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1、
限時規(guī)范訓練十三 空間中的平行與垂直
限時40分鐘,實際用時________
分值80分,實際得分________
一、選擇題(本題共6小題,每小題5分,共30分)
1.(20xx·高考山東卷)已知直線a,b分別在兩個不同的平面α,β內(nèi),則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析:選A.因為直線a和直線b相交,所以直線a與直線b有一個公共點,而直線a,b分別在平面α、β內(nèi),所以平面α與β必有公共點,從而平面α與β相交;反之,若平面α與β相交,則直線a與直線b可能相
2、交、平行、異面.故選A.
2.(20xx·高考全國卷Ⅲ)在正方體ABCD -A1B1C1D1中,E為棱CD的中點,則( )
A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD
C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC
解析:選C.根據(jù)三垂線逆定理,平面內(nèi)的線垂直平面的斜線,那也垂直于斜線在平面內(nèi)的射影,A項,若A1E⊥DC1,那么D1E⊥DC1,很顯然不成立;B項, 若A1E⊥BD,那么BD⊥AE,顯然不成立;C項,若A1E⊥BC1,那么BC1⊥B1C,成立,反過來BC1⊥B1C時,也能推出BC1⊥A1E,所以C成立,D項,若A1E⊥AC,則AE⊥AC,顯然不成立,故選C.
3.設α,β是兩
3、個不同的平面,l,m是兩條不同的直線,且l?α,m?β( )
A.若l⊥β,則α⊥β B.若α⊥β,則l⊥m
C.若l∥β,則α∥β D.若α∥β,則l∥m
解析:選A.選項A中,由平面與平面垂直的判定定理可知A正確;選項B中,當α⊥β時,l,m可以垂直,也可以平行,也可以異面;選項C中,l∥β時,α,β可以相交;選項D中,α∥β時,l,m也可以異面.
4.已知α,β為兩個平面,l為直線,若α⊥β,α∩β=l,則( )
A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B.垂直于直線l的直線一定垂直于平面α
C.垂直于平面β的平面一定平行于直線l
D.垂直于直線l的平面一定與
4、平面α,β都垂直
解析:選D.由α⊥β,α∩β=l,知:
垂直于平面β的平面與平面α平行或相交,故A不正確;
垂直于直線l的直線若在平面β內(nèi),則一定垂直于平面α,否則不一定,故B不正確;垂直于平面β的平面與l的關系有l(wèi)?β,l∥β,l與β相交,故C不正確;
由平面垂直的判定定理知:垂直于直線l的平面一定與平面α,β都垂直,故D正確.
5.設a,b,c表示三條直線,α,β表示兩個平面,則下列命題中逆命題不成立的是( )
A.c⊥α,若c⊥β,則α∥β
B.b?α,c?α,若c∥α,則b∥c
C.b?β,若b⊥α,則β⊥α
D.a(chǎn),b?α,a∩b=P,c⊥a,c⊥b,若α⊥β,
5、則c?β
解析:選C.利用排除法求解.A的逆命題為:c⊥α,若α∥β,則c⊥β,成立;B的逆命題為:b?α,c?α,若b∥c,則c∥α,成立;C的逆命題為:b?β,若β⊥α,則b⊥α,不成立;D的逆命題為:a,b?α,a∩b=P,c⊥a,c⊥b,若c?β,則α⊥β,成立,故選C.
6.(20xx·江西六校聯(lián)考)已知m,n是兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,有下列四個命題:
①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,則α⊥β;
②若m∥α,n∥β,m⊥n,則α∥β;
③若m⊥α,n∥β,m⊥n,則α∥β;
④若m⊥α,n∥β,α∥β,則m⊥n.
其中所有正確命題的序號是( )
A.①④
6、 B.②④
C.① D.④
解析:選A.借助于長方體模型來解決本題,對于①,可以得到平面α,β互相垂直,故①正確;對于②,平面α,β可能垂直,如圖(1)所示,故②不正確;對于③,平面α,β可能垂直,如圖(2)所示,故③不正確;對于④,由m⊥α,α∥β可得m⊥β,因為n∥β,所以過n作平面γ,且γ∩β=g,如圖(3)所示,所以n與交線g平行,因為m⊥g,所以m⊥n,故④正確.綜上,選A.
二、填空題(本題共3小題,每小題5分,共15分)
7.如圖,四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E為PC的中點,則BE
7、與平面PAD的位置關系為________.
解析:取PD的中點F,連接EF,AF,
在△PCD中,EF綊CD.
又因為AB∥CD且CD=2AB,
所以EF綊AB,所以四邊形ABEF是平行四邊形,
所以EB∥AF.
