新版浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教師用書:第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題2 突破點(diǎn)4 等差數(shù)列、等比數(shù)列 Word版含答案
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1、 新版-□□新版數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料□□-新版 1
2、 1 專題二 數(shù) 列 建知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 明內(nèi)在聯(lián)系 [高考點(diǎn)撥] 數(shù)列專題是浙江新高考的必考專題之一,主要考查等差、等比數(shù)列的基本量運(yùn)算及數(shù)列求和的能力,該部分即可單獨(dú)命題,又可與其他專題綜合命題,考查方式靈活多樣,結(jié)合浙江新高考的命題研究,本專題我們按照“等差、等比數(shù)列”和“數(shù)列求和及綜合應(yīng)用”兩條主線展開(kāi)分析和預(yù)測(cè). 突破點(diǎn)4 等
3、差數(shù)列、等比數(shù)列 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第16頁(yè)) [核心知識(shí)提煉] 提煉1等差數(shù)列、等比數(shù)列的運(yùn)算 (1)通項(xiàng)公式 等差數(shù)列:an=a1+(n-1)d; 等比數(shù)列:an=a1·qn-1. (2)求和公式 等差數(shù)列:Sn==na1+d; 等比數(shù)列:Sn==(q≠1). (3)性質(zhì) 若m+n=p+q, 在等差數(shù)列中am+an=ap+aq; 在等比數(shù)列中am·an=ap·aq. 提煉2等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明 數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法: (1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法 ①利用定義,證明an+1-
4、an(n∈N*)為同一常數(shù); ②利用中項(xiàng)性質(zhì),即證明2an=an-1+an+1(n≥2). (2)證明{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法 ①利用定義,證明(n∈N*)為同一常數(shù); ②利用等比中項(xiàng),即證明a=an-1an+1(n≥2). 提煉3數(shù)列中項(xiàng)的最值的求法 (1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)f(n)=an,利用求解函數(shù)最值的方法(多利用函數(shù)的單調(diào)性)進(jìn)行求解,但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)的限制. (2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解,利用不等式an+1≥an(或an+1≤an)求解出n的取值范圍,從而確定數(shù)列單調(diào)性的變化,進(jìn)而確定相應(yīng)的最值. (3
5、)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解,若求數(shù)列{an}的最大項(xiàng),則可解不等式組若求數(shù)列{an}的最小項(xiàng),則可解不等式組求出n的取值范圍之后,再確定取得最值的項(xiàng). [高考真題回訪] 回訪1 等差數(shù)列及其運(yùn)算 1.(20xx·浙江高考)已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,則“d>0”是“S4+S6>2S5”的( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334059】 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 C [法一:∵數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列, ∴S4=4a1+6d,S5=5a1+10d,S6=6a1+15d, ∴S4+S
6、6=10a1+21d,2S5=10a1+20d. 若d>0,則21d>20d,10a1+21d>10a1+20d, 即S4+S6>2S5. 若S4+S6>2S5,則10a1+21d>10a1+20d,即21d>20d, ∴d>0.∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要條件. 故選C. 法二:∵S4+S6>2S5?S4+S4+a5+a6>2(S4+a5)?a6>a5?a5+d>a5?d>0,∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要條件. 故選C.] 2.(20xx·浙江高考)已知{an}是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項(xiàng)和是Sn,若a3,a4,a8成等比
7、數(shù)列,則( ) A.a(chǎn)1d>0,dS4>0 B.a(chǎn)1d<0,dS4<0 C.a(chǎn)1d>0,dS4<0 D.a(chǎn)1d<0,dS4>0 B [∵a3,a4,a8成等比數(shù)列,∴a=a3a8,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),展開(kāi)整理,得-3a1d=5d2,即a1d=-d2.∵d≠0,∴a1d<0.∵Sn=na1+d,∴S4=4a1+6d,dS4=4a1d+6d2=-d2<0.] 3.(20xx·浙江高考)已知等差數(shù)列{an}的公差d>0.設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,S2·S3=36. (1)求d及Sn; (2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得a
8、m+am+1+am+2+…+am+k=65. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334060】 [解] (1)由題意知(2a1+d)(3a1+3d)=36, 2分 將a1=1代入上式解得d=2或d=-5. 因?yàn)閐>0,所以d=2,Sn=n2(n∈N*). 5分 (2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65. 11分 由m,k∈N*知2m+k-1>k+1>1,故所以 15分 4.(20xx·浙江高考)在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列. (1)求d,a
