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2、 1 高中數學第十章-排列組合二項定理 考試內容： 數學探索?版權所有分類計數原理與分步計數原理． 數學探索?版權所有排列．排列數公式． 數學探索?版權所有組合．組合數公式．組合數的兩個性質． 數學探索?版權所有二項式定理．二項展開式的性質． 數學探索?版權所有考試要求： 數學探索?版權所有（1）掌握分類計數原理與分步計數原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應用問題．

3、 數學探索?版權所有（2）理解排列的意義，掌握排列數計算公式，并能用它解決一些簡單的應用問題． 數學探索?版權所有（3）理解組合的意義，掌握組合數計算公式和組合數的性質，并能用它們解決一些簡單的應用問題． 數學探索?版權所有（4）掌握二項式定理和二項展開式的性質，并能用它們計算和證明一些簡單的問題． §10. 排列組合二項定理 知識要點 一、兩個原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重復元素的排列. 從m個不同元素中，每次取出n個元素，元素可以重復出現，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二……第n位上選取元素的方法都是m個，所以從m個不同元素中，每次取出n個元素可重

4、復排列數m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m個抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？ （解：種） 二、排列. 1. ⑴對排列定義的理解. 定義：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列. ⑵相同排列. 如果；兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同. ⑶排列數. 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列. 從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數，用符號表示. ⑷排列數公式： 注意： 規(guī)定0!

5、 = 1 規(guī)定 2. 含有可重元素的排列問題. 對含有相同元素求排列個數的方法是：設重集S有k個不同元素a1，a2,…...an其中限重復數為n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 則S的排列個數等于. 例如：已知數字3、2、2，求其排列個數又例如：數字5、5、5、求其排列個數？其排列個數. 三、組合. 1. ⑴組合：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合. ⑵組合數公式： ⑶兩個公式：① ② ①從n個不同元素中取出m個元素后就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素

6、中取出 n-m個元素的方法是一一對應的，因此是一樣多的就是說從n個不同元素中取出n-m個元素的唯一的一個組合. （或者從n+1個編號不同的小球中，n個白球一個紅球，任取m個不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有） ②根據組合定義與加法原理得；在確定n+1個不同元素中取m個元素方法時，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取m-1個元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個元素中取出m個元素，所以共有C種，依分類原理有. ⑷排列與組合的聯系與區(qū)別. 聯系：都是從n個不同元素中取出m個元素. 區(qū)別：前者是“排成

7、一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關系，后者無順序關系. ⑸①幾個常用組合數公式 ②常用的證明組合等式方法例. i. 裂項求和法. 如：（利用） ii. 導數法. iii. 數學歸納法. iv. 倒序求和法. v. 遞推法（即用遞推）如：. vi. 構造二項式. 如： 證明：這里構造二項式其中的系數，左邊為 ，而右邊 四、排列、組合綜合. 1. I. 排列、組合問題幾大解題方法及題型： ①直接法. ②排除法. ③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關元素當作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”，例

8、如，一般地，n個不同元素排成一列，要求其中某個元素必相鄰的排列有個.其中是一個“整體排列”，而則是“局部排列”. 又例如①有n個不同座位，A、B兩個不能相鄰，則有排列法種數為. ②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有. ③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有. 注：①③區(qū)別在于①是確定的座位，有種；而③的商品地位相同，是從n件不同商品任取的2個，有不確定性. ④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”. 例如：n個元素全排列，其中m個元素互不相鄰，不同的排法種數為多少？（插空法），當n – m+1≥m, 即m

9、≤時有意義. ⑤占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則. ⑥調序法：當某些元素次序一定時，可用此法.解題方法是：先將n個元素進行全排列有種，個元素的全排列有種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有種排列方法. 例如：n個元素全排列，其中m個元素順序不變，共有多少種不同的排法？ 解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m?。唤夥ǘ?/p>

10、：（比例分配法）. ⑦平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有. 例如：從1，2，3，4中任取2個元素將其平均分成2組有幾種分法？有（平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了）又例如將200名運動員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？ （） 注意：分組與插空綜合. 例如：n個元素全排列，其中某m個元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法？有，當n – m+1 ≥m, 即m≤時有意義. ⑧隔板法：常用于解正整數解組數的問題. 例如：的正整數解的組數就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組.

