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新編高中數(shù)學(xué)人教版A版必修一學(xué)案:第一單元 1.2.2 第1課時 函數(shù)的表示法 含答案

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1、新編人教版精品教學(xué)資料 1.2.2 函數(shù)的表示法 第1課時 函數(shù)的表示法 學(xué)習(xí)目標 1.了解函數(shù)的三種表示法及各自的優(yōu)缺點.2.掌握求函數(shù)解析式的常見方法(重點、難點). 預(yù)習(xí)教材P19-P20,完成下面問題: 知識點 函數(shù)的三種表示方法 表示法 定義 解析法 用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系 圖象法 用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系 列表法 列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系 【預(yù)習(xí)評價】 (正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)任何一個函數(shù)都可以用列表法表示.(  ) (2)任何一個函數(shù)都可以用圖象法表示.(  ) (3)函數(shù)的圖象一定是

2、其定義區(qū)間上的一條連續(xù)不斷的曲線.(  ) 提示 (1)× 如果函數(shù)的定義域是連續(xù)的數(shù)集,則該函數(shù)就不能用列表法表示; (2)× 有些函數(shù)的是不能畫出圖象的,如f(x)=; (3)× 反例:f(x)=的圖象就不是連續(xù)的曲線. 題型一 作函數(shù)的圖象 【例1】 作出下列函數(shù)的圖象: (1)y=x+1(x∈Z); (2)y=x2-2x(x∈[0,3)). 解  (1)這個函數(shù)的圖象由一些點組成,這些點都在直線y=x+1上,如圖(1)所示. (2)因為0≤x<3,所以這個函數(shù)的圖象是拋物線y=x2-2x介于0≤x<3之間的一部分,如圖(2)所示. 規(guī)律方法 作函數(shù)圖象的步驟

3、及注意點 (1)作函數(shù)圖象主要有三步:列表、描點、連線.作圖象時一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域,再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式,再列表畫出圖象. (2)函數(shù)的圖象可能是平滑的曲線,也可能是一群孤立的點,畫圖時要注意關(guān)鍵點,如圖象與坐標軸的交點、區(qū)間端點,二次函數(shù)的頂點等等,還要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心點. 【訓(xùn)練1】 畫出下列函數(shù)的圖象: (1)y=x+1(x≤0); (2)y=x2-2x(x>1或x<-1). 解 (1)y=x+1(x≤0)表示一條射線,圖象如圖(1). (2)y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1或x<-1)是拋物線y=x2-2x去掉-1≤x≤1之間的部分后剩余

4、曲線.如圖(2). 題型二 列表法表示函數(shù) 【例2】 已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出 x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 則f(g(1))的值為________;滿足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________. 解析 ∵g(1)=3,∴f(g(1))=f(3)=1. f(g(x))與g(f(x))與x相對應(yīng)的值如下表所示: x 1 2 3 f(g(x)) 1 3 1 g(f(x)) 3 1 3 ∴f(g(x))>g(f(x))的解為x=2. 答案 1 2

5、 規(guī)律方法 列表法表示函數(shù)的相關(guān)問題的解法 解決此類問題關(guān)鍵在于弄清每個表格表示的函數(shù),對于f(g(x))這類函數(shù)值的求解,應(yīng)從內(nèi)到外逐層求解,而求解不等式,則可分類討論或列表解決. 【訓(xùn)練2】 已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出 x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 (1)f[g(1)]=__________; (2)若g[f(x)]=2,則x=__________. 解析 (1)由表知g(1)=3, ∴f[g(1)]=f(3)=1; (2)由表知g(2)=2,又g[f(x)]=2,得f(x)=2,

