《新編高考數(shù)學(xué)江蘇專(zhuān)用理科專(zhuān)題復(fù)習(xí):專(zhuān)題6 數(shù)列 第41練 Word版含解析》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)江蘇專(zhuān)用理科專(zhuān)題復(fù)習(xí):專(zhuān)題6 數(shù)列 第41練 Word版含解析(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
訓(xùn)練目標(biāo)
(1)數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用;(2)中檔大題的規(guī)范練.
訓(xùn)練題型
(1)等差、等比數(shù)列的綜合;(2)數(shù)列與不等式的綜合;(3)數(shù)列與函數(shù)的綜合;(4)一般數(shù)列的通項(xiàng)與求和.
解題策略
(1)將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列;
(2)用方程(組)思想解決等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題.
1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知2Sn=3n+3.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足anbn=log3an,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
2.(20xx·安徽)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=9,a2a3=8.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
2、;
(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
3.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且4Sn=a+2an-3.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)已知bn=2n,求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值.
4.(20xx·蘇州、無(wú)錫、常州、鎮(zhèn)江三模)已知常數(shù)λ≥0,若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,Sn+1=Sn+(λ·3n+1)an+1(n∈N*).
(1)若λ=0,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若an+1<an對(duì)一切n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
5.已知函數(shù)f(
3、x)滿(mǎn)足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(1)=.
(1)當(dāng)n∈N*時(shí),求f(n)的表達(dá)式;
(2)設(shè)an=n·f(n),n∈N*,求證:a1+a2+a3+…+an<2;
(3)設(shè)bn=(9-n),n∈N*,Sn為{bn}的前n項(xiàng)和,當(dāng)Sn最大時(shí),求n的值.
答案精析
1.解 (1)因?yàn)?Sn=3n+3,
所以2a1=3+3,故a1=3,
當(dāng)n>1時(shí),2Sn-1=3n-1+3,
此時(shí)2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,
即an=3n-1,
顯然當(dāng)n=1時(shí),a1不滿(mǎn)足an=3n-1,
所以an=
(2)因?yàn)閍nbn=log3an,所以b1
4、=,
當(dāng)n>1時(shí),bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n,
所以T1=b1=.
當(dāng)n>1時(shí),Tn=b1+b2+b3+…+bn=+1×3-1+2×3-2+3×3-3+…+(n-1)×31-n],
所以3Tn=1+1×30+2×3-1+3×3-2+…+(n-1)×32-n],
兩式相減,得2Tn=+(30+3-1+3-2+3-3+…+32-n)-(n-1)×31-n
=+-(n-1)×31-n
=-,所以Tn=-.
經(jīng)檢驗(yàn),n=1時(shí)也適合.
綜上可得Tn=-.
2.解 (1)由題設(shè)知a1·a4=a2·a3=8.
又a1+a4=9,可解得或(舍去).
由a4=a
5、1q3得公比q=2,
故an=a1qn-1=2n-1(n∈N*).
(2)Sn==2n-1,
又bn===-,
所以Tn=b1+b2+…+bn
=++…
+=-
=1-.
3.解 (1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=a+a1-.
解得a1=3.又∵4Sn=a+2an-3,①
當(dāng)n≥2時(shí),4Sn-1=a+2an-1-3.②
①-②,得4an=a-a+2(an-an-1),
即a-a-2(an+an-1)=0.
∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0.
∵an+an-1>0,∴an-an-1=2(n≥2),
∴數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.
∴an
6、=3+2(n-1)=2n+1.
(2)Tn=3×21+5×22+…+(2n+1)·2n,③
2Tn=3×22+5×23+…+(2n-1)·2n+(2n+1)2n+1,④
④-③,得
Tn=-3×21-2(22+23+…+2n)+(2n+1)2n+1
=-6+8-2·2n+1+(2n+1)·2n+1
=(2n-1)2n+1+2.
4.解 (1)當(dāng)λ=0時(shí),Sn+1=Sn+an+1,
所以Sn=Sn.
因?yàn)閍n>0,所以Sn>0,所以an+1=an.
因?yàn)閍1=1,所以an=1.
(2)因?yàn)镾n+1=Sn+(λ·3n+1)·an+1,an>0,
所以-=λ·3n+1,
則
7、-=λ·3+1,
-=λ·32+1,…,
-=λ·3n-1+1(n≥2,n∈N*).
累加,得-1=λ·(3+32+…+3n-1)+n-1,
則Sn=(λ·+n)·an(n≥2,n∈N*).
經(jīng)檢驗(yàn),上式對(duì)n=1也成立,
所以Sn=(λ·+n)·an(n∈N*),①
Sn+1=(λ·+n+1)·an+1(n∈N*).②
②-①,得an+1=(λ·+n+1)·an+1-(λ·+n)·an,
即(λ·+n)·an+1=(λ·+n)·an.
因?yàn)棣恕?,所以λ·+n>0,λ·+n>0.
因?yàn)閍n+1<an對(duì)一切n∈N*恒成立,
所以λ·+n<·(λ·+n)對(duì)一切n∈N*恒成立
8、,
即λ>對(duì)一切n∈N*恒成立.
記bn=,
則bn-bn+1=-
=.
當(dāng)n=1時(shí),bn-bn+1=0;
當(dāng)n≥2時(shí),bn-bn+1>0.
所以b1=b2=是一切bn中最大的項(xiàng).
綜上,λ的取值范圍是(,+∞).
5.(1)解 令x=n,y=1,
得f(n+1)=f(n)·f(1)=f(n),
∴{f(n)}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,
∴f(n)=()n.
(2)證明 設(shè)Tn為{an}的前n項(xiàng)和,
∵an=n·f(n)=n·()n,
∴Tn=+2×()2+3×()3+…+n×()n,
Tn=()2+2×()3+3×()4+…+(n-1)×()n+n×()n+1,
兩式相減得Tn=+()2+()3+…+()n-n×()n+1,
=1-()n-n×()n+1,
∴Tn=2-()n-1-n×()n<2.
(3)解 ∵f(n)=()n,
∴bn=(9-n)=(9-n)=.
∴當(dāng)n≤8時(shí),bn>0;
當(dāng)n=9時(shí),bn=0;
當(dāng)n>9時(shí),bn<0.
∴當(dāng)n=8或n=9時(shí),Sn取得最大值.