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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第3講 直線、平面平行的判定及性質(zhì) 一、填空題 1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是________． 解析　因為AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，所以CD∥平面α，所以CD與平面α內(nèi)的直線可能平行，也可能異面． 答案　平行或異面 2．已知兩條直線a、b與兩個平面α、β，b⊥α，則下列命題中正確的是________． ①若a∥α，則a⊥b；②若a⊥b，則a∥α； ③若b⊥β，則α∥β；④若α⊥β，則b∥β. 解析 對于①：a∥α，在α內(nèi)存在a′∥a，又b⊥α，∴b⊥a′，∴b⊥

2、a正確；對于②：a還可以在α內(nèi)；對于③：b⊥β，b⊥α，∴α∥β，正確；對于④：b?β或b∥β，故錯誤． 答案 ①③ 3．已知直線a不平行于平面α，給出下列四個結(jié)論： ①α內(nèi)的所有直線都與a異面； ②α內(nèi)不存在與a平行的直線； ③α內(nèi)的直線都與a相交； ④直線a與平面α有公共點． 以上正確命題的序號________． 解析　因為直線a不平行于平面α，則直線a與平面α相交或直線a在平面α內(nèi)，所以選項①、②、③均不正確． 答案?、? 4．對于平面M與平面N，有下列條件：①M、N都垂直于平面Q；②M、N都平行于平面Q；③M內(nèi)不共線的三點到N的距離相等；④l為一條直線，且l∥M，l

3、∥N；⑤l，m是異面直線，且l∥M，m∥M；l∥N，m∥N，則可判定平面M與平面N平行的條件是________(填正確結(jié)論的序號)． 解析 由面面平行的判定定理及性質(zhì)定理知，只有②、⑤能判定M∥N. 答案 ②⑤ 5．過三棱柱ABC－A1B1C1的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有________條． 解析　過三棱柱ABC－A1B1C1的任意兩條棱的中點作直線，記AC，BC，A1C1，B1C1的中點分別為E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1，則直線EF，E1F1，EE1，F(xiàn)F1，E1F，EF1均與平面ABB1A1平行，故符合題意的直線共6條． 答案　6 6．如圖邊長為a的

4、等邊三角形ABC的中線 AF與中位線DE交于點G，已知△A′DE是△ADE繞 DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，則下列命題中正確的是________． ①動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上； ②BC∥平面A′DE； ③三棱錐A′－FED的體積有最大值． 解析 ①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC， ∴點A′在平面ABC上的射影在線段AF上．[來源:] ②BC∥DE，∴BC∥平面A′DE. ③當(dāng)平面A′DE⊥平面ABC時，三棱錐A′－FED的體積達(dá)到最大． 答案 ①②③ 7．若m、n為兩條不重合的直線，α、β為兩個不重合的平面，則下列命題中真命題的序號是________

5、． ①若m、n都平行于平面α，則m、n一定不是相交直線； ②若m、n都垂直于平面α，則m、n一定是平行直線； ③已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，則n∥β； ④若m、n在平面α內(nèi)的射影互相平行，則m、n互相平行． 解析?、贋榧倜}，②為真命題，在③中，n可以平行于β，也可以在β內(nèi)，故是假命題，在④中，m、n也可能異面，故為假命題． 答案?、? 8．對于平面M與平面N，有下列條件：①M、N都垂直于平面Q；②M、N都平行于平面Q；③M內(nèi)不共線的三點到N的距離相等；④l，m為兩條平行直線，且l∥M，m∥N；⑤l，m是異面直線，且l∥M，m∥M；l∥N，m∥N，則可判定平面M與

6、平面N平行的條件是________(填正確結(jié)論的序號)． 解析　由面面平行的判定定理及性質(zhì)定理知，只有②⑤能判定M∥N. 答案?、冖? 9．在下面四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形序號是________． 解析　由線面平行的判定定理知圖①②可得出AB∥平面MNP. 答案?、佗? 10. 如圖，兩個正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，設(shè)M，N分別是BD和AE的中點，那么：①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE異面，其中正確結(jié)論的序號是________． 答案?、佗冖? 二、解答題 1

