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1、1.2集合間的基本關(guān)系 核心知識(shí)目標(biāo) 核心素養(yǎng)目標(biāo) 1. 理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集、真子集. 2. 在具體情境中，了解空集的含義. 3. 會(huì)判斷集合間的基本關(guān)系. 4. 能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系. 1. 通過(guò)對(duì)集合間基本關(guān)系的學(xué)習(xí)，達(dá)成數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 2. 通過(guò)Venn圖的應(yīng)用，發(fā)展直觀想象的核心素養(yǎng). 顯)知識(shí)探究-素養(yǎng)啟迪?知識(shí)探究 1. 子集的概念 ［問(wèn)題1］下面給出的兩對(duì)集合，集合A中的元素都是集合B中的元素嗎？ (1) A=(0,l,2),B=(0,1,2,3}; (2) A=(x|x<~l},

2、B=(x|x3;當(dāng)B云°時(shí)，根據(jù)

3、題意作出如圖所示的數(shù)軸， I11——. laa+3-1X"4x 可得薯3己、或解得a<-4,或22}. ［變式訓(xùn)練5-1］把集合A換成“A={x|T〈x〈2}”，集合B不變，求ACB時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解：因?yàn)锳二{x|-Kx<2},B={x|2aWxWa+3}. 若AWB,如圖，2a-12a+3刀 所以{嘩;2,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為{al-lWaW-：}. ［變式訓(xùn)練5-2］本例中，若將B改為B=(x12a3,4

4、2a+3〉2a)2a>4. 42a+3〉2a)2a>4. 當(dāng)B尹°時(shí),根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸,可得｛:I;<皓或f 解得aW-4或2Wa〈3. 綜上,可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為｛a|aW-4或aN2｝. 即時(shí)訓(xùn)練5-1:已知A=(x|x<3},B=(x|x

5、真子集時(shí)，應(yīng)考慮該集合為空集的特殊情況，并且要注意驗(yàn)證參數(shù)的端點(diǎn)值是否滿足題意. 題備用例題 ⑵當(dāng)m-230,即m^2時(shí),A公。，由A(B可知1WA或26A: ① 當(dāng)16A時(shí)，由l-2m+m2-m+2=0可知m2-3m+3=0,該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，不成立；當(dāng)2EA時(shí)，由4-4m+m2-m+2=0可知m2-5m+6=0,解得m=2或m二3,而且m二2時(shí),A={2},滿足題意,m=3時(shí),A=(2,4},不滿足題意. 綜上可知,m的取值范圍是{n)|mW2}. 1. 已知全集U=R,則能表示集合M={-1,0,1)^DN=(x|x2+x=0)的關(guān)系的韋恩圖是(B) 解析:x2+x=0的解為T(mén)

6、和0,因此集合N是集合M的真子集，故選B. 2. (多選題)下列說(shuō)法中正確的是(BD)空集沒(méi)有子集 (A) 任何集合至少有一個(gè)子集空集是任何集合的真子集 (B) 若0呈A,則A乂°解析:空集的子集是本身且空集只有一個(gè)子集，因此A錯(cuò)誤;B正確；由于空集是任何非空集合的真子集，因此C錯(cuò)誤;D正確. 3. 用“呈”或“邈”填空: (DZN;ZQ; ⑶QN;⑷RQ. 答案：⑴邈⑵呈⑶邈(4)邈若{x|xNa}c(x|xNT},則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ⑵符號(hào)表示:AGB(或BPA).讀作“A包含于B”(或“B包含A”). (2) Venn圖表示CE)性質(zhì) ① 任何一個(gè)集合都是它本身的子

7、集，即AUA. ② 對(duì)于集合A,B,C,如果ACB,且BCC,那么A^C. 2. 集合的相等實(shí)例觀察下面兩個(gè)例子： (1) 設(shè)C=(x|x是兩條邊相等的三角形｝,D=｛x|x是等腰三角形｝；C=(1,5,6),D=(6,5,1). ［問(wèn)題2-1］你能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)集合間有什么關(guān)系嗎？ 提示：⑴⑵中集合C,D的元素相同，即集合C中任何一個(gè)元素都是集合D中的元素，同時(shí)，集合D中任何一個(gè)元素也都是集合C中的元素. ［問(wèn)題2-2］與實(shí)數(shù)中的結(jié)論“若aNb,且b，a,則a=b”相類比，在集合中,你能得出什么結(jié)論？ 提示:若兩個(gè)集合互為子集，則這兩個(gè)集合相等. 梳理2集合相等⑴定義:一般地，如果

