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1、新編高考數學復習資料 學案21　二倍角的三角函數及簡單的 三角恒等變換 導學目標： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟練應用.2.能運用兩角和與差的三角公式進行簡單的恒等變換． 自主梳理 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝______________； (2)cos 2α＝________________＝________________－1＝1－________________； (3)tan 2α＝____________________ (α≠＋且α≠kπ＋)． 公式的逆向變換及有關變形 (1)sin αcos α＝___________

2、_____?cos α＝； (2)降冪公式：sin2α＝________________，cos2α＝______________； 升冪公式：1＋cos α＝______________，1－cos α＝______________； 變形：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝________________. 自我檢測 1．已知sin α＝，則sin4α－cos4α的值為________． 2．已知x∈(－，0)，cos x＝，則tan 2x＝________. 3．函數y＝(sin x－cos x)2－1的最小正周期為________． 4.

3、＋2的化簡結果是________． 5．函數f(x)＝cos 2x－2sin x的最小值和最大值分別為________和________． 探究點一　三角函數式的化簡 例1　求函數y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值． 變式遷移1　(2010·泰安一模)已知函數f(x)＝. (1)求f的值； (2)當x∈時，求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值． 探究點二　三角函數式的求值 例2　已知sin(＋2α)·sin(－2α)＝，α∈(，)，求2sin2α＋tan α－－1的值． 變式遷移2　

4、(1)已知α是第一象限角，且cos α＝，求的值． (2)已知cos(α＋)＝，≤α<，求cos(2α＋)的值． 探究點三　三角恒等式的證明 例3　(2010·蘇北四市模擬)已知sin(2α＋β)＝3sin β，設tan α＝x，tan β＝y(tǒng)，記y＝f(x)． (1)求證：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f(x)的解析式； (3)若角α是一個三角形的最小內角，試求函數f(x)的值域． 變式遷移3　求證： ＝. 轉化與化歸思想 例　(14分)(2010·江西)已知函數f(x)＝sin2x＋msinsin. (1

5、)當m＝0時，求f(x)在區(qū)間上的取值范圍； (2)當tan α＝2時，f(α)＝，求m的值． 【答題模板】 解　(1)當m＝0時，f(x)＝sin2x ＝sin2x＋sin xcos x＝ ＝，[3分] 由已知x∈，得2x－∈，[4分] 所以sin∈，[5分] 從而得f(x)的值域為.[7分] (2)f(x)＝sin2x＋sin xcos x－cos 2x ＝＋sin 2x－cos 2x ＝[sin 2x－(1＋m)cos 2x]＋，[9分] 由tan α＝2，得sin 2α＝＝＝， cos 2α＝＝＝－.[11分] 所以＝＋，[12分] 解得m＝－2.[14分

6、] 【突破思維障礙】 三角函數式的化簡是指利用誘導公式、同角基本關系式、和與差的三角函數公式、二倍角公式等，將較復雜的三角函數式化得更簡潔、更清楚地顯示出式子的結果．化簡三角函數式的基本要求是：(1)能求出數值的要求出數值；(2)使三角函數式的項數最少、次數最低、角與函數的種類最少；(3)分式中的分母盡量不含根式等． 1．求值中主要有三類求值問題： (1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關系，解題時，要利用觀察得到的關系，結合公式轉化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數而得解． (2)“給值求值”：給出某些角的三角函數

7、式的值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系． (3)“給值求角”：實質是轉化為“給值求值”，關鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數值結合該函數的單調區(qū)間求得角． 2．三角恒等變換的常用方法、技巧和原則： (1)在化簡求值和證明時常用如下方法：切割化弦法，升冪降冪法，輔助元素法，“1”的代換法等． (2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，＝＋，是的二倍角等． (3)化繁為簡：變復角為單角，變不同角為同角，化非同名函數為同名函數，化高次為低次，化多項式為單項式，化無理式為有

8、理式． 消除差異：消除已知與未知、條件與結論、左端與右端以及各項的次數、角、函數名稱、結構等方面的差異． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，則cos(α－π)＝______. 2．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan＝________. 3．(2011·淮安模擬)已知cos 2α＝ (其中α∈)，則sin α的值為________． 4．若f(x)＝2tan x－，則f的值為________． 5．(2010·福建廈門外國語學校高三第二次月考)在△ABC中，若cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0

9、，則sin B的值是________． 6．(2011·鎮(zhèn)江模擬)已知sin(－α)＝，則cos(＋2α)的值是________． 7．函數y＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________． 8．若＝－，則cos α＋sin α的值為________． 二、解答題(共42分) 9．(14分)化簡：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°； (2). 10．(14分)(2010·南京一模)設函數f(x)＝sin xcos x－cos xsin－. (1)求f(x)的最小正周期； (2)當∈時，求函數f(x)的最大值和最小值．

10、 11．(14分)(2010·北京)已知函數f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x. (1)求f()的值； (2)求f(x)的最大值和最小值． 答案 自主梳理 (1)2sin αcos α　(2)cos2α－sin2α　2cos2α　2sin2α (3)　(1)sin 2α　(2)　　2cos2　2sin2　(sin α±cos α)2 自我檢測 1．－ 解析　原式＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α) ＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－. 2．－ 解析　∵x∈(－，0)，cos x＝， ∴sin x＝

