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1、
專題10 立體幾何
一.選擇題
1. 【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷5】木星的體積約是地球體積的倍,則它的表面積約是地球表面積的( )
A.60倍 B.60倍 C.120倍 D.120倍
2.【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷8】已知a、b、c是直線,是平面,給出下列命題
①若;
②若;
③若;
④若a與b異面,且相交;
⑤若a與b異面,則至多有一條直線與a,b都垂直.
其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】
試題分析:①③④⑤是假命題,②是真命
2、題,選A.
3.【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷6】關(guān)于直線m、n與平面與,有下列四個(gè)命題:(D)
①若且,則;
②若且,則;
③若且,則;
④若且,則;
其中真命題的序號(hào)是( )
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
【答案】D
【解析】
試題分析:用排除法可得選D.
4.【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷5】在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為棱AA1、BB1的中點(diǎn),G為棱A1B1上的一點(diǎn),且A1G=(0≤≤1),則點(diǎn)G到平面D1EF
3、的距離為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
試題分析:因?yàn)锳1B1∥EF,G在 A1B1上,在所以G到平面D1EF的距離即是A1到面D1EF的距離,即是A1到D1E的距離,D1E=,由三角形面積可得所求距離為,故選D.
5.【2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷4】用與球心距離為1的平面去截球,所得的截面面積為π,則球的體積為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
試題分析:易知球的半徑是,所以根據(jù)球的體積公式知,故D為正確答案.
4、
6.【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷6】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,側(cè)棱CC1的長(zhǎng)為1,則該三棱柱的高等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
試題分析:過(guò)頂點(diǎn)A作底面ABC的垂線,由已知條件和立體幾何線面關(guān)系易求得高的長(zhǎng).
7.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷4】用、、表示三條不同的直線,表示平面,給出下列命題:
①若∥,∥,則∥;②若⊥,⊥,則⊥;
5、③若∥,∥,則∥;④若⊥,⊥,則∥.
正確的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④
8.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷7】設(shè)球的體積為,它的內(nèi)接正方體的體積為.下列說(shuō)法中最合適的是( )
A.比大約多一半 B.比大約多兩倍半
C.比大約多一倍 D.比大約多一倍半
9. 【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷16】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一
6、尺八寸. 若盆中積水深九寸,則平地降雨量是 寸.
(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸)
10.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷7】在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),給出編號(hào)①、②、③、④的四個(gè)圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為( )
A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和②
【答案】D
【解析】
試題分析:在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個(gè)點(diǎn),根據(jù)三視
7、圖的畫圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為④與俯視圖為②,故選D.
考點(diǎn):空間由已知條件,在空間坐標(biāo)系中作出幾何體的形狀,正視圖與俯視圖的面積,容易題.
11. 【20xx高考湖北,文5】表示空間中的兩條直線,若p:是異面直線;q:不相交,則( )
A.p是q的充分條件,但不是q的必要條件
B.p是q的必要條件,但不是q的充分條件
C.p是q的充分必要條件
D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件
二.填空題
1.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷14】圓柱形容器內(nèi)盛有高度為3cm
8、的水,若放入三個(gè)相同的珠(球的半么與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒最上面的球(如圖所示),則球的半徑是____cm.
【答案】4
【解析】
試題分析:本題考查了求解圓柱和球的體積問(wèn)題.設(shè)球的半徑為R,則由題意可知,解得R=4cm.
2.【2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷15】已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 .
三.解答題
1. 【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷20】如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截面而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.
(Ⅰ)求BF的
9、長(zhǎng);
(Ⅱ)求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離.
【解析】法1:(Ⅰ)過(guò)E作EH//BC交CC1于H,則CH=BE=1,EH//AD,且EH=AD.
又∵AF∥EC1,∴∠FAD=∠C1EH.
∴Rt△ADF≌Rt△EHC1. ∴DF=C1H=2.
2. 【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1,M是底面BC邊上的中點(diǎn),N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn),且CN=2C1N.
(Ⅰ)求二面角B1-AM-N的平面角的余弦值;
(Ⅱ)求點(diǎn)B1到平面AMN的距離。
【解析】解法1:(Ⅰ)因?yàn)镸是底面B
10、C邊上的中點(diǎn),所以AMBC,又AMC,所以AM面BC,
(Ⅱ)設(shè)n=(x,y,z)為平面AMN的一個(gè)法向量,則由得
故可取
設(shè)與n的夾角為a,則。
所以到平面AMN的距離為。
3. 【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷17】如圖,在三棱錐V-ABC中,VC⊥底面ABC,AC⊥BC;D是AB的中點(diǎn),且AC=BC=a,∠VDC=θ.
