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1、▼▼▼2019屆高考數(shù)學復習資料▼▼▼ 學案31　數(shù)列的綜合應用 導學目標： 1.通過構造等差、等比數(shù)列模型，運用數(shù)列的公式、性質解決簡單的實際問題.2.對數(shù)列與其他知識綜合性的考查也高于考試說明的要求，另外還要注重數(shù)列在生產、生活中的應用． 自主梳理 1．數(shù)列的綜合應用 數(shù)列的綜合應用一是指綜合運用數(shù)列的各種知識和方法求解問題，二是數(shù)列與其他數(shù)學內容相聯(lián)系的綜合問題．解決此類問題應注意數(shù)學思想及方法的運用與體會． (1)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，解數(shù)列題要注意運用方程與函數(shù)的思想與方法． (2)轉化與化歸思想是解數(shù)列有關問題的基本思想方法，復雜的數(shù)列問題經常轉化為等差、等比數(shù)列

2、或常見的特殊數(shù)列問題． (3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解決數(shù)列問題的重要思想．已知數(shù)列的前若干項求通項，由有限的特殊事例推測出一般性的結論，都是利用此法實現(xiàn)的． (4)分類討論思想在數(shù)列問題中常會遇到，如等比數(shù)列中，經常要對公比進行討論；由Sn求an時，要對__________進行分類討論． 2．數(shù)列的實際應用 數(shù)列的應用問題是中學數(shù)學教學與研究的一個重要內容，解答應用問題的核心是建立數(shù)學模型． (1)建立數(shù)學模型時，應明確是等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型，還是遞推數(shù)列模型，是求an還是求Sn. (2)分期付款中的有關規(guī)定 ①在分期付款中，每月的利息均按復利計算； ②在分

3、期付款中規(guī)定每期所付款額相同； ③在分期付款時，商品售價和每期所付款額在貸款全部付清前會隨時間的推移而不斷增值； ④各期付款連同在最后一次付款時所生的利息之和，等于商品售價及從購買時到最后一次付款的利息之和． 自我檢測 1．(原創(chuàng)題)若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，且S8－S3＝10，則S11的值為________． 2．在等比數(shù)列{an}中，an>an＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5，則＝________. 3．“嫦娥奔月，舉國歡慶”，據科學計算，運載“神六”的“長征二號”系列火箭，在點火第一秒鐘通過的路程為2 km，以后每秒鐘通過的路程都增加2 km，在達到離地面

4、240 km的高度時，火箭與飛船分離，則這一過程需要的時間大約是________秒． 4．已知數(shù)列{an}的通項為an＝，則數(shù)列{an}的最大項為第________項． 5．(2010·南京模擬)設數(shù)列{an}，{bn}都是正項等比數(shù)列，Sn，Tn分別為數(shù)列{lg an}與{lg bn}的前n項和，且＝，則logb5a5＝________. 探究點一　等差、等比數(shù)列的綜合問題 例1　設{an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4構成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項； (2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…

5、，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 變式遷移1　假設a1，a2，a3，a4是一個等差數(shù)列，且滿足04；(3)b4>32；(4)b2b4＝256.其中正確命題的個數(shù)為________． 探究點二　數(shù)列與方程、函數(shù)、不等式的綜合問題 例2　已知函數(shù)f(x)＝，數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f，n∈N*， (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn； (3)令bn＝ (n≥2

6、)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<對一切n∈N*成立，求最小正整數(shù)m. 變式遷移2　已知單調遞增的等比數(shù)列{an}滿足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中項． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝anan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，對任意正整數(shù)n，Sn＋(n＋m)an＋1<0恒成立，試求m的取值范圍． 探究點三　數(shù)列在實際問題中的應用 例3　(2010·福州模擬)有一個下崗職工，1月份向銀行貸款10 000元，作為啟動資金開店，每月月底獲得的利潤是該月月初投入資金的20%，每月月底需繳納所得稅為該月月利

7、潤的10%，每月的生活費為300元，余款作為資金全部投入下個月的經營，如此繼續(xù)，問到這年年底這個職工有多少資金？若貸款年利息為25%，問這個職工還清銀行貸款后純收入多少元？ 變式遷移3　假設某市2011年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房，預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米．那么，到哪一年底， (1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2011年為累計的第一年)將首次不少于4 750萬平方米？ (2)當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？(參

