《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第8章 平面解析幾何 第8節(jié) 曲線與方程學(xué)案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第8章 平面解析幾何 第8節(jié) 曲線與方程學(xué)案 理 北師大版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1

2、 1 第八節(jié)　曲線與方程 [考綱傳真]　(教師用書獨(dú)具)1.了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系.2.了解解析幾何的基本思想和利用坐標(biāo)法研究幾何問題的基本方法.3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程． (對應(yīng)學(xué)生用書第146頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．曲線與方程 一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f

3、(x，y)＝0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系： (1)曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解． (2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點． 那么，這條曲線叫作方程的曲線；這個方程叫作曲線的方程． 2．求動點軌跡方程的一般步驟 (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)． (2)寫出適合條件p的點M的集合P＝{M|p(M)}． (3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0. (4)化方程f(x，y)＝0為最簡形式． (5)說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上． 3．圓錐曲線的共同特征 圓錐曲線上的點到一個定點的距離與它到一條定直線的距離之

4、比為定值e. (1)當(dāng)0＜e＜1時，圓錐曲線是橢圓． (2)當(dāng)e＞1時，圓錐曲線是雙曲線． (3)當(dāng)e＝1時，圓錐曲線是拋物線． 4．兩曲線的交點 設(shè)曲線C1的方程為f1(x，y)＝0，曲線C2的方程為g(x，y)＝0，則 (1)曲線C1，C2的任意一個交點坐標(biāo)都滿足方程組 (2)反之，上述方程組的任何一組實數(shù)解都對應(yīng)著兩條曲線某一個交點的坐標(biāo)． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)f(x0，y0)＝0是點P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件．(　　) (2)方程x2＋xy＝x的曲線是一個點和一條直

5、線．(　　) (3)動點的軌跡方程和動點的軌跡是一樣的．(　　) (4)方程y＝與x＝y(tǒng)2表示同一曲線．(　　) [解析]　對于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示兩條直線，錯誤；對于(3)，前者表示方程，后者表示曲線，錯誤；對于(4)，曲線y＝是曲線x＝y(tǒng)2的一部分，錯誤． [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)已知點F，直線l：x＝－，點B是l上的動點．若過點B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是(　　) A．雙曲線　　　 B．橢圓 C．圓 D．拋物線 D　[由已知|MF|＝|MB

6、|，根據(jù)拋物線的定義知，點M的軌跡是以點F為焦點，直線l為準(zhǔn)線的拋物線．] 3．已知點F(0,1)，直線l：y＝－1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且·＝·，則動點P的軌跡C的方程為(　　) A．x2＝4y B．y2＝3x C．x2＝2y D．y2＝4x A　[設(shè)點P(x，y)，則Q(x，－1)． ∵·＝·， ∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)， 即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y， ∴動點P的軌跡C的方程為x2＝4y.故選A．] 4．已知△ABC的頂點B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長|CD|＝3，則

7、頂點A的軌跡方程為__________． (x－10)2＋y2＝36(y≠0)　[設(shè)A(x，y)， 則D ∴|CD|＝＝3， 化簡得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三點構(gòu)成三角形， ∴A不能落在x軸上，即y≠0.] 5．過橢圓＋＝1(a＞b＞0)上任意一點M作x軸的垂線，垂足為N，則線段MN中點的軌跡方程是________． ＋＝1　[設(shè)MN的中點為P(x，y)，則點M(x,2y)，又點M在橢圓上，∴＋＝1，即所求的軌跡方程為＋＝1.] (對應(yīng)學(xué)生用書第147頁) 直接法求軌跡方程 　設(shè)F(1,0)，M點在x軸上，P點在y軸上，且＝2，⊥，當(dāng)點P在

8、y軸上運(yùn)動時，求點N的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號：79140299】 [解]　設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)， ∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)， ∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y＝0. 由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)， ∴即 ∴－x＋＝0，即y2＝4x. 故所求的點N的軌跡方程是y2＝4x. [規(guī)律方法]　用直接法求曲線方程的關(guān)鍵是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，但要注意翻譯的等價性.通常將步驟簡記為建系、設(shè)點、列式、代換、化簡、證明這五個步驟，但最后的證明可以省略. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)設(shè)點A為圓(x－1)2＋y

9、2＝1上的動點，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則P點的軌跡方程為(　　) A．y2＝2x　　　　 B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 (2)已知M(－2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程為(　　) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2) (1)D　(2)D　[(1)如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1,0)．連接MA，PM，則MA⊥PA，且|MA|＝1， 又∵|PA|＝1， ∴|PM|＝＝，即|PM|2＝2， ∴(x－1)2＋y2＝2.