11、每一種方法所得球的數目依次為顯然，故（）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解，對應著惟一的一種在12個球之間插入隔板的方式（如圖 所示）故方程的解和插板的方法一一對應. 即方程的解的組數等于插隔板的方法數. 注意：若為非負數解的x個數，即用中等于，有，進而轉化為求a的正整數解的個數為 . ⑨定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規(guī)定某r個元素都包含在內，并且都排在某r個指定位置則有. 例如：從n個不同元素中，每次取出m個元素的排列，其中某個元素必須固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少種排法？ 固定在某一位置上：；不在某一位置上：或（一

12、類是不取出特殊元素a，有，一類是取特殊元素a，有從m-1個位置取一個位置，然后再從n-1個元素中取m-1，這與用插空法解決是一樣的） ⑩指定元素排列組合問題. i. 從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素都包含在內 。先C后A策略，排列；組合. ii. 從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素都不包含在內。先C后A策略，排列；組合. iii 從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個排列（或組合）都只包含某r個元素中的s個元素。先C后A策略，排列；組合. II. 排列組合常見解題策略： ①特殊元素優(yōu)

13、先安排策略；②合理分類與準確分步策略；③排列、組合混合問題先選后排的策略（處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列）；④正難則反，等價轉化策略；⑤相鄰問題插空處理策略； ⑥不相鄰問題插空處理策略；⑦定序問題除法處理策略；⑧分排問題直排處理的策略；⑨“小集團”排列問題中先整體后局部的策略；⑩構造模型的策略. 2. 組合問題中分組問題和分配問題. ①均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，假定其中r組元素個數相等，不管是否分盡，其分法種數為（其中A為非均勻不編號分組中分法數）.如果再有K組均勻分組應再除以. 例：10人分成三組，各組元素個數為2、4、4，其分法種數為.若分成六組

14、，各組人數分別為1、1、2、2、2、2，其分法種數為 ②非均勻編號分組: n個不同元素分組，各組元素數目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數為 例：10人分成三組，各組人數分別為2、3、5，去參加不同的勞動，其安排方法為：種. 若從10人中選9人分成三組，人數分別為2、3、4，參加不同的勞動，則安排方法有種 ③均勻編號分組：n個不同元素分成m組，其中r組元素個數相同且考慮各組間的順序，其分法種數為. 例：10人分成三組，人數分別為2、4、4，參加三種不同勞動，分法種數為 ④非均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，每組元素數目均不相同，且不考慮各組間順序，不管是否分盡

15、，其分法種數為… 例：10人分成三組，每組人數分別為2、3、5，其分法種數為若從10人中選出6人分成三組，各組人數分別為1、2、3，其分法種數為. 五、二項式定理. 1. ⑴二項式定理：. 展開式具有以下特點： ① 項數：共有項； ② 系數：依次為組合數 ③ 每一項的次數是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開. ⑵二項展開式的通項. 展開式中的第項為：. ⑶二項式系數的性質. ①在二項展開式中與首未兩項“等距離”的兩項的二項式系數相等； ②二項展開式的中間項二項式系數最大. I. 當n是偶數時，中間項是第項，它的二項式系數最大； II. 當n是奇數時，中間項為兩項，即第項和第項，它們的二項式系數最大. ③系數和： 附：一般來說為常數）在求系數最大的項或最小的項時均可直接根據性質二求解. 當時，一般采用解不等式組的系數或系數的絕對值）的辦法來求解. ⑷如何來求展開式中含的系數呢？其中且把視為二項式，先找出含有的項，另一方面在中含有的項為，故在中含的項為.其系數為. 2. 近似計算的處理方法. 當a的絕對值與1相比很小且n不大時，常用近似公式，因為這時展開式的后面部分很小，可以忽略不計。類似地，有但使用這兩個公式時應注意a的條件，以及對計算精確度的要求.