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1、新編高考數(shù)學復習資料 第六章 數(shù)列 第1講　數(shù)列的概念與簡單表示法 一、填空題 1．已知數(shù)列，1，，，，…，，…，則3是它的第_______項． 解析　3＝＝. 答案　23 2．已知函數(shù)y＝anx2(an≠0，n∈N*)的圖象在x＝1處的切線斜率為2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，且當n＝1時其圖象過點(2,8)，則a7的值為________． 解析 由題知y′＝2anx，∴2an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴an－an－1＝，又n＝1時其圖象過點(2,8)，∴a1×22＝8，得a1＝2，∴{an}是首項為2，公差為的等差數(shù)列，an＝＋，得a7＝5. 答案

2、5 3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則a2＝________；an＝________. 解析 由an＝n(an＋1－an)，可得＝， 則an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n. 答案 2；n 4．數(shù)列{an}的通項an＝，則數(shù)列{an}中的最大值是________． 解析 因為an＝，運用基本不等式得，≤，由于n∈N*，不難發(fā)現(xiàn)當n＝9或10時，an＝最大． 答案 5．設(shè)函數(shù)f(x)＝數(shù)列{an}滿足an＝f(n)，n∈N*，且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析

3、 ∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又an＝f(n)(n∈N*)， ∴?2

4、 8．在數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，則a16＝________. 解析　由題可知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，a16＝a3×5＋1＝a1＝. 答案　 9．已知{an}的前n項和為Sn，且滿足log2(Sn＋1)＝n＋1，則an＝________. 解析　由已知條件可得Sn＋1＝2n＋1. ∴Sn＝2n＋1－1， 當n＝1時，a1＝S1＝3， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n， n＝1時不適合an，∴an＝ 答案　 10．已知5×5數(shù)字方陣 中，aij＝ 則3j＋i4＝_

5、_______. 解析　由條件可知a32＝－1，a33＝1，a34＝－1，a35＝－1，a24＝1，a34＝－1，a44＝1，從而原式＝－1. 答案?。? 二、解答題 11．數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2－7n＋6. (1)這個數(shù)列的第4項是多少？ (2)150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？ (3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)？ 解 (1)當n＝4時，a4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150， 解得n＝16或n＝－9(舍去)， 即150是這個數(shù)列的第16項． (3)令an＝n2－7n＋6>0， 解得n>

6、6或n<1(舍)． ∴從第7項起各項都是正數(shù)． 12．設(shè)數(shù)列{an} 的前n項和為Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍． 解 (1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n， 即Sn＋1＝2Sn＋3n， 由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)， ∴{Sn－3n}是等比數(shù)列， 因此，所求通項公式為 bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.① (2)由①知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*， 于是，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1

7、 ＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2 ＝2×3n－1＋(a－3)2n－2， an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2 ＝2n－2， 當n≥2時，an＋1≥an?12·n－2＋a－3≥0?a≥－9. 又a2＝a1＋3>a1. 綜上，所求的a的取值范圍是[－9，＋∞)． 13．設(shè)數(shù)列{bn}滿足：b1＝，bn＋1＝b＋bn， (1)求證：＝－； (2)若Tn＝＋＋…＋，對任意的正整數(shù)n,3Tn－log2m－5>0恒成立．求m的取值范圍． 解　(1)∵b1＝，bn＋1＝b＋bn＝bn(bn＋1)， ∴對任意的n∈N*，bn>0. ∴＝＝－，即＝－

8、. (2)Tn＝＋＋…＋＝－＝2－. ∵bn＋1－bn＝b>0，∴bn＋1>bn，∴數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列． ∴數(shù)列{Tn}關(guān)于n遞增．∴Tn≥T1. ∵b1＝，∴b2＝b1(b1＋1)＝.∴T1＝2－＝. ∴Tn≥.∵3Tn－log2m－5>0恒成立． ∴l(xiāng)og2m<－3，∴0

9、－Sn－1＝－，即＝(n≥2)．所以是首項為＝1的常數(shù)數(shù)列，所以＝1，即an＝n(n∈N*)． 法二　同上，得(n－1)an＝nan－1.同理得 nan＋1＝(n＋1)an，所以2nan＝n(an－1＋an＋1)，即 2an＝an－1＋an＋1，所以{an}成等差數(shù)列．又由a1＝1，得a2＝S2－a1，得a2＝2，得an＝1＋(n－1)＝n(n∈N*)． 法三　同上，得＝(n≥2)， 所以an＝···…···a1＝··…···1＝n，當n＝1時a1＝1，也滿足an＝n，所以an＝n(n∈N*)． (2)假設(shè)存在k(k≥2，k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比數(shù)列，則bkbk＋2＝b.因為bn＝ln an＝ln n， 所以bkbk＋2＝ln k·ln(k＋2)＜2＝2＜2＝[ln(k＋1)]2＝b，這與bkbk＋2＝b矛盾． 故不存在k(k≥2，k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比數(shù)列.