又因為EB?平面PAD,AF?平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
答案:平行
8.(20xx·山師大附中模擬)若α,β是兩個相交平面,則在下列命題中,真命題的序號為________.(寫出所有真命題的序號)
①若直線m⊥α,則在平面β內(nèi),一定不存在與直線m平行的直線;
②若直線m⊥α,則在平面β內(nèi),一定存在無數(shù)條直線與直線m垂直;
③若直線m?α,則
8、在平面β內(nèi),不一定存在與直線m垂直的直線;
④若直線m?α,則在平面β內(nèi),一定存在與直線m垂直的直線.
解析:對于①,若直線m⊥α如果α,β互相垂直,則在平面β內(nèi),存在與直線m平行的直線,故①錯誤;
對于②,若直線m⊥α,則直線m垂直于平面α內(nèi)的所有直線,在平面β內(nèi)存在無數(shù)條與交線平行的直線,這無數(shù)條直線均與直線m垂直,故②正確;
對于③,④,若直線m?α,則在平面β內(nèi),一定存在與直線m垂直的直線,故③錯誤,④正確.
答案:②④
9.(20xx·沈陽三模)如圖,已知四邊形ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,下列結論中正確的是________.(把正確結論的序號都填上)
①PD⊥C
9、D;
②BD⊥平面PAO;
③PB⊥CB;
④BC∥平面PAD.
解析:對于①,因為CD⊥AD,CD⊥PA,AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD,則①正確;
對于②,BD⊥PA,當BD⊥AO時,BD⊥平面PAO,但BD與AO不一定垂直,故②不正確;
對于③,因為CB⊥AB,CB⊥PA,AB∩PA=A,所以CB⊥平面PAB,所以CB⊥PB,則③正確;
對于④,因為BC∥AD,BC?平面PAD,AD?平面PAD,所以BC∥平面PAD,則④正確.故填①③④.
答案:①③④
三、解答題(本題共3小題,每小題12分,共36分)
10.(20xx·高考全國卷Ⅱ)如圖,四
10、棱錐P-ABCD中,側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.
(1)證明:直線BC∥平面PAD;
(2)若△PCD的面積為2,求四棱錐P-ABCD的體積.
解:(1)證明:在平面ABCD內(nèi),因為∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD.又BC?平面PAD,AD?平面PAD,故BC∥平面PAD.
(2)如圖,取AD的中點M,連接PM,CM.由AB=BC=AD及BC∥AD,∠ABC=90°得四邊形ABCM為正方形,則CM⊥AD.
因為側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底
11、面ABCD.因為CM?底面ABCD,所以PM⊥CM.
設BC=x,則CM=x,CD=x,PM=AD=x,PC=PD==2x.
如圖,取CD的中點N,連接PN,則PN⊥CD,
所以PN===x.
因為△PCD的面積為2,所以×x×x=2,
解得x=-2(舍去)或x=2.
于是AB=BC=2,AD=4,PM=2.
所以四棱錐P-ABCD的體積V=××2=4.
11.(20xx·山東濰坊模擬)如圖,在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.
(1)證明:AA1⊥BD;
(2)證明:CC
12、1∥平面A1BD.
證明:(1)因為D1D⊥平面ABCD,且BD?平面ABCD,
所以D1D⊥BD.
又因為AB=2AD,∠BAD=60°,
在△ABD中,由余弦定理得
BD=
==AD,
所以AD2+BD2=AB2,即AD⊥BD.
又AD∩D1D=D,所以BD⊥平面ADD1A1.
又AA1?平面ADD1A1,所以AA1⊥BD.
(2)連接AC,A1C1.
設AC∩BD=E,連接EA1,
因為四邊形ABCD為平行四邊形,
所以EC=AC.
由棱臺定義及AB=2AD=2A1B1知,A1C1∥EC且A1C1=EC,
所以四邊形A1ECC1為平行四邊形,
因此CC
13、1∥EA1.
又因為EA1?平面A1BD,CC1?平面A1BD.
所以CC1∥平面A1BD.
12.(20xx·吉林調(diào)研)如圖①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中點,O是AC與BE的交點.將△ABE沿BE折起到圖②中△A1BE的位置,得到四棱錐A1-BCDE.
(1)證明:CD⊥平面A1OC;
(2)當平面A1BE⊥平面BCDE時,四棱錐A1-BCDE的體積為36,求a的值.
解:(1)證明:在題圖①中,因為AB=BC=AD=a,E是AD的中點,∠BAD=,所以BE⊥AC.
即在題圖②中,BE⊥A1O,BE⊥OC,
從而BE⊥平面A1OC,
又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.
(2)由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,
且平面A1BE∩平面BCDE=BE,
又由(1),A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,
即A1O是四棱錐A1-BCDE的高.
由題圖①知,A1O=AB=a,平行四邊形BCDE的面積S=BC·AB=a2.
從而四棱錐A1-BCDE的體積為V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36,得a=6.