《人教A版數(shù)學(xué)選修44：第1講3簡單曲線的極坐標(biāo)方程【教學(xué)參考】》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《人教A版數(shù)學(xué)選修44：第1講3簡單曲線的極坐標(biāo)方程【教學(xué)參考】（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 三簡單曲線的極坐標(biāo)方程 課標(biāo)解讀 1.了解極坐標(biāo)方程的意義，了解曲線的極坐標(biāo)方程的求法． 2．會進行曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化；了解簡單圖形(如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)表示的極坐標(biāo)方程． 3．能夠運用直線和圓的極坐標(biāo)方程解決問題. 1．曲線與方程的關(guān)系 在平面直角坐標(biāo)系中，平面曲線C可以用方程f(x，y)＝0表示．曲線與方程滿足如下關(guān)系： (1)曲線C上點的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解； (2)以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上． 2．曲線的極坐標(biāo)方程 一般地，在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上任意一

2、點的極坐標(biāo)中至少有一個滿足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐標(biāo)適合方程f(ρ，θ)＝0的點都在曲線C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲線C的極坐標(biāo)方程． 3．常見曲線的極坐標(biāo)方程 曲　線 圖　形 極坐標(biāo)方程 圓心在極點，半徑為r的圓 ρ＝r(0≤θ<2π) 圓心為(r,0)，半徑為r的圓 ρ＝2rcos_θ (－≤θ≤) 圓心為(r，)，半徑為r的圓 ρ＝2rsin_θ (0≤θ<π) 過極點，傾斜角為α的直線 θ＝α或θ＝α＋π 過點(a,0)，與極軸垂直的直線 ρcos_θ＝a (－<θ<) 過點(a，)，與極軸平行的直線 ρsi

3、n_θ＝a (0<θ<π) 1．曲線的極坐標(biāo)方程是否惟一？ 【提示】　由于平面上點的極坐標(biāo)的表示形式不惟一，所以曲線上的點的極坐標(biāo)有多種表示，曲線的極坐標(biāo)方程不惟一． 2．如何求圓心為C(ρ1，θ1)，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程？ 【提示】　如圖所示，設(shè)圓C上的任意一點為M(ρ，θ)，且O、C、M三點不共線，不妨以如圖所示情況加以說明，在△OCM中，由余弦定理得|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|·cos∠COM＝|CM|2， ∴ρ2＋ρ－2ρρ1cos(θ－θ1)＝r2，可以檢驗，當(dāng)O、C、M三點共線時的點M的坐標(biāo)也適合上式，當(dāng)θ<θ1時也滿足該式，所以半徑為r

4、，圓心在C(ρ1，θ1)的圓的極坐標(biāo)方程為ρ2＋ρ－2ρρ1cos(θ－θ1)－r2＝0. 圓的極坐標(biāo)方程 　求圓心在C(2，)處并且過極點的圓的極坐標(biāo)方程，并判斷點(－2，sin)是否在這個圓上． 【思路探究】　解答本題先設(shè)圓上任意一點M(ρ，θ)，建立等式轉(zhuǎn)化為ρ，θ的方程，化簡可得，并檢驗特殊點． 【自主解答】　 如圖，由題意知，圓經(jīng)過極點O，OA為其一條直徑，設(shè)M(ρ，θ)為圓上除點O，A以外的任意一點，則|OA|＝2r，連接AM，則OM⊥MA. 在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM， 即ρ＝2rcos(－θ)， ∴ρ＝－4sin θ， 經(jīng)驗

5、證，點O(0,0)，A(4，)的坐標(biāo)滿足上式． ∴滿足條件的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝－4sin θ. ∵sin＝， ∴ρ＝－4sin θ＝－4sin＝－2， ∴點(－2，sin)在此圓上． 1．求曲線的極坐標(biāo)方程通常有以下五個步驟：①建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系(本題無需建)；②在曲線上任取一點M(ρ，θ)；③根據(jù)曲線上的點所滿足的條件寫出等式；④用極坐標(biāo)(ρ，θ)表示上述等式，并化簡得曲線的極坐標(biāo)方程；⑤證明所得的方程是曲線的極坐標(biāo)方程．(一般只要對特殊點加以檢驗即可)． 2．求曲線的極坐標(biāo)方程，關(guān)鍵是找出曲線上的點滿足的幾何條件，并進行坐標(biāo)表示． 　(2012·江西高考)曲線C

6、的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為________． 【解析】　直角坐標(biāo)方程x2＋y2－2x＝0可化為x2＋y2＝2x，將ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ. 【答案】　ρ＝2cos θ 直線或射線的極坐標(biāo)方程 　求過點A(1,0)，且傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程． 【思路探究】　畫出草圖―→設(shè)點M(ρ，θ)是直線上的任意一點―→建立關(guān)于ρ，θ的方程檢驗 【自主解答】　 法一　設(shè)M(ρ，θ)為直線上除點A以外的任意一點． 則∠xAM＝，∠OAM＝， ∠OMA＝－θ. 在△