8、集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等.也就是說(shuō)，若ACB,且BWA,則A^B. (2) 符號(hào)表示:A二B. (3)Venn圖表示: 4(B) (4)性質(zhì):對(duì)于集合A,B,C,如果A二B,且B二C,那么A^C. 3. 真子集的概念［問(wèn)題3］對(duì)于［問(wèn)題1］中給出的兩對(duì)集合，集合B中的元素都是集合 A中的元素嗎？ 提示:不全是. 梳理3真子集定義:如果集合AWB,但存在元素xGB,且x々A,則稱集合A是集合B的真子集. ⑵符號(hào)表示:A呈B(或B呈A)讀作“A真包含于B”(或“B真包含A”). (3) V

9、enn圖表示⑷性質(zhì)：對(duì)于集合A,B,C,如果A￡B,且B呈C,那么A呈C. 4. 空集［問(wèn)題4］集合A=(x|x<-1且x〉3｝中有多少個(gè)元素？ 提示:0個(gè). 梳理4空集定義:不含任何元素的集合,叫做空集. (1) 符號(hào)表示:g. ⑶規(guī)定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. ?小試身手下列關(guān)于0的說(shuō)法正確的是(D) (A)Oe0(B)0e{0}(0(O}c0(D)0C{O} 解析：0是不含任何元素的集合，所以0任°,0^{0},故選D. 1. 集合{x|x=l}的子集有個(gè). 答案：2(人教A教材P8練習(xí)T2改編)用““頓“呈，，“呈，，或“二，，填 空： (

10、1) 5{5};{a,b,c}(a,c}; (2) (1,2,3}{3,2,1);0{0}. 答案：⑴E⑵呈⑶二⑷呈集合A=(x|x=3m-l,meN)和B=(x|x=3m+2,meN}之間的關(guān)系 是. 解析：由A二析1,2,5,8,…},B=(2,5,8,???),知B￡A. 答案:B0點(diǎn)曝堂蹇更.素鑫姓宣/-—— EQ探究點(diǎn)一子集與真子集的概念探究角度1子集的列舉、子集個(gè)數(shù) ［例1］已知集合M=(x|x<2且x6N},N=(x|-2

11、,N=(x|-2

12、3,4},{1,2,3,5),{1,2,4,5}; 含有5個(gè)元素：(1,2,3,4,5}. 故滿足條件的集合M為{1,2,3},(1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},(1,2, 3,4,5). 寸方法總結(jié)寫(xiě)一個(gè)集合的子集時(shí)，可按子集中元素的個(gè)數(shù)多少分類寫(xiě)出，注意要做到不重不漏. (1) n個(gè)元素的集合，其子集、真子集的個(gè)數(shù)討論： ① 0的子集只有1個(gè). ② {&}的子集有2個(gè). ③ {a,b}的子集有4個(gè). ④ {a,b,c}的子集有8個(gè). 含有n個(gè)元素的集合M有2。個(gè)子集，有(2」1)個(gè)非空子集，有(2。-1)個(gè)真子集

13、有(2」2)個(gè)非空真子集. 多易錯(cuò)警示寫(xiě)一個(gè)集合的子集時(shí)，不要忘記|。|和其本身. 探究角度2集合間關(guān)系的判斷［例2］寫(xiě)出下列各對(duì)集合之間的關(guān)系： (1) A=(x|-l? -2-1012345式當(dāng)k,n取整數(shù)時(shí),A二{…,-4,-2,0,2,4,6,…}, B二{…，-5,

14、-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,…},故A呈B. (1) 集合A中,x二k+手號(hào)(kez),因此kEZ時(shí),2k+l是奇數(shù);集合B中，x=2k+i=—(kez),因此k￡Z時(shí),4k+l只表示部分奇數(shù)，故B呈A. 即時(shí)訓(xùn)練2-1:寫(xiě)出下列每對(duì)集合之間的關(guān)系： ⑴A={1,2,3,4,5},B={1,3,5};(2)O{x|x』l},D={x||x|二1}; (2) E=｛-1,1｝,F=((-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)｝;G=｛等腰三角形｝,H=｛等邊三角形｝. 解：⑴因?yàn)锽的每個(gè)元素都屬于A,而4￡A且4《B,所以B呈A. ⑵因?yàn)镃和D包含

