28、線y＝x3－2x上的點(diǎn)(1，－1)的切線方程．
[錯解] ∵y′＝3x2－2，∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝3×12－2＝1.
∴切線方程為：y＋1＝x－1即x－y－2＝0.
[錯因分析] 錯把(1，－1)當(dāng)切點(diǎn)．
[正解] 設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切線的斜率為
y′＝3x－2.
∴切線方程為y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．
又知切線過點(diǎn)(1，－1)，把它代入上述方程，得
－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，
整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
解得x0＝1或x0＝－.
故所求切線方程為y－(1－2)＝
29、(3－2)(x－1)，
或y－＝，
即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.
[防范措施] 過曲線上的點(diǎn)(1，－1)的切線與曲線的切點(diǎn)可能是(1，－1)，也可能不是(1，－1).本題錯誤的根本原因就是把(1，－1)當(dāng)成了切點(diǎn).解決這類題目時(shí)，一定要注意區(qū)分“過點(diǎn)A的切線方程”與“在點(diǎn)A處的切線方程”的不同.雖只有一字之差，意義完全不同，“在”說明這點(diǎn)就是切點(diǎn)，“過”只說明切線過這個點(diǎn)，這個點(diǎn)不一定是切點(diǎn).
補(bǔ)救訓(xùn)練4 已知函數(shù)f(x)＝aln x－2ax＋b，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程是y＝2x＋1，則a＋b的值是________．
答案?。?
解析 因
30、為f′(x)＝－2a，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為2，所以f′(1)＝－a＝2，所以a＝－2，f(x)＝－2ln x＋4x＋b，由切線方程可得f(1)＝3，所以f(1)＝4＋b＝3，可得b＝－1.所以a＋b＝－3.
極值的概念不清致誤
已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值為10，則a＋b＝________.
[錯解] 由已知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，則
解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3，
故a＋b＝－7或a＋b＝0.
[錯因分析] x＝1是f(x)的極值點(diǎn)?f′(1)＝0；
忽視了“f′(1)＝0x＝1是f(x
31、)的極值點(diǎn)”的情況．
[正解] f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1時(shí)，函數(shù)取得極值10，
得
聯(lián)立①②得或
當(dāng)a＝4，b＝－11時(shí)，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1兩側(cè)的符號相反，符合題意．
當(dāng)a＝－3，b＝3時(shí)，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1兩側(cè)的符號相同，所以a＝－3，b＝3不符合題意，舍去．
綜上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.
[答案]?。?
[防范措施] “函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值為0”是“函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0處取極值”的必要條件，而非充分條件，但解題中卻把“可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x＝x0處取極值”的必
32、要條件誤作充要條件.
對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)：x0是極值點(diǎn)的充要條件是x0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，即f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0的左右的符號：“左正右負(fù)”?f(x)在x0處取極大值；“左負(fù)右正”?f(x)在x0處取極小值，而不僅是f′(x0)＝0.f′(x0)＝0是x0為極值點(diǎn)的必要而不充分條件.對于給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮f′(x0)＝0，又考慮檢驗(yàn)“左正右負(fù)”(“左負(fù)右正”)的轉(zhuǎn)化，否則易產(chǎn)生增根.
補(bǔ)救訓(xùn)練5 [2016·蘭州質(zhì)檢]函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有極大值又有極小值，則a的取值范圍是________．
答案 (－∞，－1)∪(2，
33、＋∞)
解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因?yàn)閒(x)既有極大值又有極小值，所以Δ>0，即36a2－4×3×3(a＋2)>0，解得a>2或a<－1.即a的取值范圍是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
函數(shù)零點(diǎn)求解討論不全致誤
函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋1有且僅有一個正實(shí)數(shù)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(－∞，1] B．(－∞，0]∪{1}
C.(－∞，0)∪{1} D．(－∞，1)
[錯解] 若Δ＝0，解得m＝1；若Δ>0，則x1·x2＝<0，解得m<0，故選C.
