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新編高三數(shù)學(xué) 第75練 古典概型與幾何概型練習(xí)

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1、 第75練 古典概型與幾何概型 訓(xùn)練目標(biāo) (1)理解古典概型的概念、會(huì)求古典概型的概率;(2)會(huì)利用幾何概型的計(jì)算公式求幾何概型的概率. 訓(xùn)練題型 (1)求簡(jiǎn)單古典概型的概率;(2)與其他知識(shí)交匯求古典概型的概率及古典概型的應(yīng)用;(3)長(zhǎng)度型、面積型、體積型幾何概型;(4)幾何概型的應(yīng)用. 解題策略 對(duì)于古典概型:讀懂題目,抓住解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì),即確定基本事件個(gè)數(shù)及所求事件包含基本事件的個(gè)數(shù).對(duì)于幾何概型:(1)理解并會(huì)應(yīng)用計(jì)算公式;(2)利用圖形的幾何性質(zhì)求面積、體積,復(fù)雜圖形可利用分割法、補(bǔ)形法. 一、選擇題 1.(20xx·亳州質(zhì)檢)已知集合M={1,2,3

2、,4},N={(a,b)|a∈M,b∈M},A是集合N中任意一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則直線OA與y=x2+1有交點(diǎn)的概率是(  ) A. B. C. D. 2.(20xx·青島一模)如圖所示,四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的大正方形,若直角三角形中較小的銳角θ=.現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢,則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是(  ) A. B. C. D. 3.(20xx·長(zhǎng)沙調(diào)研)如圖,矩形OABC內(nèi)的陰影部分由曲線f(x)=sin x(x∈(0,π))及直線x=a(a∈(0,π))與x軸圍成,向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn),若該點(diǎn)落在陰影部分的概率為,

3、則a的值為(  ) A. B. C. D. 4.已知橢圓+y2=1的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,在長(zhǎng)軸A1A2上任取一點(diǎn)M,過(guò)M作A1A2的垂線交橢圓的于點(diǎn)P,則使得·<0的點(diǎn)M的概率為(  ) A. B. C. D. 5.拋擲兩枚均勻的骰子,得到的點(diǎn)數(shù)分別為a,b,那么直線+=1的斜率k≥-的概率為(  ) A. B. C. D. 6.我們把日均收看體育節(jié)目的時(shí)間超過(guò)50分鐘的觀眾稱為“超級(jí)體育迷”.已知5名“超級(jí)體育迷”中有2名女性,若從中任選2名,則至少有1名女性的概率為(  ) A. B. C. D. 7.如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1

4、,0),且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)=的圖象上.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于(  ) A. B. C. D. 8.(20xx·昆明一模)小明從某書店購(gòu)買5本不同的教輔資料,其中語(yǔ)文2本,數(shù)學(xué)2本,物理1本.若將這5本書隨機(jī)排并擺放在書架的同一層上,則同一科目的書都不相鄰的概率是(  ) A. B. C. D. 二、填空題 9.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個(gè)不同的數(shù),則這七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的概率為_(kāi)_______. 10.正月十六登高是“中國(guó)石刻藝術(shù)之鄉(xiāng)”、“中國(guó)民間文化藝術(shù)之鄉(xiāng)”四川省巴中市沿襲千年的獨(dú)特民俗.登高節(jié)前夕,李大

5、伯在家門前的樹(shù)上掛了兩串喜慶彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立,且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮.那么這兩串彩燈同時(shí)通電后,它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是________. 11.已知平面區(qū)域D1={(x,y)||x|<2,|y|<2},D2={(x,y)|kx-y+2<0}.在區(qū)域D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)M,若點(diǎn)M恰好取自區(qū)域D2的概率為p,且0

6、 1.C [易知過(guò)點(diǎn)(0,0)與y=x2+1相切的直線為y=2x(斜率小于0的情況無(wú)需考慮),集合N中共有16個(gè)元素,其中使OA斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4個(gè),由古典概型知概率為=.] 2.A [易知小正方形的邊長(zhǎng)為-1,故小正方形的面積為S1=(-1)2=4-2,大正方形的面積為S=2×2=4,故飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率P===.] 3.B [由題意知,陰影部分的面積為 sin xdx=(-cosx)=-cosa+cos 0=1-cosa,根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式知 =,即cosa=-,而a∈(0,π),故a=,故選B.] 4.D [設(shè)

7、P(x,y),則·<0?(--x,-y)·(-x,-y)<0?x2-3+y2<0?x2-3+1-<0?|x|<,故所求的概率為=.] 5.D [記a,b的取值為數(shù)對(duì)(a,b),由題意知(a,b)的所有可能的取值有36種.由直線+=1的斜率k=-≥-,知≤,那么滿足題意的(a,b)可能的取值為(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共9種,所以所求概率為=.] 6.A [用ai表示男性,其中i=1,2,3,bj表示女性,其中j=1,2.記“選出的2名全都是男性”為事件A,“選出的2名有1名男性1名女性”為事件B,“選出的2名

8、全都是女性”為事件C,則事件A包含(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),共3個(gè)基本事件,事件B包含(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共6個(gè)基本事件,事件C包含(b1,b2),共1個(gè)基本事件.事件A,B,C彼此互斥,事件至少有1名女性包含事件B和C,所以所求事件的概率為=.] 7.B [依題意得,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2),所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,2),所以矩形ABCD的面積S矩形ABCD=3×2=6,陰影部分的面積S陰影=×3×1=,根據(jù)幾何概型的概率求解公式,得所求的概率P===,故選B.] 8.B [語(yǔ)文、數(shù)學(xué)只有一科

9、的兩本書相鄰,有2AAA=48(種)擺放方法;語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科的兩本書都相鄰,有AAA=24(種)擺放方法;而五本不同的書排成一排總共有A=120(種)擺放方法.故所求概率為1-=.故選B.] 9. 解析 十個(gè)數(shù)中任取七個(gè)不同的數(shù)共有C種情況,七個(gè)數(shù)的中位數(shù)為6,那么6只能處在中間位置,有C種情況,于是所求概率P==. 10. 解析 設(shè)兩串彩燈第一次閃亮的時(shí)刻分別為x,y,∴全部基本事件構(gòu)成的區(qū)域?yàn)? 符合題意的區(qū)域?yàn)? 如圖所示,由幾何概型可知,所求概率為P=1-=. 11.[-1,0)∪(0,1] 解析 如圖所示,平面區(qū)域D1是由邊長(zhǎng)等于4的正方形內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的,其面積為16,直線kx-y+2=0恒過(guò)定點(diǎn)P(0,2).由于原點(diǎn)必在區(qū)域D2外,且圖中每個(gè)陰影三角形的面積與大正方形的面積之比均為,故當(dāng)k>0時(shí),k∈(0,1];當(dāng)k<0時(shí),k∈[-1,0).從而k的取值范圍為[-1,0)∪(0,1]. 12. 解析 若點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離小于1,則,所以符合條件的點(diǎn)P構(gòu)成的區(qū)域如圖中陰影部分所示,所以點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離小于1的概率為=.

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