7、OAM中，由正弦定理得 ＝， 即＝， 故ρsin(－θ)＝， 即ρ(sincos θ－cossin θ)＝， 化簡得ρ(cos θ－sin θ)＝1， 經(jīng)檢驗點A(1,0)的坐標(biāo)適合上述方程， 所以滿足條件的直線的極坐標(biāo)方程為 ρ(cos θ－sin θ)＝1， 其中，0≤θ<，ρ≥0和<θ<2π，ρ≥0. 法二　以極點O為直角坐標(biāo)原點，極軸為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy. ∵直線的斜率k＝tan＝1， ∴過點A(1,0)的直線方程為y＝x－1. 將y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入上式，得ρsin θ＝ρcos θ－1， ∴ρ(cos θ－sin θ)＝1，

8、 其中，0≤θ<，ρ≥0和<θ<2π，ρ≥0. 　法一通過運用正弦定理解三角形建立了動點M所滿足的等式，從而集中條件建立了以ρ，θ為未知數(shù)的方程；法二先求出直線的直角坐標(biāo)方程，然后通過直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式間接得解，過渡自然，視角新穎，不僅優(yōu)化了思維方式，而且簡化了解題過程． 　若本例中條件不變，如何求以A為端點且在極軸上方的射線的極坐標(biāo)方程？ 【解】　由題意，設(shè)M(ρ，θ)為射線上任意一點， 根據(jù)例題可知，ρsin(－θ)＝， 化簡得ρ(cos θ－sin θ)＝1. 經(jīng)檢驗點A(1,0)的坐標(biāo)適合上述方程． 因此，以A為端點且在極軸上方的射線的極坐標(biāo)方程為ρ

9、(cos θ－sin θ)＝1(其中ρ≥0,0≤θ<)． 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化 　若曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ＋4cos θ，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系． (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)若直線ρsin(θ－)＝0與曲線C相交于A、B，求|AB|. 【思路探究】　利用極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式將直線和圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程求解． 【自主解答】　(1)因為 所以ρ2＝x2＋y2， 由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ ∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1

10、)2＝5. (2)由ρsin(θ－)＝0， 得ρ(sin θ－cos θ)＝0， 即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x－y＝0. 由于圓(x－2)2＋(y－1)2＝5的半徑為r＝，圓心(2,1)到直線x－y＝0的距離為d＝＝， ∴|AB|＝2＝3. 1．直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，只需把公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程要通過變形，構(gòu)造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，進行整體代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法．但對方程進行變形時，方程必須保持同解，因此應(yīng)注意對變形過程的檢驗

11、． 2．對方程進行合理變形，并注重公式的正向、逆向與變形使用． 　(2013·北京高考)在極坐標(biāo)系中，點(2，)到直線ρsin θ＝2的距離等于________． 【解析】　極坐標(biāo)系中點(2，)對應(yīng)的直角坐標(biāo)為(，1)．極坐標(biāo)系中直線ρsin θ＝2對應(yīng)直角坐標(biāo)系中直線y＝2.故所求距離為1. 【答案】　1 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 　從極點O作直線與另一直線l：ρcos θ＝4相交于點M，在OM上取一點P，使|OM|·|OP|＝12. (1)求點P的軌跡方程； (2)設(shè)R為l上的任意一點，試求|RP|的最小值． 【思路探究】　建立點P的極坐標(biāo)方程，完成直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)方

12、程的互化，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求|RP|的最小值． 【自主解答】　(1)設(shè)動點P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)，M的極坐標(biāo)為(ρ0，θ)，則ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4， ∴ρ＝3cos θ即為所求的軌跡方程． (2)將ρ＝3cos θ化為直角坐標(biāo)方程， 得x2＋y2＝3x， 即(x－)2＋y2＝()2， 知P的軌跡是以(，0)為圓心，半徑為的圓． 直線l的直角坐標(biāo)方程是x＝4. 結(jié)合圖形易得|RP|的最小值為1. 1．用極坐標(biāo)法可使幾何中的一些問題得出很直接、簡單的解法．當(dāng)然，因為建系的不同，曲線的極坐標(biāo)方程也會不同． 2．解題時關(guān)鍵是極坐標(biāo)要選取適當(dāng)