[錯因分析] 沒有對m是否為零進(jìn)行討論．
[正解] 當(dāng)m＝0時(shí)，x＝為函數(shù)的
34、零點(diǎn)；當(dāng)m≠0時(shí)，若Δ＝0，即m＝1時(shí)，x＝1是函數(shù)唯一的零點(diǎn)，若Δ≠0，顯然x＝0不是函數(shù)的零點(diǎn)，這樣函數(shù)有且僅有一個正實(shí)數(shù)零點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一個正根一個負(fù)根，即mf(0)<0，即m<0.故選B.
[答案] B
[防范措施] 解決此類問題的關(guān)鍵是對參數(shù)的討論要全面，對函數(shù)零點(diǎn)的定理使用要正確，如本題錯解中忽略了對m＝0的討論.
補(bǔ)救訓(xùn)練6 [2016·東三省聯(lián)考]已知在區(qū)間[－4,4]上f(x)＝g(x)＝－x2－x＋2(－4≤x≤4)，給出下列四個命題：
①函數(shù)y＝f[g(x)]有三個零點(diǎn)；
②函數(shù)y＝g[f(x)]有三個零點(diǎn)；
③函數(shù)y＝f
35、[f(x)]有六個零點(diǎn)；
④函數(shù)y＝g[g(x)]有且只有一個零點(diǎn)．
其中正確命題的個數(shù)是( )
A.1 B．2
C.3 D．4
答案 D
解析 如圖，畫出f(x)，g(x)的草圖．
①設(shè)t＝g(x)，則由f[g(x)]＝0，得f(t)＝0，則t＝g(x)有三個不同值，由于y＝g(x)是減函數(shù)，所以f[g(x)]＝0有3個解，所以①正確；
②設(shè)m＝f(x)，若g[f(x)]＝0，即g(m)＝0，則m＝x0∈(1,2)，所以f(x)＝x0∈(1,2)，由圖象知對應(yīng)f(x)＝x0∈(1,2)的解有3個，所以②正確；
③設(shè)n＝f(x)，若f[f(x)]＝0，即f(n)
36、＝0，n＝x1∈(－3，－2)或n＝0或n＝x2＝2，而f(x)＝x1∈(－3，－2)有1個解，f(x)＝0對應(yīng)有3個解，f(x)＝x2＝2對應(yīng)有2個解，所以f[f(x)]＝0共有6個解，所以③正確；
④設(shè)s＝g(x)，若g[g(x)]＝0，即g(s)＝0，所以s＝x3∈(1,2)，則g(x)＝x3，因?yàn)閥＝g(x)是減函數(shù)，所以方程g(x)＝x3只有1個解，所以④正確.
導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系理解不準(zhǔn)致誤
函數(shù)f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．
[錯解] 由f(x)＝ax3－x2＋x－5得f′(x)＝3ax2－2x＋1，由f′(x)>
37、0，得解得a>.
[錯因分析] f(x)在R上是增函數(shù)等價(jià)于f′(x)≥0在R上恒成立．漏掉了f′(x)＝0的情況．
[正解] f(x)＝ax3－x2＋x－5的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝3ax2－2x＋1，由f′(x)≥0，得解得a≥.
[答案] a≥
[防范措施] f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(遞減)的充分不必要條件.實(shí)際上，對可導(dǎo)函數(shù)f(x)而言，f(x)在(a，b)上為單調(diào)增(減)函數(shù)的充要條件為：對于任意x∈(a，b)，有f′(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)的任何子區(qū)間上都不恒為零.在解題時(shí)，若求單調(diào)區(qū)間，一般用充分條件即可.若由單調(diào)
38、性求參數(shù)，一般用充要條件即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，否則容易漏解.
補(bǔ)救訓(xùn)練7 已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－ln x在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立，易知y＝－x＋在上單調(diào)遞減，所以max＝，所以2a≥，解得a≥.選D.