9、n; (2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. [解] (1)由題意得,a1·5a3=(2a2+2)2,由a1=10,{an}為公差為d的等差數(shù)列得,d2-3d-4=0, 2分 解得d=-1或d=4. 所以an=-n+11(n∈N*)或an=4n+6(n∈N*). 5分 (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. 因?yàn)閐<0,由(1)得d=-1,an=-n+11, 6分 所以當(dāng)n≤11時(shí),|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n; 8分 當(dāng)n≥12時(shí),|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+
10、110. 11分 綜上所述, |a1|+|a2|+|a3|+…+|an| = 15分 回訪2 等比數(shù)列及其運(yùn)算 5.(20xx·浙江高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,則a1=________,S5=________. 1 121 [∵an+1=2Sn+1,∴Sn+1-Sn=2Sn+1, ∴Sn+1=3Sn+1,∴Sn+1+=3, ∴數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列, ∴=3. 又S2=4,∴S1=1,∴a1=1, ∴S5+=×34=×34=, ∴S5=121.] 6.(20xx·浙江高考)已知{an}是等差
11、數(shù)列,公差d不為零.若a2,a3,a7成等比數(shù)列,且2a1+a2=1,則a1=______,d=________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334061】 ?。? [∵a2,a3,a7成等比數(shù)列,∴a=a2a7, ∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),即2d+3a1=0.① 又∵2a1+a2=1,∴3a1+d=1.② 由①②解得a1=,d=-1.] 7.(20xx·浙江高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*. (1)求通項(xiàng)公式an; (2)求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項(xiàng)和. [解] (1)由題意得則 2分 又當(dāng)n
12、≥2時(shí),由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an, 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-1,n∈N*. 5分 (2)設(shè)bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,則b1=2,b2=1. 當(dāng)n≥3時(shí),由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3. 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,則T1=2,T2=3, 10分 當(dāng)n≥3時(shí),Tn=3+-=, 13分 所以Tn= 15分 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第17頁(yè)) 熱點(diǎn)題型1 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 題型分析:以等差(比)數(shù)列為載體,考查基本量的求解,體現(xiàn)方程思想的應(yīng)用是近幾年高考命
13、題的一個(gè)熱點(diǎn),題型以客觀題為主,難度較小. 【例1】 (1)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1+a3=30,S4=120,設(shè)bn=1+log3an,那么數(shù)列{bn}的前15項(xiàng)和為( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334062】 A.152 B.135 C.80 D.16 (2)(20xx·臺(tái)州市高三年級(jí)調(diào)考)已知數(shù)列{an}的前m(m≥4)項(xiàng)是公差為2的等差數(shù)列,從第m-1項(xiàng)起,am-1,am,am+1,…成公比為2的等比數(shù)列.若a1=-2,則m=________,{an}的前6項(xiàng)和S6=________. (1)B (2)4 28 [(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由
14、a1+a3=30,a2+a4=S4-(a1+a3)=90,所以公比q==3,首項(xiàng)a1==3,所以an=3n,bn=1+log33n=1+n,則數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,前15項(xiàng)的和為=135,故選B. (2)由題意,得am-1=a1+(m-2)d=2m-6,am=2m-4,則由==2,解得m=4,所以數(shù)列{an}的前6項(xiàng)依次為-2,0,2,4,8,16,所以S6=28.] [方法指津] 在等差(比)數(shù)列問(wèn)題中最基本的量是首項(xiàng)a1和公差d(公比q),在解題時(shí)往往根據(jù)已知條件建立關(guān)于這兩個(gè)量的方程組,從而求出這兩個(gè)量,那么其他問(wèn)題也就會(huì)迎刃而解.這就是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題的基本量的方法,這
15、其中蘊(yùn)含著方程思想的運(yùn)用. 提醒:應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),務(wù)必注意公比q的取值范圍. [變式訓(xùn)練1] (1)已知在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+3,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,若Sn=51,則n=__________. (2)已知{an}為等差數(shù)列,若a1+a5+a9=8π,則|an|前9項(xiàng)的和S9=________,cos(a3+a7)的值為_(kāi)_______. (1)6 (2)24π - [(1)由a1=1,an+1=an+3,得an+1-an=3, 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列. 由Sn=n+×3=51,即(3n+17)(n-6)=0,
16、 解得n=6或n=-(舍). (2)由{an}為等差數(shù)列得a1+a5+a9=3a5=8π,解得a5=,所以{an}前9項(xiàng)的和S9==9a5=9×=24π.cos(a3+a7)=cos 2a5=cos =cos =-.] 熱點(diǎn)題型2 等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì) 題型分析:該熱點(diǎn)常與數(shù)列中基本量的運(yùn)算綜合考查,熟知等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì),可以大大提高解題效率. 【例2】 (1)已知實(shí)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,若a2a5a8=-8,則++ ( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334063】 A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值 D.有最小值 (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)
