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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第3講 圓的方程 一、填空題 1．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程為__________________． 解析　由題意知所求圓的圓心坐標(biāo)為(0，－2)，所以所求圓的方程為x2＋(y＋2)2＝5. 答案　x2＋(y＋2)2＝5 2．已知直線3x＋4y－24＝0與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn)都在一個(gè)圓上，則該圓的半徑是________． 解析 依題意得，直線3x＋4y－24＝0與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(8,0)，B(0,6)，由題知線段AB為圓的直徑，且|AB|＝10，因此圓的半徑是5. 答案 5 3．若圓x2＋y2－ax＋2y＋1＝

2、0與圓x2＋y2＝1關(guān)于直線y＝x－1對稱，過點(diǎn) C(－a，a)的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為________． 解析 由圓x2＋y2－ax＋2y＋1＝0與圓x2＋y2＝1關(guān)于直線y＝x－1對稱可知兩圓半徑相等且兩圓圓心連線的中點(diǎn)在直線y＝x－1上，故可得a＝2，即點(diǎn)C(－2,2)，所以過點(diǎn)C(－2,2)且與y軸相切的圓P的圓心的軌跡方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋8＝0. 答案 y2＋4x－4y＋8＝0[來源:] 4．已知圓心在x軸上，半徑為的圓O位于y軸左側(cè)，且與直線x＋y＝0 相切，則圓O的方程是________． 解析 設(shè)圓心為

3、(a,0)(a<0)，則＝， ∴a＝－，∴圓O的方程為(x＋)2＋y2＝5. 答案 (x＋)2＋y2＝5 5．已知點(diǎn)M是直線3x＋4y－2＝0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值是________． 解析　圓心(－1，－1)到點(diǎn)M的距離的最小值為點(diǎn)(－1，－1)到直線的距離d＝＝，故點(diǎn)N到點(diǎn)M的距離的最小值為d－1＝. 答案　 6．平移直線x－y＋1＝0使其與圓(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，則平移的最短距離為________． 解析 圓心(2,1)到直線的距離d＝＝. 所以，平移的最短距離為－1. 答案 －1 7．已知兩點(diǎn)A(

4、0，－3)、B(4,0)，若點(diǎn)P是圓x2＋y2－2y＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則 △ABP面積的最小值為________． 解析 如圖，過圓心C向直線AB作垂線交圓于點(diǎn)P， 這時(shí)△ABP的面積最?。本€AB的方程為＋＝1， 即3x－4y－12＝0，圓心C到直線AB的距離為 d＝＝， ∴△ABP的面積的最小值為×5×＝. 答案 8．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，則半徑r的取值范圍是________． 解析　因?yàn)閳A心(3，－5)到直線4x－3y－2＝0的距離為5，所以當(dāng)半徑r＝4時(shí)，圓上有1個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距

5、離等于1，當(dāng)半徑r＝6時(shí)，圓上有3個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，所以圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離等于1時(shí)，4＜r＜6. 答案　(4,6) 9．已知圓C的圓心與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)關(guān)于直線y＝x對稱．直線4x－3y－2＝0與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且AB＝6，則圓C的方程為________． 解析　拋物線y2＝4x，焦點(diǎn)為F(1,0)．∴圓心C(0,1)，C到直線4x－3y－2＝0的距離d＝＝1，且圓的半徑r滿足r2＝12＋32＝10.∴圓的方程為x2＋(y－1)2＝10. 答案　x2＋(y－1)2＝10 10．圓心在曲線y＝(x>0)上，且與直線3x＋

6、4y＋3＝0相切的面積最小的圓的方程為________． 解析 設(shè)圓心坐標(biāo)為(a>0)，則圓心到直線3x＋4y＋3＝0的距離d(a)＝＝≥(4＋1)＝3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2時(shí)等號成立．此時(shí)圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為3. 答案 (x－2)2＋2＝9 二、解答題 11．已知圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，點(diǎn)A(3,5)．[來源:] (1)求過點(diǎn)A的圓的切線方程； (2)O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，連結(jié)OA，OC，求△AOC的面積S. 解 (1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1. 當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，有直線x＝3，C(2,3)到直線的距離為1，滿足條件． 當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線y－5＝

7、k(x－3)，即y＝kx＋5－3k，＝1，解得k＝. ∴過點(diǎn)A的圓的切線方程為：x＝3或y＝x＋. (2)|AO|＝＝，lOA：5x－3y＝0，點(diǎn)C到直線OA的距離d＝，S＝d|AO|＝. 12．已知圓M過兩點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心M在直線x＋y－2＝0上 (1)求圓M的方程； (2)設(shè)P是直線3x＋4y＋8＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓M的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值． 解 (1)設(shè)圓M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 根據(jù)題意得： 解得a＝b＝1，r＝2， 故所求圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4. (

8、2)由題意知，四邊形PAMB的面積為 S＝S△PAM＋S△PBM＝AM·PA＋BM·PB. 又AM＝BM＝2，PA＝PB，所以S＝2PA， 而PA＝＝， 即S＝2. 因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可， 即在直線3x＋4y＋8＝0上找一點(diǎn)P，使得PM的值最小， 所以PMmin＝＝3， 所以四邊形PAMB面積的最小值為 Smin＝2＝2＝2. 13．已知直線l：x＝4與x軸相交于點(diǎn)M，P是平面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足PM⊥PO(O是坐標(biāo)原點(diǎn))． (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)過直線l上一點(diǎn)D(D≠M(fèi))作曲線C的切線，切點(diǎn)為E，與x軸相交點(diǎn)為F，若＝，求切線DE的方程

9、． 解　(1)依題意，知M(4,0)， 設(shè)P(x，y)(x≠0且x≠4)， 由PM⊥PO，得kPM·kPO＝－1，即·＝－1， 整理得，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0且x≠4)． (2)DE、DM都是圓(x－2)2＋y2＝4的切線，∴DE＝DM. ∵＝，∴DF＝2DE＝2DM，∴∠DFM＝. 設(shè)C(2,0)，在△CEF中，∠CEF＝，∠CFE＝，CE＝2， ∴CF＝4，根據(jù)題意取F(－2,0)． 切線DE的傾斜角α＝或， ∴切線DE的斜率k＝或－， 切線DE的方程為y＝±(x＋2)． 14．已知圓C通過不同的三點(diǎn)P(m,0)，Q(2,0)，R(0,

10、1)，且CP的斜率為－1. (1)試求圓C的方程； (2)過原點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線l1，l2，且l1交圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，l2交圓C于G，H兩點(diǎn)，求四邊形EGFH面積的最大值． 解　(1)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則C點(diǎn)的坐標(biāo)為，且PC的斜率為－1， 所以＝－1. ① 因?yàn)閳AC通過不同的三點(diǎn)P(m,0)，Q(2,0)，R(0,1)， 所以聯(lián)立①②③④，解得 所以圓C的方程為x2＋y2＋x＋5y－6＝0 即2＋2＝. (2)圓心C的坐標(biāo)為，圓心到l1，l2的距離設(shè)為d1，d2，則d＋d＝OC2＝，又2＋d＝， 2＋d＝， 兩式相加，得EF2＋GH2＝74≥2EF·GH.所以 S＝EF·GH≤，即(S四邊形EGFH)max＝.