8、考數(shù)據：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59) 1．數(shù)列實際應用問題：(1)數(shù)學應用問題已成為中學數(shù)學教學與研究的一個重要內容，解答數(shù)學應用問題的核心是建立數(shù)學模型，有關平均增長率、利率(復利)以及等值增減等實際問題，需利用數(shù)列知識建立數(shù)學模型．(2)在試題中常用的數(shù)學模型有①構造等差、等比數(shù)列的模型，然后再去應用數(shù)列的通項公式求解；②通過歸納得到結論，用數(shù)列知識求解． 2．解決數(shù)列綜合問題應體會以下思想及方法：(1)數(shù)列與函數(shù)方程相結合時主要考查函數(shù)的思想及函數(shù)的性質(多為單調性)．(2)數(shù)列與不等式結合時需注意放縮．(3)數(shù)列與解析幾何結

9、合時要注意遞推思想． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2010·湖北)已知等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則的值為________． 2．(2010·徐州模擬)數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且a6＝b7，則下列關系正確的是______(填序號)． ①a3＋a9≤b4＋b10； ②a3＋a9≥b4＋b10； ③a3＋a9≠b4＋b10； ④a3＋a9與b4＋b10的大小不確定． 3．有限數(shù)列A：a1，a2，…，an，Sn為其前n項和，定義為A的“凱森和”，若有99項的數(shù)列a1，a2，…，a99的“

10、凱森和”為1 000，則有100項的數(shù)列1，a1，a2，…，a99的“凱森和”為________． 4．有一種細菌和一種病毒，每個細菌在每秒鐘末能在殺死一個病毒的同時將自身分裂為2個，現(xiàn)在有一個這樣的細菌和100個這樣的病毒，問細菌將病毒全部殺死至少需要________秒． 5．(2011·蘇州模擬)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，且an，an＋1是函數(shù)f(x)＝x2－bnx＋2n的兩個零點，則b10＝________. 6．若數(shù)列{an}的通項公式an＝52n－2－4n－1，數(shù)列{an}的最大項為第x項，最小項為第y項，則x＋y＝________. 7．(2010·江蘇)函數(shù)

11、y＝x2(x>0)的圖象在點(ak，a)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak＋1，其中k∈N*，a1＝16，則a1＋a3＋a5＝________. 8．把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表．設aij (i，j∈N*)是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個數(shù)，如a42＝8.若aij＝2 009，則i與j的和為________． 1 2　4 3　5　7 6　8　10　12 9　11　13　15　17 14　16　18　20　22　24 …………………………………… 二、解答題(共42分) 9．(14分)已知點(1，)是函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠

12、1)的圖象上一點，等比數(shù)列{an}的前n項和為f(n)－c，數(shù)列{bn}(bn>0)的首項為c，且前n項和Sn滿足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)． (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式； (2)若數(shù)列{}的前n項和為Tn，問滿足Tn>的最小正整數(shù)n是多少？ 10．(14分)沿海地區(qū)甲公司響應國家開發(fā)西部的號召，對西部地區(qū)乙企業(yè)進行扶持性技術改造．乙企業(yè)的經營現(xiàn)狀是：每月收入為45萬元，但因設備老化，從下月開始需付設備維修費，第一個月為3萬元，以后每月遞增2萬元．甲公司決定投資400萬元扶持改造乙企業(yè)．據預測，改造后乙企業(yè)第一個月收入為16萬元，在以后的4個月中，每月收入都比上個

13、月增長50%，而后每個月收入都穩(wěn)定在第5個月的水平上．若設備改造時間可忽略不計，那么從下個月開始至少經過多少個月，改造后的乙企業(yè)的累計總收益多于仍按現(xiàn)狀生產所帶來的總收益？ 11．(14分)(2010·廣東執(zhí)信中學模擬)已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝. (1)當n∈N*時，求f(n)的表達式； (2)設an＝n·f(n)，n∈N*，求證：a1＋a2＋a3＋…＋an<2； (3)設bn＝(9－n)，n∈N*，Sn為{bn}的前n項和，當Sn最大時，求n的值． 答案 自主梳理 1．(4)n＝1或n≥2 自我檢測 1

