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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第2講 古典概型 一、填空題 1．從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個數(shù)為b，則b>a的概率是________． 解析　分別從兩個集合中各取一個數(shù)，共有15種取法，其中滿足b>a的有3種取法，故所求事件的概率P＝＝. 答案　 2．若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m、n作為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)P在直線x＋y＝5下方的概率為________． 解析　試驗(yàn)是連續(xù)擲兩次骰子，故共包含6×6＝36(個)基本事件．事件點(diǎn)P在x＋y＝5下方，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6個基本事件

2、，故P＝＝. 答案　 3．在一次招聘口試中，每位考生都要在5道備選試題中隨機(jī)抽出3道題回答，答對其中2道題即為及格，若一位考生只會答5道題中的3道題，則這位考生能夠及格的概率為________． 解析　要及格必須答對2道或3道題，共CC＋C＝7(種)情形，故P＝＝. 答案　 4．從三名男同學(xué)和n名女同學(xué)中任選三人參加一場辯論賽，已知三人中至少有一人是女生的概率是，則n＝________． 解析 三人中沒有女生的概率為， ∴三人中至少有一人是女生的概率為1－. 由題意得1－＝，解得n＝4. 答案 n＝4 5．下課后教室里最后還剩下2位男同學(xué)和2位女同學(xué)，如果沒有2位同學(xué)一

3、塊走，則第二位走的是男同學(xué)的概率是________． 解析 每個同學(xué)均可能在第二位走，故共有4種情況，而男同學(xué)有2個，故所求概率為P＝＝. 答案 6．某種飲料每箱裝6聽，其中有4聽合格，2聽不合格，現(xiàn)質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽取2聽進(jìn)行檢測，則檢測出至少有一聽不合格飲料的概率是________． 解析：從“6聽飲料中任取2聽飲料”這一隨機(jī)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件共有15個，而“抽到不合格飲料”含有9個基本事件，所以檢測到不合格飲料的概率為P＝＝. 答案 7．甲從正方形四個頂點(diǎn)中任意選擇兩個頂點(diǎn)連成直線，乙從該正方形四個頂點(diǎn)中任意選擇兩個頂點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的

4、概率是________． 解析 正方形四個頂點(diǎn)可以確定6條直線，甲乙各自任選一條共有36個等可能的基本事件．兩條直線相互垂直的情況有5種(4組鄰邊和對角線)，包括10個基本事件，所以概率等于. 答案 8． 一袋中裝有大小相同，編號分別為1，2，3，4，5，6，7，8的八個球，從中有放回地每次取一個球，共取2次，則取得兩個球的編號和不小于15的概率為________． 解析 基本事件為(1，1)，(1，2)，…，(1，8)，(2，1)，(2，2)…，(8，8)，共64種．兩球編號之和不小于15的情況有三種，分別為(7，8)，(8，7)，(8，8)，∴所求概率為. 答案 9

5、．連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m，n，向量a＝(m，n)，若b＝(－1,1)，△ABC中與a同向，與b反向，則∠ABC是鈍角的概率是________． 解析　∵∠ABC是鈍角，向量a＝(m，n)，b＝(－1,1)夾角為銳角，∴n－m>0，m

6、有AA×2種排法；第二類，三門文化課排列有兩個空，插入1節(jié)藝術(shù)課，有A·A·2A種排法；第三類，三門文化課相鄰排列，有AA種排法．則滿足條件的概率為 ＝. 答案　 二、解答題 11．將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，求： (1)兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)的概率； (2)以第一次向上的點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)x，第二次向上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)y的點(diǎn)(x，y)在圓x2＋y2＝15的內(nèi)部的概率． 解 將一顆骰子先后拋擲2次，此問題中含有36個等可能基本事件． (1)記“兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)”為事件B，則事件B與“兩數(shù)均為偶數(shù)”為對立事件， 所以P(B)＝1－＝； 即兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)的概率為.

7、 (2)基本事件總數(shù)為36，點(diǎn)(x，y)在圓x2＋y2＝15的內(nèi)部記為事件C，則C包含8個事件，所以P(C)＝＝. 即點(diǎn)(x，y)在圓x2＋y2＝15的內(nèi)部的概率為. 12．為了解學(xué)生身高情況，某校以10%的比例對全校700名學(xué)生按性別進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，測得身高情況的統(tǒng)計圖如下： (1)估計該校男生的人數(shù)； (2)估計該校學(xué)生身高在170～185 cm之間的概率； (3)從樣本中身高在180～190 cm之間的男生中任選2人，求至少有1人身高在185～190 cm之間的概率． 解　(1)樣本中男生人數(shù)為40，由分層抽樣比例為10%估計全校男生人數(shù)為400. (2)由統(tǒng)計圖知

8、，樣本中身高在170～185 cm之間的學(xué)生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，樣本容量為70，所以樣本中學(xué)生身高在170～185 cm之間的頻率f＝＝0.5.故由f估計該校學(xué)生身高在170～185 cm之間的概率P＝0.5. (3)樣本中身高在180～185 cm之間的男生有4人，設(shè)其編號為①②③④，樣本中身高在185～190 cm之間的男生有2人，設(shè)其編號為⑤⑥. 從上述6人中任選2人的樹狀圖為： 故從樣本中身高在180～190 cm之間的男生中任選2人的所有可能結(jié)果數(shù)為15，至少有1人身高在185～190 cm之間的可能結(jié)果數(shù)為9，因此，所求概率P2＝＝. 13．在某次測驗(yàn)

9、中，有6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分．用xn表示編號為n(n＝1,2，…，6)的同學(xué)所得成績，且前5位同學(xué)的成績?nèi)缦拢? 編號n 1 2 3 4 5 成績xn 70 76 72 70 72 (1)求第6位同學(xué)的成績x6，及這6位同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差s； (2)從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績在區(qū)間(68,75)中的概率． 解　(1)∵這6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分， ∴(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90， 這6位同學(xué)成績的方差 s2＝×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2

10、＋(90－75)2]＝49， ∴標(biāo)準(zhǔn)差s＝7. (2)從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選出2位同學(xué)的成績有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10種， 恰有1位同學(xué)成績在區(qū)間(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4種， 所求的概率為＝0.4， 即恰有1位同學(xué)成績在區(qū)間(68,75)中的概率為0.4. 14．設(shè)S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數(shù)m，n∈S. (1)記“使得m＋n＝0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事件

11、A，試列舉A包含的基本事件； (2)設(shè)ξ＝m2，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 解　(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3， 即S＝{x|－2≤x≤3}． 由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件為：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m的所有不同取值為－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m2的所有不同取值為0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝9)＝. 故ξ的分布列為： ξ 0 1 4 9 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋4×＋9×＝.