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1、
第6練 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
一.強化題型考點對對練
1. (導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性)【湖北省重點高中聯(lián)考】若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
2. (導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值與最值)函數(shù)在處取得最小值,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意得不等式對 恒成立 ,化簡得對 恒成立 ,當(dāng)時, ;當(dāng)時, ;令 ,則 ,所以,綜上實數(shù)的取值范圍是,選C.
3. (利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍)【黑龍江省大慶實驗
2、中學(xué)期中】已知為自然對數(shù)的底數(shù),若對任意的,總存在唯一的,使得成立,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
4.(導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值與最值)當(dāng)時,函數(shù)的圖像不在函數(shù)的下方,則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由題意得 對恒成立,則 ,令 ,則 ,(易證 ) 即
5. (導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值與最值)【華大新高考聯(lián)盟聯(lián)考】若函數(shù)滿足,則當(dāng)時, ( )
A. 有極大值,無極小值 B. 有極小值,無極大值C. 既有極大值又有極小值 D. 既無極大值又無極小值
【答案】C
【解析】由題設(shè)知,當(dāng)
3、時, ,可得為常數(shù)),又,得C=0,所以.又,令,解得或(舍去).所以當(dāng)時, ,所以當(dāng)時, 有極小值,無極大值.故選B.
6. (導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用)已知函數(shù),.
(Ⅰ)若在上的最大值為,求實數(shù)的值.
(Ⅱ)若對任意的,都有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
(Ⅱ)由,得,∵, ∴,由于不能同時取等號,所以,即.∴ 恒成立.令,,則,當(dāng)時,, ,從而,所以函數(shù)在上為增函數(shù),所以,所以.
7. (導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用)已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若存在,使得對任意的,不等式(其中是自然對數(shù)的底數(shù))都成立,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】(Ⅰ).令,.
①當(dāng)時,,∴,函數(shù)在上單調(diào)遞
4、增;
②當(dāng)時,,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增;
③當(dāng)時,,令,得,
;.所以,在和上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,函數(shù)的最大值是,對任意的,都存在,使得不等式成立,即對任意的,都成立,即對任意的,不等式都成立,記,則.,且.
①當(dāng)時,,即時,單調(diào)遞減.∴,只需,解得,∴.
②當(dāng)時,令得或,因為,所以.
(?。┊?dāng)時,,當(dāng)時,;當(dāng)時,,∴,解得 ,∴.
(ⅱ)當(dāng)時,因為,所以,所以,所以,則
在上單調(diào)遞增,得,即,∴.
綜上,的取值范圍是.
8. (導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)
5、用)【安徽省馬鞍山聯(lián)考】已知函數(shù)的圖象在處的切線過點.
(1)若,求函數(shù)的極值點;
(2)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點,若,證明: .(提示)
(2)是方程的兩個根,,, 是函數(shù)的極大值, 是函數(shù)的極小值,要證,只需,,令,則,設(shè),則,函數(shù)在上單調(diào)遞減,
,.
9 (導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用)【湖北省部分重點中學(xué)聯(lián)考】已知函數(shù), .
(Ⅰ)若曲線在點處的切線與直線垂直,求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù).當(dāng)時,若區(qū)間上存在,使得,求實數(shù)的取值范圍.(為自然對數(shù)底數(shù))
【解析】(1),因為曲線在點處的切線與直線的垂直,所以,即,解得.所以.∴當(dāng)時, , 在上單調(diào)遞減;當(dāng)時, , 在上單調(diào)遞增;∴當(dāng)時
6、, 取得極小值,∴極小值為.
(2)令 ,則,欲使在區(qū)間上上存在,使得,只需在區(qū)間上的最小值小于零.令得, 或.當(dāng),即時, 在上單調(diào)遞減,則的最小值為,∴,解得,∵,∴;當(dāng),即時, 在上單調(diào)遞增,則的最小值為,∴,解得,∴;當(dāng),即時, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則的最小值為,∵,∴.∴,此時不成立.綜上所述,實數(shù)的取值范圍為
二.易錯問題糾錯練
10.(不能靈活轉(zhuǎn)化而致錯)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【注意問題】函數(shù)在某個區(qū)間單調(diào)遞減,導(dǎo)數(shù)值不一定都為負,可能
7、在某些不連續(xù)點出導(dǎo)數(shù)值為0,但是不影響整個函數(shù)的單調(diào)性.
11. (目標(biāo)與已知條件不能聯(lián)系而致錯)【20xx陜西咸陽二?!恳阎x在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,對任意滿足,則下列結(jié)論正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【注意問題】利用單調(diào)性解抽象不等式時,關(guān)鍵要密切結(jié)論與已知條件的聯(lián)系,通過構(gòu)造合適的函數(shù)來求解.
三.新題好題好好練
12.已知為定義在的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),對任意實數(shù),都有
,則不等式的解集為___________.
【答案】
【解析】若,則,所以在上為增函數(shù).又等式等價于,即,所以,解得.
13.【
8、高三廣東省陽春市一中第三次月考】若函數(shù)的最大值為,則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由 ,可得 在 恒成立,即為,當(dāng) 時, 2顯然成立;當(dāng) 時,有 ,可得 設(shè)
由 時, ,則在遞減,且 ,可得 ;當(dāng) 時,有 ,可得 ,設(shè) 由 時, 在 遞減,由時, 在 遞增,即有 在 處取得極小值,且為最小值 ,可得 ,綜上可得 .故選B.
14.已知是函數(shù)(,)的一個極值點,
則函數(shù)的增區(qū)間為___________.
【答案】
15.若函數(shù)的圖象恒在軸上上方,則實數(shù)的取值范圍___________.
【答案】
【解析】當(dāng)時,取,則,不合題意;當(dāng)時,,則在區(qū)間上,,在區(qū)間上,,∴的最小值為,所以只需,即,∴,即.
16.【福建省福州期中】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值點;
(2)設(shè),若函數(shù)在 內(nèi)有兩個極值點,求證: .
,在上大于等于零恒成立,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,無極值點.
④ 若,由得;由可得或,所以函數(shù)在上為增函數(shù);由,可得,所以函數(shù)在上為減函數(shù),所以函數(shù)在上有極大值點,極小值點.
(2),則,記,由題意可知方程即在上有兩個不等實數(shù)根.所以,解得:
∵,∴