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新編備戰(zhàn)高考黃金100題解讀與擴(kuò)展系列之不等式:專題六 基本不等式的應(yīng)用 Word版含解析

上傳人:沈*** 文檔編號(hào):62319465 上傳時(shí)間:2022-03-14 格式:DOC 頁(yè)數(shù):5 大?。?07KB
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1、 I.題源探究·黃金母題 【例1】已知直角三角形的面積等于50,兩條直角邊各為多少時(shí),兩條直角邊的和最小,最小值是多少? 【解析】設(shè)兩條直角邊為,,根據(jù)基本不等式 ,即,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),等號(hào)成立,即最小值是. 精彩解讀 【試題來(lái)源】人教版A版必修5 第100頁(yè),練習(xí)2. 【母題評(píng)析】本題考查應(yīng)用基本不等式求最值.作為基礎(chǔ)題,是歷年來(lái)高考的??键c(diǎn). 【思路方法】和定積有最大值,積定和有最小值. II.考場(chǎng)精彩·真題回放 【例2】【20xx高考湖南,文7】若實(shí)數(shù)滿足 ,則的最小值為 ( ) A. B.2

2、 C.2 D.4 【答案】C. 【解析】 (當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)),的最小值為,故選C. 【命題意圖】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用.本題能較好的考查考生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力等. 【考試方向】這類試題在考查題型上,通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),難度中等. 【難點(diǎn)中心】解答此類問(wèn)題,關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用基本不等式首先和與積互化. 【例3】【20xx高考福建文5】若直線過(guò)點(diǎn),則的最小值等于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】由已知得,則

3、 . ,故, 當(dāng),即時(shí)取等號(hào). 【命題意圖】本題考查直線方程以及運(yùn)用均值不等式求解析幾何中的最值問(wèn)題. 【考試方向】這類試題在考查題型上,通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),難度較大,往往是高中數(shù)學(xué)主要知識(shí)的交匯題. 【難點(diǎn)中心】活用“1”,“以常馭變”運(yùn)用均值不等式求解有關(guān)的最值問(wèn)題. III.理論基礎(chǔ)·解題原理 不等式稱為基本不等式,常見(jiàn)的與這個(gè)不等式有關(guān)的其它不等式有: . 等. IV.題型攻略·深度挖掘 【考試方向】 這類試題在考查題型上,通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),一般難度中等或偏難. 【技能方法】 (1)基本不等式具有將“和式”與“積式”互化的放縮

4、功能,創(chuàng)造運(yùn)用基本不等式的條件,合理拆添項(xiàng)或配湊因式是解題的關(guān)鍵,滿足取等條件是前提.“和定積最大,積定和最小”“一正二定三相等”是常用的口訣. (2)必須掌握的三個(gè)不等式:①,,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào));②,,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào));③,,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)). 【易錯(cuò)指導(dǎo)】 (1)注意不等式成立的條件是,若,應(yīng)先轉(zhuǎn)化為,再運(yùn)用基本不等式求解. (2)“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立”的含義是“”是等號(hào)成立的充要條件,這一點(diǎn)至關(guān)重要,忽略它往往會(huì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤. (3)有些題目要多次運(yùn)用基本不等式才能求出最后結(jié)果,針對(duì)這種情況,要切記等號(hào)成立的條件. V.舉一反三·觸類旁通 考向1 利用基

5、本不等式求函數(shù)最大值、最小值 【例3】【20xx全國(guó)大聯(lián)考1山東卷】已知不等式對(duì)一切恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A. 【名師點(diǎn)睛】(1)利用基本不等式求函數(shù)最大(?。┲担骸昂投ǚe最大,積定和最小”; (2)應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)“一正、二定、三相等”三個(gè)條件缺一不可. 【跟蹤訓(xùn)練】【20xx海南中學(xué)考前模擬】設(shè)均為正數(shù),且,則的最小值為( ) A.16

6、 B.15 C.10 D.9 【答案】D 考向2 均值不等式應(yīng)用題 【例4】【吉林省長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)(理)試題】某公司生產(chǎn)一批A產(chǎn)品需要原材料500噸,每噸原材料可創(chuàng)造利潤(rùn)12萬(wàn)元.該公司通過(guò)設(shè)備升級(jí),生產(chǎn)這批A產(chǎn)品所需原材料減少了x噸,且每噸原材料創(chuàng)造的利潤(rùn)提高0.5x%;若將少用的x噸原材料全部用于生產(chǎn)公司新開(kāi)發(fā)的B產(chǎn)品,每噸原材料創(chuàng)造的利潤(rùn)為12(a﹣x)萬(wàn)元(a>0). (Ⅰ)若設(shè)備升級(jí)后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤(rùn)不低于原來(lái)生產(chǎn)該批A產(chǎn)品的利潤(rùn),求x的取值范圍. (Ⅱ

7、)若生產(chǎn)這批B產(chǎn)品的利潤(rùn)始終不高于設(shè)備升級(jí)后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤(rùn),求a的最大值. 【考點(diǎn)】基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用;函數(shù)的零點(diǎn). 【專題】應(yīng)用題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;不等式. 【分析】(Ⅰ)由題意,12(500﹣x)(1+0.5x%)≥12×500,即可求x的取值范圍. (Ⅱ)利用生產(chǎn)這批B產(chǎn)品的利潤(rùn)始終不高于設(shè)備升級(jí)后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤(rùn),建立不等式,即可求a的最大值. ∴a≤++.∵+≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=250時(shí)等號(hào)成立,∴0<a≤5.5,∴a的最大值是5.5. 【名師點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,考查學(xué)生解不等式的能力,屬于中檔題. 選

8、擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,列車函數(shù)解析式,利用基本不等式求函數(shù)最值. 【跟蹤訓(xùn)練】為了降低能源損耗,某體育館的外墻需要建造隔熱層.體育館要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬(wàn)元)與隔熱層厚度(單位:cm)滿足關(guān)系:(,為常數(shù)),若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元.設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和. (1)求的值及的表達(dá)式; (2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用達(dá)到最???并求最小值. 【答案】(1),;(2)隔熱層修建5 cm厚時(shí),總費(fèi)用達(dá)到最小,最小值為70萬(wàn)元. 【解析】 (1)當(dāng)時(shí),,,,. (2),設(shè),. 當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.這時(shí),因此的最小值為70. 即隔熱層修建5 cm厚時(shí),總費(fèi)用達(dá)到最小,最小值為70萬(wàn)元.

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