《新編廣東省廣州市高考數(shù)學一輪復習 專項檢測試題:24 不等式恒成立問題的處理方法》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《新編廣東省廣州市高考數(shù)學一輪復習 專項檢測試題:24 不等式恒成立問題的處理方法(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
不等式恒成立問題的處理方法
1、轉(zhuǎn)換為求函數(shù)的最值
恒成立的最大值;
恒成立的最小值。
例1、已知函數(shù)在處取得極值,其中為常數(shù)。
(1)試確定的值;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍。
解:(1)(2)略(3)由(2)知,在處取得極小值,此極小值也是最小值。要使恒成立,只需,即,
從而,解得或,的取值范圍為。
例2、已知對任意恒成立,試求實數(shù)的取值范圍。
解:等價于對任意恒成立,又等價于時,的最小值成立。
由于在上為增函數(shù),則,所以。
例3、函數(shù)在上既是奇函數(shù)又是減函數(shù),且當時,有恒成立,求實數(shù)的
2、取值范圍。
解:由得到:因為為奇函數(shù),故有恒成立,
又因為為減函數(shù),從而有對恒成立;
設,則對于恒成立,函數(shù),對稱軸為。
①當時,,即,又∴
②當,即時,,即,
∴,又,∴
③當時,恒成立?!?
故由①②③可知:。
2、主參換位
例4、若不等式對恒成立,求實數(shù)的取值范圍。
例5、若對于任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍。
解:
例6、已知函數(shù),其中為實數(shù)。若不等式對任意都成立,求實數(shù)的取值范圍。
解:由題設知,對任意,不等式都成立,
即,都成立。
設(),則是一個以為自變量的一次函數(shù)。
恒成立,則,為上的單調(diào)遞增函數(shù)。
所以對任意,恒成立的充分必
3、要條件是,,
,于是的取值范圍是。
3、分離參數(shù)
(1)將參數(shù)與變量分離,即化為(或)恒成立的形式;
(2)求在上的最大(或最?。┲?;
(3)解不等式(或),得的取值范圍。
適用題型:參數(shù)與變量能分離;函數(shù)的最值易求出。
例7、當時,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是 。
解:當時,由得。
令,則易知在上是減函數(shù),
所以時,則∴。
例8、已知函數(shù),其中。
(1)當滿足什么條件時,取得極值;
(2)已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍。
解:(1)
(2)在區(qū)間上單調(diào)遞增在上恒成立
恒成立,;
設,,令得或(舍),
當時,
4、,當時,單調(diào)增函數(shù);
當時,單調(diào)減函數(shù),,;
當時,,此時在區(qū)間恒成立,所以在區(qū)間
上單調(diào)遞增,,。
綜上,當時, ;當時,。
4、數(shù)形結(jié)合
例9、若對任意,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是 。
解:,不等式恒成立,則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖象知,即。
例10、當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍。
例11、已知關于的函數(shù),
其中,若當在區(qū)間內(nèi)任意取值時,的值恒為正,求實數(shù)的取值范圍。
解:,令,則,
則有,于是問題轉(zhuǎn)化為:
當時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍。
因為是關于的一次函數(shù),則當時,恒成立的充要條件是,解得。
所以當時,;
當時,。