三、三角函數(shù)、解三角形、平面向量
1α終邊與θ終邊相同(α的終邊在θ終邊所在的射線上)?α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等．
任意角
39、的三角函數(shù)的定義：設(shè)α是任意一個角，P(x，y)是α的終邊上的任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn))，它與原點(diǎn)的距離是r＝>0，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)，三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)．
2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝.
(3)誘導(dǎo)公式記憶口訣：奇變偶不變、符號看象限
角
－α
π－α
π＋α
2π－α
－α
正弦
－sinα
sinα
－sinα
－sinα
cosα
余弦
cosα
－cosα
－cosα
cosα
sinα
3三角函數(shù)的
40、圖象與性質(zhì)
(1)五點(diǎn)法作圖；
(2)對稱軸：y＝sinx，x＝kπ＋，k∈Z；y＝cosx，x＝kπ，k∈Z；
對稱中心：y＝sinx，(kπ，0)，k∈Z；y＝cosx，，k∈Z；y＝tanx，，k∈Z.
(3)單調(diào)區(qū)間：
y＝sinx的增區(qū)間：(k∈Z)，
減區(qū)間：(k∈Z)；
y＝cosx的增區(qū)間：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)，
減區(qū)間：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)；
y＝tanx的增區(qū)間：(k∈Z)．
(4)周期性與奇偶性：
y＝sinx的最小正周期為2π，為奇函數(shù)；y＝cosx的最小正周期為2π，為偶函數(shù)；y＝tanx的最小正周期為π，為奇函數(shù)．
41、易錯警示：求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，容易出現(xiàn)以下錯誤：
(1)不注意ω的符號，把單調(diào)性弄反，或把區(qū)間左右的值弄反；
(2)忘掉寫＋2kπ，或＋kπ等，忘掉寫k∈Z；
(3)書寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，錯把弧度和角度混在一起．如[0,90°]應(yīng)寫為.
4兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.
cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ.
tan(α±β)＝.
sin2α＝2sinαcosα.
cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝.
在三角的恒等變形中，注意常見的拆角、拼角技巧，如：
α＝(α＋β)－
42、β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]．
α＋＝(α＋β)－，α＝－.
5三角變換基本方法：化切為弦、降冪升冪、用三角公式轉(zhuǎn)化出特殊角、異角化同角、異名化同名．
6解三角形
(1)正弦定理：＝＝＝2R(R為三角形外接圓的半徑)．注意：①正弦定理的一些變式：(ⅰ)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(ⅱ)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(ⅲ)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②已知三角形兩邊及一對角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解，要結(jié)合具體情況進(jìn)行取舍．在△ABC中A>B?sinA>sinB.
(2)余弦
43、定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝等，常選用余弦定理判定三角形的形狀．
7解三角形的實(shí)際應(yīng)用問題注意區(qū)分俯角和仰角，方位角和方向角的不同．
8數(shù)0與零向量有區(qū)別，0的模為數(shù)0，它不是沒有方向，而是方向不定.0可以看成與任意向量平行，但與任意向量都不垂直，特別在書寫時(shí)要注意，否則有質(zhì)的不同．
9平面向量的基本概念及線性運(yùn)算
(1)加、減法的平行四邊形與三角形法則：＋＝；－＝.
(2)向量滿足三角形不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(3)實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記為λa，其長度和方向規(guī)定如下：
①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②λ>0，λa與a
44、同向；λ<0，λa與a反向；λ＝0或a＝0，λa＝0.
(4)平面向量的兩個重要定理
①向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.
②平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底．
10向量的平行與垂直
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，則a∥b?b＝λa?x1y2－x2y1＝0.
a⊥b(a≠0)?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
0看成與任意向量平行，特別在書寫時(shí)要注意，否則有質(zhì)的不同．
11
45、當(dāng)a·b＝0時(shí)，不一定得到a⊥b，當(dāng)a⊥b時(shí)，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)c與a(b·c)不一定相等，(a·b)c與c平行，而a(b·c)與a平行．
12向量的數(shù)量積
|a|2＝a2＝a·a，
a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2，
cosθ＝＝，
a在b上的投影＝|a|cos〈a，b〉＝＝.