10、 (2)設(shè)P(x，y)，∵△MPN為以MN為斜邊的直角三角形， ∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2， ∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16， 整理得x2＋y2＝4. ∵M(jìn)，N，P不共線，∴x≠±2， ∴軌跡方程為x2＋y2＝4(x≠±2)，故選D．] 定義法求軌跡方程 　如圖8-8-1所示，已知點C為圓(x＋)2＋y2＝4的圓心，點A(，0)．P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP所在的直線上，且·＝0，＝2 .當(dāng)點P在圓上運(yùn)動時，求點Q的軌跡方程． 圖8-8-1 [解]　由(x＋)2＋y2＝4知圓心C(－，0)，半徑r＝2. ∵·＝0，＝2，

11、∴MQ⊥AP，點M為AP的中點， 因此QM垂直平分線段AP. 如圖，連接AQ，則|AQ|＝|QP|， ∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝2. 又|AC|＝2>2， 根據(jù)雙曲線的定義，點Q的軌跡是以C(－，0)，A(，0)為焦點，實軸長為2的雙曲線． 由c＝，a＝1，得b2＝1， 因此點Q的軌跡方程為x2－y2＝1. 　若將本例中的條件“圓C的方程(x＋)2＋y2＝4”改為“圓C的方程(x＋)2＋y2＝16”，其他條件不變，求點Q的軌跡方程． [解]　由(x＋)2＋y2＝16知圓心C(－，0)，半徑r＝4. ∵·＝0，＝2 ， ∴QM垂

12、直平分AP，連接AQ， 則|AQ|＝|QP|， ∴|QC|＋|QA|＝|QC|＋|QP|＝r＝4. 根據(jù)橢圓定義，點Q的軌跡是以C(－，0)，A(，0)為焦點，長軸長為4的橢圓． 由c＝，a＝2，得b＝. 因此點Q的軌跡方程為＋＝1. [規(guī)律方法]　定義法求軌跡方程的方法、關(guān)鍵及注意點 (1)求軌跡方程時，若動點與定點、定線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出其方程. (2)關(guān)鍵：理解解析幾何中有關(guān)曲線的定義是解題關(guān)鍵. (3)利用定義法求軌跡方程時，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)

13、對其中的變量x或y進(jìn)行限制. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)若動點M(x，y)到點F(4,0)的距離比它到直線x＝－5的距離小1，則點M的軌跡方程是(　　) A．x＝－4 B．x＝4 C．y2＝8x D．y2＝16x (2)已知A(－5,0)，B(5,0)，動點P滿足||，||，8成等差數(shù)列，則點P的軌跡方程為________． (1)D　(2)－＝1(x≥4)　[(1)依題意可知點M到點F的距離等于點M到直線x＝－4的距離，因此點M的軌跡是拋物線，且頂點在原點，焦點在x軸正半軸上，p＝8，所以點M的軌跡的方程為y2＝16x，故選D． (2)由已知得||－||＝8， 所以點P的軌跡是以A，

14、B為焦點的雙曲線的右支， 且a＝4，b＝3，c＝5， 所以點P的軌跡方程為－＝1(x≥4)．] 相關(guān)點(代入)法求軌跡方程 　(20xx·全國卷Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：＋y2＝1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足＝. (1)求點P的軌跡方程； (2)設(shè)點Q在直線x＝－3上，且·＝1.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. [解]　(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)， 則N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)． 由＝得x0＝x，y0＝y(tǒng). 因為M(x0，y0)在C上，所以＋＝1. 因此點P的軌跡方程為x2＋y2＝2

15、. (2)證明：由題意知F(－1,0)．設(shè)Q(－3，t)，P(m，n)，則 ＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn， ＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)． 由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1， 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0. 所以·＝0，即⊥. 又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. [規(guī)律方法]　“相關(guān)點法”求軌跡方程的基本步驟 (1)設(shè)點：設(shè)被動點坐標(biāo)為(x，y)，主動點坐標(biāo)為(x1，y1). (2)求關(guān)系式：求出兩個動點坐標(biāo)之間的關(guān)系式 (3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動點的軌跡方程. [跟蹤訓(xùn)練]　(20xx·武漢模擬)P是橢圓＋＝1上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，有一動點Q滿足＝＋，則動點Q的軌跡方程是__________. 【導(dǎo)學(xué)號：79140300】 ＋＝1　[作P關(guān)于O的對稱點M，連接F1M，F(xiàn)2M，則四邊形F1PF2M為平行四邊形， 所以＋＝＝－2. 又＝＋， 所以＝－. 設(shè)Q(x，y)，P(x0，y0)，則x0＝－，且y0＝－， 又點P(x0，y0)在橢圓＋＝1上， 則有＋＝1，即＋＝1.]