14、．22　2.　3.15　4.8　5. 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　1.等差數(shù)列與等比數(shù)列相結合的綜合問題是高考考查的重點，特別是等差、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式以及等差中項、等比中項問題是歷年命題的熱點． 2．利用等比數(shù)列前n項和公式時注意公比q的取值．同時對兩種數(shù)列的性質，要熟悉它們的推導過程，利用好性質，可降低題目的思維難度，解題時有時還需利用條件聯(lián)立方程求解． 解　(1)由已知得，解得a2＝2. 設數(shù)列{an}的公比為q，由a2＝2， 可得a1＝，a3＝2q.又S3＝7，可知＋2＋2q＝7， 即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝. 由題意得q>1，∴q＝2，

15、∴a1＝1. 故數(shù)列{an}的通項為an＝2n－1. (2)由(1)得a3n＋1＝23n， ∴bn＝ln a3n＋1＝ln 23n＝3nln 2. 又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差數(shù)列， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝＝·ln 2. 故Tn＝ln 2. 變式遷移1　4 解析　設a1，a2，a3，a4的公差為d，則a1＋2d＝4，又04，故(2)正確；a4＝a3＋d>5，所以b4＝2a4>32，故(3)正確；又a2＋a4＝2a3＝8，所以b2b4＝

16、2a2＋a4＝28＝256，故(4)正確． 例2　解題導引　這是一道數(shù)列、函數(shù)、不等式的綜合題，利用函數(shù)關系式求通項an，觀察Tn特點，求出Tn.由an再求bn從而求Sn，最后利用不等式知識求出m. 解　(1)∵an＋1＝f＝＝＝an＋， ∴{an}是以為公差的等差數(shù)列． 又a1＝1，∴an＝n＋. (2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1 ＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1) ＝－(a2＋a4＋…＋a2n)＝－· ＝－(2n2＋3n)． (3)當n≥2時，bn＝＝ ＝， 又b1＝3＝×，∴Sn＝b

17、1＋b2＋…＋bn ＝× ＝＝， ∵Sn<對一切n∈N*成立． 即<， 又∵＝遞增， 且<.∴≥， 即m≥2 010.∴最小正整數(shù)m＝2 010. 變式遷移2　解　(1)設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q. 依題意，有2(a3＋2)＝a2＋a4， 代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8. ∴a2＋a4＝20.∴ 解之，得或 又{an}單調遞增，∴　∴an＝2n. (2)bn＝2n·log2n＝－n·2n， ∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.① ∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.② ∴①－②，得

18、Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2. 由Sn＋(n＋m)an＋1<0， 即2n＋1－n·2n＋1－2＋n·2n＋1＋m·2n＋1<0對任意正整數(shù)n恒成立， ∴m·2n＋1<2－2n＋1對任意正整數(shù)n，m<－1恒成立． ∵－1>－1，∴m≤－1， 即m的取值范圍是(－∞，－1]． 例3　解　依題意，第1個月月余款為 a1＝10 000(1＋20%)－10 000×20%×10%－300＝11 500， 第2個月月底余款為a2＝a1(1＋20%)－a1×20%×10%－300， 依此類推下去，設第n個月月底的余款為an元，

19、 第n＋1個月月底的余款為an＋1元，則an＋1＝an(1＋20%)－an×20%×10%－300＝1.18an－300. 下面構造一等比數(shù)列． 設＝1.18，則an＋1＋x＝1.18an＋1.18x， ∴an＋1＝1.18an＋0.18x.∴0.18x＝－300. ∴x＝－，即＝1.18. ∴數(shù)列{an－}是一個等比數(shù)列，公比為1.18，首項a1－＝11 500－＝. ∴an－＝×1.18n－1， ∴a12－＝×1.1811， ∴a12＝＋×1.1811≈62 396.6(元)， 即到年底該職工共有資金62 396.6元． 純收入有a12－10 000(1＋25%)

20、＝62 396.6－12 500＝49 896.6(元)． 變式遷移3　解　(1)設中低價房的面積形成的數(shù)列為{an}， 由題意可知{an}是等差數(shù)列，其中a1＝250，d＝50， 則an＝250＋(n－1)·50＝50n＋200， Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n， 令25n2＋225n≥4 750， 即n2＋9n－190≥0，而n是正整數(shù)，∴n≥10. ∴到2020年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4 750萬平方米． (2)設新建住房面積形成數(shù)列{bn}， 由題意可知{bn}是等比數(shù)列，其中b1＝400，q＝1.08， 則bn＝400·(1.0