15、的元素都是1和T,所以C二D. (3) 集合E的代表元素是數(shù)，集合F的代表元素是實(shí)數(shù)對(duì)，因此兩集合之間無(wú)包含關(guān)系. (4) 由于等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故G邈H. 寸方法總結(jié)判斷兩個(gè)集合間的關(guān)系時(shí),首先要明確集合的元素特征，分析集合的元素之間的關(guān)系，然后根據(jù)以下方法判斷： (1) 直接法:首先判斷一個(gè)集合A中的任意一個(gè)元素是否屬于另一個(gè)集合B.若是，則AWB,否則A不是B的子集.其次通過(guò)判斷另一個(gè)集合B中的任意一個(gè)元素是否屬于集合A來(lái)判斷它們之間的真子集關(guān)系. (2) 對(duì)于用列舉法表示的集合，只需要觀察其元素即可知道它們之間的關(guān)系. (3) 對(duì)于

16、用描述法表示的集合，要從所含元素的特征來(lái)分析;若集合之間可以統(tǒng)一形式，則需要統(tǒng)一形式后判斷. (4) 而對(duì)于不等式表示的數(shù)集,可在數(shù)軸上標(biāo)出集合的元素，直觀地進(jìn)行判斷，但要注意端點(diǎn)值的取舍. 三。探究點(diǎn)二集合相等 ［例3］己知A={1,x,2x),B=(l,y,y2),若AWB,且AW,求實(shí)數(shù)x和y的值. 解：由AcB,且A2B知,A=B. 由集合相等的概念可得g2了‘21 解方程組得X=0,y=0, 我或=2, '乙，4 1V=-. 】2 當(dāng)x二0,y=0時(shí),A二｛1,0,0｝,B二｛1,0,0｝不符合集合中元素的互異性，舍去. 所以x

17、=2,y=2或x=iy三. 42即時(shí)訓(xùn)練3-1:設(shè)集合A二｛x,y),B二(0,x2),若A=B,求實(shí)數(shù)x,y的值. 解：因?yàn)榧螦,B相等，所以x=0或y=0. ⑴當(dāng)x=0時(shí),X?=0,則B=｛0,0),不滿足集合中元素的互異性，故舍去. (2)當(dāng)y=0時(shí),x=x2,解得x=0或x=l.由(1)知x=0應(yīng)舍去. 綜上知，x=l,y=0. 寸方法總結(jié) 根據(jù)集合相等求參數(shù),首先分析一個(gè)集合中元素與另一集合中哪個(gè)元素相等，分幾種情況進(jìn)行討論，然后通過(guò)列方程(組)求解.當(dāng)集合麗未知元素不止一個(gè)時(shí)，情況會(huì)更復(fù)雜,需要多次討論.求出參數(shù)后要根據(jù)集合中元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn),排除不合要求的解.

18、 三Q探究點(diǎn)三根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)值或取值范圍探究角度1求參數(shù)值 ［例4］集合A=(x|x2=4,xGR},集合B={x|kx二4,x《R},若BWA,則實(shí)數(shù)k=. 解析:A=(x|x2=4,x￡R}二{-2,2}. 因?yàn)锽WA,所以B=0,B={2},B=(-2},B=(-2,2}. 因?yàn)榉匠蘫x二4最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根或無(wú)根，因此分類討論如下：當(dāng)B二。時(shí)，方程kx=4無(wú)實(shí)根，所以k=0;當(dāng)B二{2}時(shí)，則2是方程kx=4的實(shí)根，故2k二4nk二2; 當(dāng)B二{-2}時(shí)，則-2是方程kx=4的實(shí)根，故-2k二4nk二-2. 綜上可知實(shí)數(shù)k=0,2,-2. 答案：0,2,-2即時(shí)訓(xùn)練4T:已知集合A二{1,3,何},B二{1,m},BWA,則m等于() (A)0或必(B)0或3(C)1或必或)1或3 解析：因?yàn)锽WA,所以m二3或若m=3,則A={1,3,V3),B=(1,3},滿足BWA. 若m=y/m,解得m=0或m二1. ① 若m二0,則A二{1,3,0},B二{1,0},滿足BWA;若m=1,則A,B不滿足集合中元素的互異性，舍去. 綜上,m=0或m=3,故選B. 寸方法總結(jié)