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1、
1
2、 1
階段復(fù)習小綜合一
一.選擇題
1.已知集合,,則=( ).
A. {1,2} B. {0,1,2} C. {1} D. {1,2,3}
【答案】A
【解析】,∴,故選A.
2.設(shè)命題,則為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】命題是全稱命題,苦否定是特稱命題: .故選B.
3. 【福建省
3、莆田期中】下列選項中,說法正確的個數(shù)是( )
①命題“”的否定為“”;②命題“在中, ,則”的逆否命題為真命題;③設(shè)是公比為的等比數(shù)列,則“”是“為遞增數(shù)列”的充分必要條件;④若統(tǒng)計數(shù)據(jù)的方差為,則的方差為;⑤若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)絕對值越接近1.
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】A
4.【江西省贛州市期中】等比數(shù)列中, ,則“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
5.已知,則的大小關(guān)系是( )
4、
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題得: ,而,所以而,又,所以c最小,又, 又,所以,故選C
6. 【黑龍江省齊齊哈爾第一次模擬】函數(shù)的大致圖象為( )
【答案】A
【解析】當時, ,排除B,D,當x時, ,排除C,故選:A
7.已知,若,則( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為,則,所以,由于,因此,即,所以,即,應(yīng)選答案C.
8.【安溪四校期中聯(lián)考】定義在R上的函數(shù)滿足 時, 則 ( )
A. 1 B. C. D.
【答案】C
5、
9.已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個極值點,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為函數(shù)有兩個極值點,所以 ,所以函數(shù)與圖像有兩交點,顯然,當兩函數(shù)圖像相切時,設(shè)切點,則, ,所以,解得,所以,故選A.
10.已知函數(shù)的周期為,當時, 如果,則函數(shù)的所有零點之和為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知,在同一坐標系中分別畫出函數(shù)的圖象和 的圖象,如下圖所示,當 時, 為增函數(shù),且 ,當 時, ,兩個函數(shù)的圖象沒有交點,根據(jù)它們的圖象都是關(guān)于直
6、線 對稱,結(jié)合圖象知有8個交點,利用對稱性,這8個交點的橫坐標之和為,即所有零點之和為8.選A.
11.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,若對于任意, 恒成立,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
12.【廣西賀州市第四次聯(lián)考】已知表示不大于的最大整數(shù),若函數(shù)在上僅有一個零點,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】若,當, , .,∴當,即時, 在上有一個零點.當, , , , ,故在上無零點.若,當, 在上無零點.當, , .∴當,即(此時對稱軸)時, 在上有
7、一個零點.故當時, 在上僅有一個零點.選D
二.填空題
13.函數(shù)的定義域為__________.
【答案】
14.函數(shù)是定義域為的奇函數(shù),則________.
【答案】-4
【解析】函數(shù)是奇函數(shù),所以圖象關(guān)于原點 對稱,則函數(shù) 的圖象由函數(shù)的圖象先向下平移2個單位,再向右平移1個單位得到,所以函數(shù) 的圖象關(guān)于點對稱,所以.
15.對正整數(shù),設(shè)曲線在處的切線與軸交點的縱坐標為,則數(shù)列的前項和等于__________.
【答案】
【解析】,所以在處的切線的斜率為,所以切線方程為: ,令故, =,所以數(shù)列的前項和為等比數(shù)列求和
16.【天津市實驗中學期中】對于函數(shù),設(shè)
8、,若存在,使得,則稱互為“零點相鄰函數(shù)”.若函數(shù)與互為“零點相鄰函數(shù)”,則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
三.解答題
17.已知函數(shù)(其中,為常數(shù)且)在處取得極值.
(Ⅰ)當時,求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若在上的最大值為1,求的值.
【解析】(Ⅰ)因為,所以,因為函數(shù)在處取得極值,,當時,,,由,得或;由,得,即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為.
(Ⅱ)因為,令,,,因為在處取得極值,所以,當時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以在區(qū)間上的最大值為,令,解得,當,,當時,在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以最大值1可能的在或處取得,而,所以,解得;當時
9、,在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以最大值1可能在或處取得,而,所以,解得,與矛盾.當時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所最大值1可能在處取得,而,矛盾.綜上所述,或.
18.已知函數(shù),,
(1)當,求的最小值,
(2)當時,若存在,使得對任意,成立,求實數(shù)的取值范圍.
(2)已知等價于 ,由(1)知時在上 ,而 ,當, ,所以 ,所以實數(shù)的取值范圍是 .
19.已知函數(shù),.
(Ⅰ)若與相切,求的值;
(Ⅱ)當時,為上一點,為上一點,求的最小值;
(Ⅲ),使成立,求參數(shù)的取值范圍.
【解析】(1)設(shè)切點為,則,解得或(舍)
所以切點為,代入,得.
(2)
10、,設(shè)的兩根
0
增
極大值
減
由(1)知與在處相切且,所以當時,與無交點,的最小值為切線與的距離,即.
(3)由題意得,即.
設(shè),則問題轉(zhuǎn)化為即可,通過求導(dǎo)可得,
所以
20.已知函數(shù),.
(1)分別求函數(shù)與在區(qū)間上的極值;
(2)求證:對任意,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當時,,,故;
當時,,令,則,
故在上遞增,在上遞減,,;
綜上,對任意,.
21.已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)設(shè)過點的直線與曲線相切于點,求的值;
(2)函數(shù)的的導(dǎo)函數(shù)為,若在上恰有兩個零點,求的取值范圍.
(2)令,所以,設(shè),
11、則,因為函數(shù)在上單增,若在上恰有兩個零點,則在有一個零點,所以,∴在上遞減,在上遞增,所以在上有最小值,因為(),設(shè)(),則,令,得,當時,,遞增,當時,,遞減,所以,∴恒成立,若有兩個零點,則有,,,由,,得,綜上,實數(shù)的取值范圍是.
22. 【江西省贛州期中】已知為常數(shù), ,函數(shù), (其中是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)過坐標原點作曲線的切線,設(shè)切點為,求證: ;
(2)令,若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.
(2), ,設(shè),則,易知在上是減函數(shù),從而.
①當,即時, , 在區(qū)間上是增函數(shù),∵,∴在上恒成立,即在上恒成立.∴在區(qū)間上是減函數(shù),所以滿足題意.
②當,即時,設(shè)函數(shù)的唯一零點為,則在上遞增,在上遞減,
又∵,∴,又∵,∴在內(nèi)有唯一一個零點,當時, ,當時, .從而在遞減,在遞增,與在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)矛盾.∴不合題意.綜上①②得, .