11、－，tan x＝－，tan 2x＝＝－. 3．π 解析　y＝sin2x－2sin xcos x＋cos2x－1＝－sin 2x， ∴T＝π. 4．－2sin 4 解析　原式＝＋2 ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|＝－2sin 4. 5．－3　 解析　f(x)＝cos 2x－2sin x ＝1－2sin2x－2sin x＝－22＋， 則sin x＝－時，f(x)最大＝； sin x＝1時，f(x)最?。剑?. 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　化簡的原則是形式簡單，三角函數名稱盡量少，次數盡量低，最好不含分母，能求值的盡量求值．本題要充分利用倍角公式進行降冪，

12、利用配方變?yōu)閺秃虾瘮?，重視復合函數中間變量的范圍是關鍵． 解　y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x ＝7－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x) ＝7－2sin 2x＋4cos2xsin2x ＝7－2sin 2x＋sin22x＝(1－sin 2x)2＋6， 由于函數z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值為zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值為zmin＝(1－1)2＋6＝6， 故當sin 2x＝－1時，y取得最大值10， 當sin 2x＝1時，y取得最小值6. 變式遷移1　解　(1)f(x) ＝＝ ＝＝＝2cos 2x， ∴f＝2c

13、os＝2cos ＝. (2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin. ∵x∈，∴2x＋∈， ∴當x＝時，g(x)max＝， 當x＝0時，g(x)min＝1. 例2　解題導引　(1)這類問題一般是先化簡再求值；化簡后目標更明確； (2)如果能從已知條件中求出特殊值，應轉化為特殊角，可簡化運算，對切函數通?；癁橄液瘮担? 解　由sin(＋2α)·sin(－2α) ＝sin(＋2α)·cos(＋2α) ＝sin(＋4α)＝cos 4α＝， ∴cos 4α＝，又α∈(，)，故α＝， ∴2sin2α＋tan α－－1＝－cos 2α＋ ＝－cos 2α＋＝－cos－＝. 變

14、式遷移2　解　(1)∵α是第一象限角， cos α＝，∴sin α＝. ∴＝＝ ＝＝＝－. (2)cos(2α＋)＝cos 2αcos－sin 2αsin ＝(cos 2α－sin 2α)， ∵≤α<，∴≤α＋<. 又cos(α＋)＝>0， 故可知<α＋<π，∴sin(α＋)＝－， 從而cos 2α＝sin(2α＋) ＝2sin(α＋)cos(α＋)＝2×(－)×＝－. sin 2α＝－cos(2α＋)＝1－2cos2(α＋) ＝1－2×()2＝. ∴cos(2α＋)＝(cos 2α－sin 2α)＝×(－－) ＝－. 例3　解題導引　本題的關鍵是第(1)小題的恒

15、等式證明，對于三角條件恒等式的證明，我們要注意觀察、分析條件恒等式與目標恒等式的異同，特別是分析已知和要求的角之間的關系，再分析函數名之間的關系，則容易找到思路．證明三角恒等式的實質就是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡，左右歸一或變更論證．對于第(2)小題同樣要從角的關系入手，利用兩角和的正切公式可得關系．第(3)小題則利用基本不等式求解即可． 解　(1)由sin(2α＋β)＝3sin β， 得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]， 即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(

16、α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α. (2)由(1)得＝2tan α，即＝2x， ∴y＝，即f(x)＝. (3)∵角α是一個三角形的最小內角， ∴0<α≤，0

17、α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－. 2. 解析　因為α＋＋β－＝α＋β， 所以α＋＝(α＋β)－. 所以tan＝tan ＝＝. 3．－ 解析　∵＝cos 2α＝1－2sin2α， ∴sin2α＝.又∵α∈， ∴sin α＝－. 4．8 解析　f(x)＝2tan x＋＝2tan x＋ ＝＝， ∴f＝＝8. 5. 解析　由cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化簡變形，得2cos2B－3cos B＋1＝0， ∴cos B＝或cos B＝1(舍)．∴sin B＝. 6．－ 解析　cos(＋2α)＝－cos(－2α) ＝－cos[2(－α)]＝－[1

18、－2sin2(－α)]＝－. 7．1－ 解析　∵y＝2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋1＋cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1， ∴當sin(2x＋)＝－1時，函數取得最小值1－. 8. 解析　∵＝ ＝－(sin α＋cos α)＝－，∴cos α＋sin α＝. 9．解　(1)∵sin 2α＝2sin αcos α， ∴cos α＝，…………………………………………………………………………(3分) ∴原式＝··· ＝＝.……………………………………………………………………(7分) (2)原式＝………………………………………………………(9

19、分) ＝＝＝tan4α.………………………………………………………(14分) 10．解　f(x)＝sin xcos x－cos xsin－ ＝sin 2x－cos 2x－1 ＝sin－1.…………………………………………………………………………(4分) (1)T＝＝π，故f(x)的最小正周期為π.…………………………………………………(6分) (2)因為0≤x≤，所以－≤2x－≤. 所以當2x－＝，即x＝時，f(x)有最大值0，………………………………………(12分) 當2x－＝－，即x＝0時，f(x)有最小值－.…………………………………………(14分) 11．解　(1)f()＝2cos＋sin2－4cos ＝－1＋－2＝－.………………………………………………………………………(4分) (2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x ＝3cos2x－4cos x－1 ＝3(cos x－)2－，x∈R.………………………………………………………………(10分) 因為cos x∈[－1,1]， 所以，當cos x＝－1時，f(x)取得最大值6； 當cos x＝時，f(x)取得最小值－.……………………………………………………(14分)