21、8)n－1. 由題意可知an>0.85bn， 即50n＋200>400·(1.08)n－1·0.85. 當n＝5時，a5<0.85b5， 當n＝6時，a6>0.85b6， ∴滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6. ∴到2016年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%. 課后練習區(qū) 1．3＋2　2.②　3.991 4．7 解析　設至少需要n秒鐘，則1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴≥100，∴n≥7. 5．64 解析　依題意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，兩式相除得＝2，所以a1，a3，a5，…成等比數(shù)列，a2，a4，a

22、6，…也成等比數(shù)列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32，又因為an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64. 6．3 解析　該題是數(shù)列知識與函數(shù)知識的綜合． an＝5·2n－2－4·n－1＝5·2－， 顯然當n＝2時，an取得最小值，當n＝1時，an取得最大值，此時x＝1，y＝2，∴x＋y＝3. 7．21 解析　y′＝(x2)′＝2x，則過點(ak，a)的切線斜率為2ak，則切線方程為y－a＝2ak(x－ak)， 令y＝0，得－a＝2ak(x－ak)， ∴x＝ak，即ak＋1＝ak. 故{an}是a1＝16，q＝的等比數(shù)列，

23、即an＝16×()n－1，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21. 8．107 解析　由數(shù)表知，第一行1個奇數(shù)，第3行3個奇數(shù)，第5行5個奇數(shù)，第61行61個奇數(shù)，前61行用去1＋3＋5＋…＋61＝＝961個奇數(shù)．而2 009是第1 005個奇數(shù)，故應是第63行第44個數(shù)，即i＋j＝63＋44＝107. 9．解　(1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝x.…………………………………………………(1分) a1＝f(1)－c＝－c， a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－， a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－； 又數(shù)列{an}成等比數(shù)列，a1＝＝＝－＝－c， ∴c＝1；

24、……………………………………………………………………………………(2分) 公比q＝＝，an＝－×n－1 ＝－2×n，n∈N*；……………………………………………………………………(3分) ∵Sn－Sn－1＝ ＝＋(n>2)，……………………………………………………………………(4分) 又bn>0，>0，∴－＝1. 數(shù)列{}構成一個首項為1、公差為1的等差數(shù)列， ＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2.…………………………………………………………(6分) 當n≥2，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1； 又當n＝1時，也適合上式， ∴bn＝2n－1，n∈N*.……

25、…………………………………………………………………(8分) (2)Tn＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋ ＝＝.……………………………………………(12分) 由Tn＝>，得n>， ∴滿足Tn>的最小正整數(shù)為112.…………………………………………………(14分) 10．解　設乙企業(yè)仍按現(xiàn)狀生產至第n個月所帶來的總收益為An(萬元)，技術改造后生產至第n個月所帶來的總收益為Bn(萬元)．依題意得 An＝45n－[3＋5＋…＋(2n＋1)] ＝43n－n2，………………………………………………………………………………(5分) 當n≥5時，Bn＝＋ 164(n－5)－40

26、0＝81n－594，………………………………………………………(10分) ∴當n≥5時，Bn－An＝n2＋38n－594， 令n2＋38n－594>0，即(n＋19)2>955，解得n≥12， ∴至少經過12個月，改造后的乙企業(yè)的累計總收益多于仍按現(xiàn)狀生產所帶來的總收益．……………………………………………………………………………………………(14分) 11．(1)解　令x＝n，y＝1， 得到f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝f(n)，…………………………………………………………(2分) ∴{f(n)}是首項為，公比為的等比數(shù)列， 即f(n)＝()n.………………………………………

27、………………………………………(5分) (2)證明　記Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， ∵an＝n·f(n)＝n·()n，……………………………………………………………………(6分) ∴Sn＝＋2×()2＋3×()3＋…＋n×()n， Sn＝()2＋2×()3＋3×()4＋…＋(n－1)×()n＋n×()n＋1， 兩式相減得Sn＝＋()2＋…＋()n－n×()n＋1， 整理得Sn＝2－()n－1－n()n<2. ∴a1＋a2＋a3＋…＋an<2.………………………………………………………………(9分) (3)解　∵f(n)＝()n，而bn＝(9－n) ＝(9－n)＝.…………………………………………………………………(11分) 當n≤8時，bn>0；當n＝9時，bn＝0； 當n>9時，bn<0， ∴n＝8或9時，Sn取到最大值．………………………………………………………(14分) 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品