注意：〈a，b〉為銳角?a·b>0且a、b不同向；
〈a，b〉為直角?a·b＝0且a、b≠0；
〈a，b〉為鈍角?a·b<0且a、b不反向．
13兩向量夾角的范圍為[0，π]，向量的夾角為銳角與向量的數(shù)量積大于0不等價(jià)．
14向量a
46、在向量b上的投影|a|cosθ是一個實(shí)數(shù)，可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，也可以是零．
15幾個向量常用結(jié)論
(1)＋＋＝0?P為△ABC的重心；
(2)·＝·＝·?P為△ABC的垂心；
(3)向量λ(λ≠0)所在直線過△ABC的內(nèi)心；
(4)||＝||＝||?P為△ABC的外心．
忽視角的范圍致誤
已知sinα＝，sinβ＝，且α，β為銳角，則α＋β＝________.
[錯解] ∵α、β為銳角，
∴cosα＝＝，cosβ＝＝.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝×＋×＝.
又0<α＋β<π.∴α＋β＝或α＋β＝π.
[錯因分析] 錯
47、解中沒有注意到0<α＋β<π，對于正弦值可能會有兩個解，而利用余弦求解，利用正負(fù)關(guān)系即可判斷．
[正解] 因?yàn)棣?，β為銳角，
所以cosα＝＝，
cosβ＝＝.
所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×－×＝.
又因?yàn)?<α＋β<π，所以α＋β＝.
[答案]
[防范措施] 對三角函數(shù)的求值問題，不僅要看已知條件中角的范圍，還要挖掘隱含條件，根據(jù)三角函數(shù)值縮小角的范圍；本題中(0，π)中角和余弦值一一對應(yīng)，最好在求角時(shí)選擇計(jì)算cos(α＋β)來避免增解.
補(bǔ)救訓(xùn)練1 [2016·嘉興測試]已知α為鈍角，sin＝，則sin＝________.
答案?。?
48、
解析 cos＝sin＝?cos－α＝，因?yàn)棣翞殁g角，即<α<π?－<－α<－，所以sin<0，
則sin＝－＝－.
三角函數(shù)圖象平移致誤
函數(shù)y＝3sin的圖象可由函數(shù)y＝3sin2x的圖象( )
A.向左平移個單位長度得到
B.向右平移個單位長度得到
C.向左平移個單位長度得到
D.向右平移個單位長度得到
[錯解] A
[錯因分析] 在三角函數(shù)圖象變換時(shí)，對于先進(jìn)行伸縮變換再進(jìn)行平移變換的平移量搞錯．
[正解] y＝3sin＝3sin，
∴只需將y＝3sin2x的x換成x＋即可．
∴y＝3sin2x的圖象向左平移個單位長度，
得到y(tǒng)＝3sin的圖象．
[
49、答案] C
[防范措施] 三角函數(shù)圖象變換時(shí)，由f(x)→f(x±a)(a>0)是左加右減，即x＋a是f(x)向左平移a個單位，x－a是f(x)向右平移a個單位．我們所說的平移多少是對x說的，即“對x說話”．解決此類問題的辦法一般是先平移后伸縮．在平移時(shí)，如x有系數(shù)ω，則先寫成ω(x＋φ)的形式．
補(bǔ)救訓(xùn)練2 將函數(shù)h(x)＝2sin的圖象向右平移個單位，再向上平移2個單位，得到函數(shù)f(x)的圖象，則函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)的圖象( )
A.關(guān)于直線x＝0對稱
B.關(guān)于直線x＝1對稱
C.關(guān)于(1,0)點(diǎn)對稱
D.關(guān)于(0,1)點(diǎn)對稱
答案 D
解析 依題意，將h(x
50、)＝2sin的圖象向右平移個單位，再向上平移2個單位后得y＝2sin2x－＋＋2，即f(x)＝2sin＋2的圖象，又∵h(yuǎn)(－x)＋f(x)＝2，∴函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱.