6、 再由表知x=1. 答案 (1)1 (2)1 考查方向  題型三 求函數(shù)的解析式 方向1 待定系數(shù)法求函數(shù)解析式 【例3-1】 (1)已知f(x)是一次函數(shù),且f(f(x))=16x-25,則函數(shù)f(x)的解析式為________. (2)已知f(x)是二次函數(shù)且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,則函數(shù)f(x)的解析式為________. 解析 (1)設(shè)f(x)=kx+b(k≠0),則f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=16x-25,所以解得k=4,b=-5或k=-4,b=, 所以f(x)=4x-5或f(x)=-4x+. (2)設(shè)f(x)=ax

7、2+bx+c(a≠0),由f(0)=1得c=1,則f(x)=ax2+bx+1,f(x+1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+bx+1)=2ax+a+b=2x. 故得解得a=1,b=-1,故得f(x)=x2-x+1. 答案 (1)f(x)=4x-5或f(x)=-4x+ (2)f(x)=x2-x+1 方向2 換元法(或配湊法)、方程組法求函數(shù)解析式 【例3-2】 (1)已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式; (2)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x). 解 (1)法一 (換元法):令t=+1,則x=(t-1)2,t≥1,所以f(t)=(t-

8、1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1), 所以f(x)的解析式為f(x)=x2-1(x≥1). 法二 (配湊法):f(+1)=x+2=x+2+1-1=(+1)2-1. 因為+1≥1,所以f(x)的解析式為f(x)=x2-1(x≥1). (2)∵f(x)+2f(-x)=x2+2x,① ∴將x換成-x,得f(-x)+2f(x)=x2-2x.② ∴由①②得3f(x)=x2-6x, ∴f(x)=x2-2x. 規(guī)律方法 求函數(shù)解析式的類型及方法 (1)若已知所要求的解析式f(x)的類型,可用待定系數(shù)法求解,其步驟為:①設(shè)出所求函數(shù)含有待定系數(shù)的解析式; ②把已知條件代入解析式,列出

9、關(guān)于待定系數(shù)的方程(組); ③解方程(組),得到待定系數(shù)的值; ④將所求待定系數(shù)的值代回所設(shè)解析式. (2)已知f(g(x))=h(x),求f(x),常用的有兩種方法: ①換元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)中,得到一個含t的解析式,即為函數(shù)解析式,注意:換元后新元的范圍. ②配湊法,即從f(g(x))的解析式中配湊出“g(x)”,即用g(x)來表示h(x),然后將解析式中的g(x)用x代替即可. (3)方程組法:當同一個對應(yīng)關(guān)系中的含有自變量的兩個表達式之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時,可構(gòu)造方程組求解. 課堂達標 1.下列函數(shù)y=f(x),則f(11)=(  

10、) x 0

11、)=x2+4x-5=(x-1)2+6(x-1), ∴f(x)=x2+6x; ∴f(x)的表達式是f(x)=x2+6x.故選A. 答案 A 3.已知函數(shù)f(x)由下表給出,則f(f(3))=________. x 1 2 3 4 f(x) 3 2 4 1 解析 由題設(shè)給出的表知f(3)=4,則f(f(3))=f(4)=1,故填1. 答案 1 4.已知f(x)是一次函數(shù),若f(f(x))=4x+8,則f(x)的解析式為________. 解析 設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),則f(f(x))=f(ax+b)=a2x+ab+b. ∴解得或 答案 f(x)=2x+或f(x)=-2x-8 5.已知函數(shù)f(x)=x2-2x(-1≤x≤2). (1)畫出f(x)圖象的簡圖; (2)根據(jù)圖象寫出f(x)的值域. 解 (1)f(x)圖象的簡圖如圖所示. (2)觀察f(x)的圖象可知,f(x)圖象上所有點的縱坐標的取值范圍是[-1,3],則f(x)的值域是[-1,3]. 課堂小結(jié) 1.函數(shù)三種表示法的優(yōu)缺點 2.描點法畫函數(shù)圖象的步驟:(1)求函數(shù)定義域;(2)化簡解析式;(3)列表;(4)描點;(5)連線. 3.求函數(shù)解析式常用的方法有:(1)待定系數(shù)法;(2)換元法;(3)配湊法;(4)消元法等.

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