17、和為Sn,且滿足S15>0,S16<0,則,,,…,中最大的項(xiàng)為( ) A. B. C. D. (1)D (2)C [(1)由題意可得a2a5a8=a=-8,則a5=-2.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則++=++=++1≥2+1=,當(dāng)且僅當(dāng)=,q2=時(shí)取等號(hào),所以++有最小值,故選D. (2)由S15===15a8>0,S16==16×<0,可得a8>0,a9<0,d<0,故Sn最大為S8.又d<0,所以{an}單調(diào)遞減,因?yàn)榍?項(xiàng)中Sn遞增,所以Sn最大且an取最小正值時(shí)有最大值,即最大,故選C.] [方法指津] 1.若{an},{bn}均是等差數(shù)列,Sn是{an}的
18、前n項(xiàng)和,則{man+kbn},仍為等差數(shù)列,其中m,k為常數(shù). 2.若{an},{bn}均是等比數(shù)列,則{can}(c≠0),{|an|},{an·bn},{manbn}(m為常數(shù)),{a},仍為等比數(shù)列. 3.公比不為1的等比數(shù)列,其相鄰兩項(xiàng)的差也依次成等比數(shù)列,且公比不變,即a2-a1,a3-a2,a4-a3,…成等比數(shù)列,且公比為==q. 4.(1)等比數(shù)列(q≠-1)中連續(xù)k項(xiàng)的和成等比數(shù)列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等比數(shù)列,其公比為qk. (2)等差數(shù)列中連續(xù)k項(xiàng)的和成等差數(shù)列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差數(shù)列,公差為k2d. 5.若A
19、2n-1,B2n-1分別為等差數(shù)列{an},{bn}的前2n-1項(xiàng)的和,則=. [變式訓(xùn)練2] (1)在等比數(shù)列{an}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,則a9+a11+a13+a15=( ) A.1 B.2 C.3 D.2或4 (2)已知公比q不為1的等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=,前n項(xiàng)和為Sn,且a2+S2,a3+S3,a4+S4成等差數(shù)列,則q=________,S6=________. (1)C (2) [(1)∵{an}為等比數(shù)列,∴a5+a7是a1+a3與a9+a11的等比中項(xiàng),∴(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),故a9+a11==
20、=2. 同理a9+a11是a5+a7與a13+a15的等比中項(xiàng), ∴(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15) 故a13+a15===1. ∴a9+a11+a13+a15=2+1=3. (2)由a2+S2=+q,a3+S3=+q+q2,a4+S4=+q+q2+q3成等差數(shù)列,得2=+q++q+q2+q3,化簡(jiǎn)得2q2-3q+1=0,q≠1,解得q=,所以S6==1-6=.] 熱點(diǎn)題型3 等差、等比數(shù)列的證明 題型分析:該熱點(diǎn)常以數(shù)列的遞推關(guān)系為載體,考查學(xué)生的推理論證能力. 【例3】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)證明{
21、an}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式; (2)若S5=,求λ. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334064】 [解] (1)證明:由題意得a1=S1=1+λa1, 故λ≠1,a1=,故a1≠0. 1分 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan, 即an+1(λ-1)=λan. 2分 由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=. 3分 因此{(lán)an}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列, 4分 于是an=n-1. 6分 (2)由(1)得Sn=1-n. 8分 由S5=得1-5=, 即5=. 13分 解得λ=-1. 15分 [方法指津]
22、 判斷或證明數(shù)列是否為等差或等比數(shù)列,一般是依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義,或利用等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)進(jìn)行判斷. 提醒:利用a=an+1·an-1(n≥2)來(lái)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列時(shí),要注意數(shù)列中的各項(xiàng)均不為0. [變式訓(xùn)練3] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù). (1)證明:an+2-an=λ; (2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由. [解] (1)證明:由題設(shè)知anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1, 兩式相減得an+1(an+2-an)=λan+1, 2分 由于an+1≠0,所以an+2-an=λ. 4分 (2)由題設(shè)知a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1. 5分 由(1)知,a3=λ+1. 6分 令2a2=a1+a3,解得λ=4. 7分 故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3. 9分 {a2n}是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1. 13分 所以an=2n-1,an+1-an=2, 因此存在λ=4,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列. 15分 精品數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料 精品數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料
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