shí)x1x2＞0，－＜0，當(dāng)x1，x2異號(hào)時(shí)x1x2＜0，－＞0，所以函數(shù)y＝在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，故選C．] 3．(教材改編)已知函數(shù)f(x)＝，x∈[2,6]，則f(x)的最大值為_(kāi)_______，最小值為_(kāi)_______． 2　　[可判斷函數(shù)f(x)＝在[2,6]上為減函數(shù)，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.] 4．函數(shù)y＝(2k＋1)x＋b在R上是減函數(shù)，則k的取值范圍是________． 　[由題意知2k＋1＜0，得k＜－.

7、] 5．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_______，f(x)max＝________. [1,3]　8　[f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第10頁(yè)) 函數(shù)單調(diào)性的判斷 　(1)(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) (2)試討論函數(shù)f(x)＝x＋(k＞0)的單調(diào)性． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090017】 (1)D　[由x2－2x－8>0，得

8、x>4或x<－2. 設(shè)t＝x2－2x－8，則y＝ln t在t∈(0，＋∞)上為增函數(shù)． 欲求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－2x－8的單調(diào)遞增區(qū)間． ∵函數(shù)t＝x2－2x－8的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞)， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞)． 故選D．] (2)法一：由解析式可知，函數(shù)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)內(nèi)任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝－＝(x2－x1)＋k＝(x2－x1)·. 因?yàn)?＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0. 故當(dāng)x1，x2∈(，＋∞)時(shí)，f(x1)＜f

9、(x2)， 即函數(shù)在(，＋∞)上是增加的． 當(dāng)x1，x2∈(0，)時(shí)，f(x1)＞f(x2)， 即函數(shù)在(0，)上是減少的． 考慮到函數(shù)f(x)＝x＋(k＞0)是奇函數(shù)，在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，故在(－∞，－)上是增加的，在(－，0)上是減少的． 綜上，函數(shù)f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上是增加的，在(－，0)和(0，)上是減少的． 法二：f′(x)＝1－. 令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－)或x∈(，＋∞)，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－)和(，＋∞)． 令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－，0)或x∈(0，)，故函數(shù)的單調(diào)減

10、區(qū)間為(－，0)和(0，)． 故函數(shù)f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上是增加的，在(－，0)和(0，)上是減少的． [規(guī)律方法]　1.函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y＝f(t)和內(nèi)層函數(shù)t＝g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則． 2．利用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，作差后應(yīng)注意差式的分解變形要徹底． 3．利用導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，求導(dǎo)運(yùn)算及導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷要準(zhǔn)確． 易錯(cuò)警示：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間，如本題(1)． [變式訓(xùn)練1]　(1)(20xx·北京高考)下列函數(shù)中，在區(qū)間(－1,1)上為減函數(shù)的是 (　　)

11、 A．y＝ B．y＝cos x C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x (2)函數(shù)f(x)＝log(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) (1)D　(2)D　[(1)選項(xiàng)A中，y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增加的，故y＝在(－1,1)上是增加的； 選項(xiàng)B中，y＝cos x在(－1,1)上先增后減； 選項(xiàng)C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上是增加的，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上是增加的； 選項(xiàng)D中，y＝2－x＝x在R上是減少的，故y＝2－x在(－1,1)上是減少的．

12、(2)由x2－4＞0得x＞2或x＜－2，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，－2)∪(2，＋∞)，因?yàn)閥＝logt在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－4的單調(diào)遞減區(qū)間，可知所求區(qū)間為(－∞，－2)．] 利用函數(shù)的單調(diào)性求最值 　已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)，且a≤1. (1)當(dāng)a＝時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值； (2)若對(duì)任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [思路點(diǎn)撥]　(1)先判斷函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上的單調(diào)性，再求最小值；(2)根據(jù)f(x)min＞0求a的范圍，而求f(x)min應(yīng)對(duì)a分類討論． [解

13、]　(1)當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝x＋＋2，f′(x)＝1－＞0，x∈[1，＋∞)， 即f(x)在[1，＋∞)上是增加的，∴f(x)min＝f(1)＝1＋＋2＝. 4分 (2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)． 法一：①當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在[1，＋∞)上是增加的． f(x)min＝f(1)＝a＋3. 要使f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3＞0， ∴－3＜a≤0. 7分 ②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f(x)在[1，＋∞)上是增加的， f(x)min＝f(1)＝a＋3， ∴a＋3＞0，a＞－3，∴0＜a≤1. 綜上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大