7、1. 如圖，在六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，A1B＝A1D，AB＝AD.求證： (1)AA1⊥BD； (2)BB1∥DD1. 證明　(1)取BD的中點M，連結(jié)AM，A1M.因為A1D＝A1B，AD＝AB，所以BD⊥AM，BD⊥A1M.又AM∩A1M＝M，AM，A1M?平面A1AM， 所以BD⊥平面A1AM. 因為AA1?平面A1AM，所以AA1⊥BD. (2)因為AA1∥CC1，AA1?平面D1DCC1，CC1?平面D1DCC1，所以AA1∥平面D1DCC1. 又AA1?平面A1ADD1，平面A1ADD1∩平面D1DCC1＝DD1，所以AA1∥DD1. 同

8、理可得AA1∥BB1，所以BB1∥DD1. 12．如圖，已知平行四邊形ABCD中，BC＝6， 正方形ADEF所在平面與平面 ABCD垂直，G，H分別是DF，BE的中點． (1)求證：GH∥平面CDE； (2)若CD＝2，DB＝4，求四棱錐F－ABCD的體積． 解 (1)證明：方法一：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC. 又EF＝AD＝BC， ∴四邊形EFBC是平行四邊形， ∴H為FC的中點． 又∵G是FD的中點，∴HG∥CD. ∵HG?平面CDE，CD?平面CDE， ∴GH∥平面CDE. 方法二：連結(jié)EA，∵ADEF是正方形，∴G是AE的中點． ∴在△

9、EAB中，GH∥AB. 又∵AB∥CD， ∴GH∥CD. ∵HG?平面CDE，CD?平面CDE， ∴GH∥平面CDE. (2)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD， 且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD. ∵AD＝BC＝6，∴FA＝AD＝6. 又∵CD＝2，DB＝4，CD2＋DB2＝BC2， ∴BD⊥CD. ∵S?ABCD＝CD·BD＝8， ∴VF－ABCD＝S?ABCD·FA ＝×8×6＝16. 13. 如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知∠ACB＝90°，BC＝CC1，E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點． (1)求證：直線EF∥平面BC1A1； (2)

10、求證：EF⊥B1C. 證明　(1)由題知，EF是△AA1B的中位線，所以EF∥A1B且EF＝A1B.由于EF?平面BC1A1，A1B?平面BC1A1，所以EF∥平面BC1A1. (2)由題知，四邊形BCC1B1是正方形，所以B1C⊥BC1. 又∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，所以A1C1⊥C1B1. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面A1C1B1，A1C1?平面A1C1B1，從而A1C1⊥CC1. 又CC1∩C1B1＝C1，CC1，C1B1?平面BCC1B1，所以A1C1⊥平面BCC1B1.又B1C?平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C. 因為A1C1∩BC1＝C1

11、，A1C1，BC1?平面BC1A1，所以B1C⊥平面BC1A1.又A1B?平面BC1A1，所以B1C⊥A1B. 又由于EF∥A1B，所以EF⊥B1C. 14. 如圖，ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點O在線段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形． (1)證明直線BC∥EF； (2)求棱錐F－OBED的體積． (1)證明　如圖，設(shè)G是線段DA與線段EB延長線的交點， ∵△OAB與△ODE都是正三角形，且OA＝1，OD＝2， ∴OB綉DE，OG＝OD＝2，同理，設(shè)G′是線段DA與線段FC延長線的交點，有OG′＝OD＝2. 又G和G′都在線段DA的延長線上，∴G與G′重合． 在△GED和△GFD中，由OB綉DE和OC綉DF， 可知B，C分別是GE和GF的中點， ∴BC是△GEF的中位線，故BC∥EF. (2)解　由OB＝1，OE＝2，∠EOB＝60°，知S△EOB＝，而△OED是邊長為2的正三角形，故S△OED＝. ∴S四邊形OBED＝S△EOB＋S△OED＝. 如圖，過點F作FQ⊥AD，交AD于點Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐F－OBED的高，且FQ＝， ∴VF－OBED＝FQ·S四邊形OBED＝.