(Ⅰ)求證:平面VAB⊥平面VCD;
(Ⅱ)試確定角θ的值,使得直線BC與平面VAB所成的角為.
從而,即.
解法3:(Ⅰ)以點(diǎn)為原點(diǎn),以所在的直線分別為軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,于是,,.
從而,即.
11、同理,即.
又,平面.
又平面,
平面平面.
A
D
B
C
V
x
y
z
、
A
D
B
C
V
x
y
4. 【2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖,在直三棱柱中,平面?zhèn)让?
(Ⅰ)求證:
(Ⅱ)若,直線AC與平面所成的角為,二面角
證法2:由(Ⅰ)知,以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC、BA、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
5. 【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖,四棱錐S=ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,點(diǎn)E是S
12、D上的點(diǎn),且DE=a(0<≦1).
(Ⅰ)求證:對(duì)任意的(0、1),都有AC⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小為600C,求的值。
6. 【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖,在四面體ABOC中,OC⊥OA。OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1
(Ⅰ)設(shè)P為AC的中點(diǎn),Q在AB上且AB=3AQ,證明:PQ⊥OA;
(Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.
(Ⅱ)連結(jié)PN,PO.
由OCOA,OCOB知:OC平面OAB。
又ON平面OAB, OCON.
又由ONOA知:ON平面AOC. OP是N
13、P在平面AOC內(nèi)的射影。
在等腰Rt△COA中,P為AC的中點(diǎn),ACOP。
根據(jù)三垂線定理,知:ACNP.
為二面角O-AC-B的平面角。
在等腰Rt△COA中,OC=OA=1, OP=。
在Rt△AON中,ON=OA=,
在Rt△PON中,PN==,
cos。
7. 【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖,已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為,點(diǎn)在側(cè)棱上,點(diǎn)在側(cè)棱上,且,.
(Ⅰ)求證;
(Ⅱ)求二面角的大?。?
(Ⅰ),,,
.
8. 【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖所示的幾何體
14、,其下部是底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái),上部是一個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面重合,側(cè)面是全等的矩形的四棱柱.
(Ⅰ)證明:直線平面;
(Ⅱ)現(xiàn)需要對(duì)該零部件表面進(jìn)行防腐處理. 已知,,,(單位:厘米),每平方厘米的加工處理費(fèi)為0.20元,需加工處理費(fèi)多少元?
9. 【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷20】如圖,某地質(zhì)隊(duì)自水平地面A,B,C三處垂直向地下鉆探,自A點(diǎn)向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏,再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無(wú)礦,從而得到在A處正下方的礦層厚度為.同樣可得在B,C處正下方的礦層厚度分別為,,且. 過(guò),的中點(diǎn),且與直線平行的平面截多面體所得的截面為該多面
15、體的一個(gè)中截面,其面積記為.
(Ⅰ)證明:中截面是梯形;
(Ⅱ)在△ABC中,記,BC邊上的高為,面積為. 在估測(cè)三角形區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲(chǔ)量(即多面體的體積)時(shí),可用近似公式來(lái)估算. 已知,試判斷與V的大小關(guān)系,并加以證明.
第20題圖
10.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖,在正方體中,,,,,,分別是棱,,, ,,的中點(diǎn). 求證:
(1)直線∥平面;
(2)直線⊥平面.
【解析】(1)連接,由是正方體,知,
因?yàn)?,分別是,的中點(diǎn),所以.
從而.
16、
而平面,且平面,
故直線∥平面.
(2)如圖,連接,,則.
由平面,平面,可得.
又,所以平面.
而平面,所以.
因?yàn)?,分別是,的中點(diǎn),所以,從而.
同理可證. 又,所以直線⊥平面.
考點(diǎn):正方體的性質(zhì),空間中的線線、線面、面面平行于垂直.
11. 【20xx高考湖北,文20】《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑. 在如圖所示的陽(yáng)馬中,側(cè)棱底面,且,點(diǎn)是的中點(diǎn),連接.
(Ⅰ)證明:平面. 試判斷四面體是
否為鱉臑,若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅱ)記陽(yáng)馬的體積為,四面體的體積為,求的值.