三角函數(shù)的單調(diào)性判斷致誤
函數(shù)y＝sin的單調(diào)區(qū)間是________．
[錯解] 函數(shù)y＝sin的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ－≤－x≤2kπ＋，解得3kπ＋≤x≤3kπ＋π；單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ＋≤－≤2kπ＋，解得3kπ－π≤x≤3kπ－，其中k∈Z.
[錯因分析] 受思維定勢，按函數(shù)y＝sin的單調(diào)區(qū)間的判斷方法求解．
[正解] 原函數(shù)變形為y＝－sin，令u＝－，則只需求y
51、＝sinu的單調(diào)區(qū)間即可，所以y＝sinu在2kπ－≤－≤2kπ＋(k∈Z)，即3kπ－≤x≤3kπ＋(k∈Z)上單調(diào)遞增；y＝sinu在2kπ＋≤－≤2kπ＋(k∈Z)，即3kπ＋≤x≤3kπ＋π(k∈Z)上單調(diào)遞減．
故y＝sin＝－sinu的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)，單調(diào)遞增區(qū)間為，(k∈Z)．
[答案] 單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z)，單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z)
[防范措施] 當(dāng)題目涉及f(x)＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時(shí)，要將ωx＋φ視為整體，再與y＝sinx的相關(guān)性質(zhì)對應(yīng)，同時(shí)注意ω與零的大小.
補(bǔ)救訓(xùn)練3 [2016·?？谡{(diào)研]已知函數(shù)f(x)＝sin2(ωx)－(ω>0)的最小正
52、周期為，若將其圖象沿x軸向右平移a個單位(a>0)，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則實(shí)數(shù)a的最小值為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 依題意得f(x)＝－＝－cos2ωx，最小正周期T＝＝，ω＝2，f(x)＝－cos4x，將f(x)＝－cos4x的圖象向右平移a個單位后得到的是函數(shù)g(x)＝－cos[4(x－a)]的圖象. 又函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此有g(shù)(0)＝－cos4a＝0,4a＝kπ＋，k∈Z，即a＝＋，k∈Z，因此正實(shí)數(shù)a的最小值是，選D.
解三角形多解、漏解致誤
在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c且a＝1，c＝.
(1)
53、若C＝，求A；
(2)若A＝，求b.
[錯解] (1)在△ABC中，＝，
∴sinA＝＝，∴A＝或.
(2)由＝，得sinC＝＝.
∴C＝，由C＝知B＝，
∴b＝＝2.
[錯因分析] 在用正弦定理解三角形時(shí)，易出現(xiàn)丟解或多解的錯誤，如第(1)問中沒有考慮c邊比a邊大，在求得sinA＝＝后，得出角A＝或；在第(2)問中又因?yàn)闆]有考慮角C有兩解，由sinC＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2.這樣就出現(xiàn)丟解的錯誤．
[正解] (1)由正弦定理得＝，
即sinA＝＝.
又a
54、，∴b＝2；當(dāng)C＝時(shí)，B＝，∴b＝1.
綜上所述，b＝2或b＝1.
[防范措施] 已知兩邊及其中一邊的對角解三角形時(shí)，注意要對解的情況進(jìn)行討論，討論的根據(jù)一是所求的正弦值是否合理，當(dāng)正弦值小于等于1時(shí)，還應(yīng)判斷各角之和與180°的關(guān)系；二是兩邊的大小關(guān)系.
補(bǔ)救訓(xùn)練4 [2016·鄭州質(zhì)檢]在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足cos2C－cos2A＝2sinsin.
(1)求角A的值；
(2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范圍．
解 (1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2，
化簡得sinA＝，故A＝或.
