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1、 課時規(guī)范練10　冪函數(shù) 一、選擇題 1.已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點,則f(4)的值為(　　) A.16 B. C. D.2 答案:C 解析:由已知,得=2α,即2α=,∴α=-, ∴f(x)=.∴f(4)=. 2.設(shè)<1,則下列不等關(guān)系成立的是(　　) A.aab>a>0,在A和B中,y=ax(0ab,所以結(jié)論不成立;在C中,y=xn(n>0)在(0,+∞)內(nèi)是單調(diào)遞增的,又a

2、ab0且a≠1,則“函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)=(2-a)x3在R上是增函數(shù)”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件[來源:] C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案:A 解析:函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù),等價于0

3、0且a≠1);函數(shù)g(x)=(2-a)x3在R上是增函數(shù),等價于2-a>0,又a>0且a≠1,故0

4、.③,⑧ D.①,⑤ 答案:D 解析:對冪函數(shù)y=xα,當α∈(0,1)時,其圖象在x∈(0,1)的部分在直線y=x上方,且圖象過點(1,1),當x>1時其圖象在直線y=x下方,故經(jīng)過第①⑤兩個“區(qū)域”. 二、填空題 7.若函數(shù)f(x)=則f(f(f(0)))=　　　　　.? 答案:1 解析:f(f(f(0)))=f(f(-2))=f(1)=1. 8.由冪函數(shù)y=xn的圖象過點(8,2),則這個冪函數(shù)的定義域是　　　　　.? 答案:R 解析:由8n=2得到n=,冪函數(shù)y=的定義域為R. 9.若y=是偶函數(shù),且在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),則整數(shù)a的值是　　　　　.? 答案:1

5、,3,5或-1 解析:由題意,得a2-4a-9應(yīng)為負偶數(shù), 即a2-4a-9=(a-2)2-13=-2k(k∈N*),(a-2)2=13-2k, 當k=2時,a=5或-1; 當k=6時,a=3或1.[來源:] 10.給出下列四個命題: ①函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與函數(shù)y=logaax(a>0,且a≠1)的定義域相同; ②函數(shù)y=x3與y=3x的值域相同; ③函數(shù)y=與y=都是奇函數(shù); ④函數(shù)y=(x-1)2與y=2x-1在區(qū)間[0,+∞)上都是增函數(shù). 其中正確命題的序號是　　　　　.? 答案:①③ 解析:①中y=ax與y=logaax=x的定義域均為R; ②

6、中y=x3的值域為R,而y=3x的值域為(0,+∞); ③y=是奇函數(shù), y=也是奇函數(shù); ④y=(x-1)2在[0,+∞)上不單調(diào),y=2x-1在[0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),故①③正確. 11.已知冪函數(shù)y=xα,α∈的圖象過定點A,且點A在直線=1(m>0,n>0)上,則log2=　　　　　.? 答案:1 解析:由冪函數(shù)的圖象知y=xα,α∈的圖象恒過定點A(1,1),[來源:] 又點A在直線=1(m>0,n>0)上,∴=1. ∴l(xiāng)og2=log2=log22=1. 三、解答題 12.若函數(shù)f(x)是冪函數(shù),且滿足=3,求f的值. 解:依題意設(shè)f(x)=xα(α∈R

7、),則有=3,即2α=3,得α=log23,則f(x)=,于是f. 13.已知f(x)=(m2+m)·,當m取什么值時, (1)f(x)是正比例函數(shù); (2)f(x)是反比例函數(shù); (3)在第一象限內(nèi)它的圖象是上升曲線. 解:(1)由題意知 解得m=1±. (2)由題意知 解得m=0(舍)或m=2,故m=2. (3)由題意知 解得m∈(-∞,-1)∪(1+,+∞). 14.函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象的示意圖如圖所示,設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1

8、x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并說明理由. (3)結(jié)合函數(shù)圖象示意圖,請把f(8),g(8),f(2 011),g(2 011)四個數(shù)按從小到大的順序排列. 解:(1)由圖象可知C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=2x. (2)a=1,b=9,因為f(1)=2>g(1)=1,f(2)=4

9、12g(10)=1 000, 所以x2∈[9,10],即b=9. (3)由題意可得,f(8)0,x>0), (1)若f(x)在[1,2]上最小值為,求實數(shù)a的值. (2)當m,n∈(0,+∞),f(x)在[m,n]上值域為[-n,-m],求實數(shù)a的取值范圍. 解:(1)∵f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減, ∴ymin=f(2)=,解得a=4. (2)∵f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,∴ 即m,n是方程=-x的兩個正根, 等價于函數(shù)g(x)=ax2-x+a

10、與x軸的正半軸有兩個交點. ∵g(0)=a>0,對稱軸x=>0, ∴只需Δ>0,即1-4a2>0,解得00. 2.已知冪函數(shù)f(x)=xα的部分對應(yīng)值如下表: x 1 f(x) 1 則不等式f(|x|)≤2的解集是　　　　　.? 答案:{x|-4≤x≤4} 解析:由表知,∴α

11、=,∴f(x)=. ∴|x≤2,即|x|≤4,故-4≤x≤4. 3.已知冪函數(shù)y=(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在(0,+∞)上函數(shù)值隨x的增大而減小,求滿足(a+1<(3-2a的a的取值范圍. 解:∵函數(shù)f(x)在(0,+∞)上遞減,∴m2-2m-3<0,解得-13-2a>0,或0>a+1>3-2a或a+1<0<3-2a. 解得a<-1或