14、于零時(shí)，a的取值范圍是(－3,1]. 12分 法二：f(x)＝x＋＋2＞0，∵x≥1，∴x2＋2x＋a＞0， 8分 ∴a＞－(x2＋2x)，而－(x2＋2x)在x＝1時(shí)取得最大值－3，∴－3＜a≤1，即a的取值范圍為(－3,1]. 12分 [規(guī)律方法]　利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的重要方法，若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上是增加的，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(b)，最小值為f(a)． 請(qǐng)思考，若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上是減少的呢？ [變式訓(xùn)練2]　(1)函數(shù)f(x)＝的最大值為_(kāi)_______． (2)(20xx·北京高考)函數(shù)f(x)＝(x

15、≥2)的最大值為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090018】 (1)2　(2)2　[(1)當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)f(x)＝為減函數(shù)，所以f(x)在x＝1處取得最大值，為f(1)＝1；當(dāng)x＜1時(shí)，易知函數(shù)f(x)＝－x2＋2在x＝0處取得最大值，為f(0)＝2. 故函數(shù)f(x)的最大值為2. (2)法一：∵f′(x)＝－， ∴x≥2時(shí)，f′(x)＜0恒成立， ∴f(x)在[2，＋∞)上是減少的， ∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值為f(2)＝2. 法二：∵f(x)＝＝＝1＋， ∴f(x)的圖像是將y＝的圖像向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的．∵y＝在[1

16、，＋∞)上是減少的，∴f(x)在[2，＋∞)上是減少的，故f(x)在[2，＋∞)上的最大值為f(2)＝2. 法三：由題意可得f(x)＝1＋. ∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜≤1， ∴1＜1＋≤2，即1＜≤2. 故f(x)在[2，＋∞)上的最大值為2.] 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 角度1　比較大小 　(20xx·河南百校聯(lián)盟質(zhì)檢)已知f(x)＝2x－2－x，a＝－，b＝，c＝log2，則f(a)，f(b)，f(c)的大小順序?yàn)?　　) A．f(b)＜f(a)＜f(c) B．f(c)＜f(b)＜f(a) C．f(c)＜f(a)＜f(b) D．f(b)＜f(c)＜f(a)

17、 B　[易知f(x)＝2x－2－x為單調(diào)遞增函數(shù)，而a＝－＝＞＝b＞0，c＝log2＜0，所以f(c)＜f(b)＜f(a)，故選B．] 角度2　解不等式 　(20xx·湖北重點(diǎn)高中聯(lián)合協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋sin x，x∈(－1,1)，則滿足f(a2－1)＋f(a－1)＞0的a的取值范圍是(　　) A．(0,2) B．(1，) C．(1,2) D．(0，) B　[由題意知f(－x)＝(－x)3＋sin(－x)＝－x3－sin x＝－(x3＋sin x)＝－f(x)，x∈(－1,1)， ∴f(x)在區(qū)間(－1,1)上是奇函數(shù)； 又f′(x)＝3x2＋c

18、os x＞0， ∴f(x)在區(qū)間(－1,1)上是增加的， ∵f(a2－1)＋f(a－1)＞0， ∴－f(a－1)＜f(a2－1)， ∴f(1－a)＜f(a2－1)， ∴解得1＜a＜，故選B．] 角度3　求參數(shù)的取值范圍 　(1)若函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A． B． C． D． (2)已知函數(shù)f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______． (1)D　(2)(2,3]　[(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝2x－3，在定義域R上是單調(diào)遞增的，故在(－∞

19、，4)上是增加的； 當(dāng)a≠0時(shí)，二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x＝－， 因?yàn)閒(x)在(－∞，4)上是增加的， 所以a＜0，且－≥4，解得－≤a＜0. 綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是. (2)要使函數(shù)f(x)在R上是增加的， 則有即 解得2＜a≤3， 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3]．] [規(guī)律方法]　1.比較大?。容^函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決． 2．解不等式．在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解．此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域． 3．利用單調(diào)性求參數(shù)．視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖像或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)． 易錯(cuò)警示：(1)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調(diào)的；(2)分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值．