(2)由正弦定理＝＝＝2，得b＝2sinB
55、，c＝2sinC，
故2b－c＝4sinB－2sinC＝4sinB－2sin＝
3sinB－cosB＝2sin.
因?yàn)閎≥a，所以≤B<，≤B－<.
所以2b－c＝2sin∈[，2).
向量夾角定義不明致誤
已知等邊△ABC的邊長為1，則·＋·＋·＝________.
[錯解] ∵△ABC為等邊三角形，∴||＝||＝||＝1，向量、、間的夾角均為60°.
∴·＝·＝·＝.
∴·＋·＋·＝.
[錯因分析] 數(shù)量積的定義a·b＝|a|·|b|·cosθ，這里θ是a與b的夾角，本題中與夾角不是∠C.兩向量的夾角應(yīng)為平面上同一起點(diǎn)表示向量的兩條有向線段間的夾角，如圖與的夾角應(yīng)
56、是∠ACD.
[正解] 如圖與的夾角應(yīng)是∠ACB的補(bǔ)角∠ACD，
即180°－∠ACB＝120°.
又||＝||＝||＝1，
所以·＝||||cos120°＝－.同理得·＝·＝－.
故·＋·＋·＝－.
[答案]?。?
[防范措施] 在判斷兩向量的夾角時(shí)，要注意把兩向量平移到共起點(diǎn)，這樣才不至于判斷錯誤.平面向量與三角函數(shù)的結(jié)合，主要是指題設(shè)條件設(shè)置在向量背景下，一旦脫去向量的“外衣”，實(shí)質(zhì)變成純?nèi)菃栴}.
補(bǔ)救訓(xùn)練5 [2016·南昌一模]已知△ABC中，AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝90°，＝3，若P是BC邊上的動點(diǎn)，則·的取值范圍是________．
答案 [2,6]
57、
解析 因?yàn)锳B＝AC，BC＝4，∠BAC＝90°，所以∠ABC＝45°，AB＝2.又因?yàn)椋?，所以＝，設(shè)＝t，則0≤t≤1，＝＋＝＋t，＝＋＝＋，所以·＝(＋t)·＝2＋t·＋·＋t2＝8＋t×4×2cos135°＋×4×2cos135°＋t×42＝2＋4t.因?yàn)?≤t≤1，所以2≤2＋4t≤6，即·的取值范圍是[2,6].
忽略向量共線致誤
已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a與b的夾角為θ.若θ為銳角，則λ的取值范圍是________．
[錯解] ∵cosθ＝＝，
因θ為銳角，有cosθ>0，∴>0?2λ＋1>0，
得λ>－，λ的取值范圍是.
[錯因分析
58、] 當(dāng)向量a，b同向時(shí)，θ＝0，cosθ＝1滿足cosθ>0，但不是銳角．
[正解] 因θ為銳角，有00且a，b不同向；②θ為直角?a·b＝0；③θ為鈍角?a·b<0且a，b不反向.
補(bǔ)救訓(xùn)練6 設(shè)兩個向量e1，e2，滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1與e2的夾角為.若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的范圍．
解 ∵2te1＋7e2與e1＋te2的夾角
59、為鈍角，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0
且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ<0)．
由(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0得2t2＋15t＋7<0，
∴－7
60、數(shù)列的有關(guān)概念
(1)等差數(shù)列的判斷方法：定義法an＋1－an＝d(d為常數(shù))或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．
(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.
(3)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：Sn＝，Sn＝na1＋d.
(4)等差中項(xiàng)：若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且A＝.
3等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)當(dāng)公差d≠0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n項(xiàng)和Sn＝na1＋d＝n2＋n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.
(2)若公差d>0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d<0，則
61、為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列．
(3)當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，則有am＋an＝ap＋aq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，則有am＋an＝2ap.
4等比數(shù)列的有關(guān)概念
(1)等比數(shù)列的判斷方法：定義法＝q(q為常數(shù))，其中q≠0，an≠0或＝(n≥2)．
(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.
(3)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝.
易錯警示：由于等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時(shí)，要分q＝1和q≠1兩種情形討
62、論求解．
(4)等比中項(xiàng)：若a，A，b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項(xiàng)．值得注意的是，不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個，即為±.
5等比數(shù)列的性質(zhì)
當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，則有am·an＝ap·aq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，則有am·an＝a.
6數(shù)列求和的方法
(1)公式法：等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式；(2)分組求和法；(3)倒序相加法；(4)錯位相減法；(5)裂項(xiàng)相消法．
如：＝－；＝.
7在求不等式的解集、定義域及值域時(shí)，其結(jié)果一定要用集合或區(qū)間表示，不能直接用不等式表示．
8不等式兩端同時(shí)乘以一個數(shù)或同時(shí)除以一個數(shù)，不討論這個數(shù)的正
63、負(fù)，從而出錯．
9兩個不等式相乘時(shí)，必須注意同向同正時(shí)才能進(jìn)行．
10含參數(shù)不等式求解的通法是“定義域是前提，函數(shù)增減性是基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵”．注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是……”．注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集．
11利用基本不等式a＋b≥2以及變式ab≤2等求函數(shù)的最值時(shí)，務(wù)必注意a，b∈R＋(或a，b非負(fù))，ab或a＋b應(yīng)是定值，特別要注意等號成立的條件．
12解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實(shí)；注意目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)的正負(fù)；注意最優(yōu)整數(shù)解．
數(shù)列an與Sn的關(guān)系不清致誤
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為S
64、n＝n2＋n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
[錯解] an＝2n
[錯因分析] 若an＝2n，則a1＝2，事實(shí)上a1＝S1＝3.
[正解] 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n，
∴an＝
[答案] an＝
[防范措施] 本題的失分原因是沒有注意到an＝Sn－Sn－1是在n≥2的條件下才能成立．這是由于對數(shù)列概念理解不透徹所致．在解關(guān)于由Sn求an的題目時(shí)，按兩步進(jìn)行討論，可避免出錯．①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1；②當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1.檢驗(yàn)a1是否適合由②求得的解析式，若符合，則統(tǒng)一，若不符
65、合，則用分段函數(shù)：
an＝來表達(dá)．
補(bǔ)救訓(xùn)練1 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝.
(1)求證：是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解 (1)證明：由an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，
得Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，
所以－＝2(n≥2，n∈N*)，故是等差數(shù)列．
(2)由(1)知，＝2n，故Sn＝，an＝Sn－Sn－1＝－＝－(n≥2，n∈N*)，
所以an＝
忽視等比數(shù)列中q的分類討論致誤
設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋S6＝S9，則數(shù)列的公比q是___
66、_____．
[錯解] 由S3＋S6＝S9得
＋＝
∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q6－1)(q3－1)＝0
∵q≠1，∴q6＝1，q＝－1.
[錯因分析] 當(dāng)q＝1時(shí)，符合要求．很多考生在做本題時(shí)都想當(dāng)然地認(rèn)為q≠1.
[正解]?、佼?dāng)q＝1時(shí)，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，
∴S3＋S6＝S9成立．
②當(dāng)q≠1時(shí)，由S3＋S6＝S9，
得＋＝.
∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.
∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.
[答案] 1或－1
[防范措施] 在表示等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和時(shí)，考生只想到Sn＝，把q＝1的情況不自覺地排除在外，這是對前n項(xiàng)和公式理解不透徹所致．解等比數(shù)列的問題，一定要注意對公比的分類討論，這是防止出錯的一個很好方法．
補(bǔ)救訓(xùn)練2 [2016·湖北八校聯(lián)考]在等比數(shù)列{an}中，a3＝，S3＝.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝log2，且{bn}為遞增數(shù)列，若cn＝，求證：c1＋c2＋c3＋…＋cn<.
解 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
則由題意得S3＝
新版金版教程高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)講義：第三編 考前沖刺攻略 第一步 考前必看八大提分筆記 Word版含解析