13、，這樣可以簡化運算過程，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)時也容易一些． 　過極點O作圓C：ρ＝8cos θ的弦ON，求ON的中點M的軌跡方程． 【解】　法一　如圖，圓心C(4,0)，半徑r＝|OC|＝4，連接CM. ∵M為弦ON的中點， ∴CM⊥ON，故M在以O(shè)C為直徑的圓上． 所以，動點M的軌跡方程是ρ＝4cos θ. 法二　設(shè)M點的坐標(biāo)是(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)． N點在圓ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1.　?、? ∵M是ON的中點， ∴ 將它代入①式得2ρ＝8cos θ， 故M的軌跡方程是ρ＝4cos θ. (教材第15頁習(xí)題1.3，第5題) 已知直線的極

14、坐標(biāo)方程為ρsin(θ＋)＝，求點A(2，π)到這條直線的距離． 　(2013·安徽高考)在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝2cos θ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為(　　) A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1 【命題意圖】　考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，圓的方程及其切線的求解．通過極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化考查了知識的轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力和轉(zhuǎn)化應(yīng)用意識． 【解析】　由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，即(

15、x－1)2＋y2＝1，其垂直于極軸的兩條切線方程為x＝0和x＝2，相應(yīng)的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2. 【答案】　B 1．(2013·安陽質(zhì)檢)下列點不在曲線ρ＝cos θ上的是(　　) A．(，)　　　　 　 　B．(－，) C．(，－) D．(，－) 【解析】　點(，－π)的極坐標(biāo)滿足ρ＝，θ＝－π，且ρ≠cos θ＝cos(－π)＝－. 【答案】　D 2．圓心在(1,0)且過極點的圓的極坐標(biāo)方程為(　　) A．ρ＝1 B．ρ＝cos θ C．ρ＝2cos θ D．ρ＝2sin θ 【解析】　圓的直角坐標(biāo)方程是(x－1)2＋y2＝1，將x＝ρcos

16、 θ，y＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即為此圓的極坐標(biāo)方程． 【答案】　C 3．極坐標(biāo)方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的圖形是(　　) A．兩個圓 B．兩條直線 C．一個圓和一條射線 D．一條直線和一條射線 【解析】　由題設(shè)，得ρ＝1，或θ＝π， ρ＝1表示圓，θ＝π(ρ≥0)表示一條射線． 【答案】　C 4．已知曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ<)，則曲線C1與C2交點的極坐標(biāo)為________． 【解析】　由ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，得4cos2 θ＝3. 又0≤θ<，則cos

17、 θ>0. ∴cos θ＝，θ＝，故ρ＝2. ∴兩曲線交點的極坐標(biāo)為(2，)． 【答案】　(2，) (時間40分鐘，滿分60分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．極坐標(biāo)方程ρ＝cos(－θ)表示的曲線是(　　) A．雙曲線　　　　　　　B．橢圓 C．拋物線 D．圓 【解析】　ρ＝cos(－θ)＝cos cos θ＋sin sin θ＝cos θ＋sin θ，∴ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，即x2＋y2＝x＋y. 化簡整理，得(x－)2＋(y－)2＝，表示圓． 【答案】　D 2．(2013·三門峽質(zhì)檢)過極點傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程可以為(　　) A．θ

18、＝ B．θ＝，ρ≥0 C．θ＝，ρ≥0 D．θ＝和θ＝，ρ≥0 【解析】　以極點O為端點，所求直線上的點的極坐標(biāo)分成兩條射線． ∵兩條射線的極坐標(biāo)方程為θ＝和θ＝π. ∴直線的極坐標(biāo)方程為θ＝和θ＝π(ρ≥0)． 【答案】　D 3．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝－2sin θ的圓心的極坐標(biāo)是(　　) A．(1，) B．(1，－) C．(1,0) D．(1，π) 【解析】　由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝－2y，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－1)，其對應(yīng)的極坐標(biāo)為(1，－)． 【答案】　B 4．在極坐標(biāo)系中

19、與圓ρ＝4sin θ相切的一條直線的方程為(　　) A．ρcos θ＝ B．ρcos θ＝2 C．ρ＝4sin(θ＋) D．ρ＝4sin(θ－) 【解析】　極坐標(biāo)方程ρ＝4sin θ化為ρ2＝4ρsin θ，即x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4. 由所給的選項中ρcos θ＝2知，x＝2為其對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程，該直線與圓相切． 【答案】　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2013·鶴壁調(diào)研)點Q是圓ρ＝4cos θ上的一點，當(dāng)Q在圓上移動時，OQ(O是極點)中點P的軌跡的極坐標(biāo)方程是________． 【解析】　ρ＝4cos θ是以(2,0)為圓心，半徑

20、為2的圓，則P的軌跡是以(1,0)為圓心，半徑為1的圓，所以極坐標(biāo)方程是ρ＝2cos θ. 【答案】　ρ＝2cos θ 6．(2012·安徽高考)在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4sin θ的圓心到直線θ＝(ρ∈R)的距離是________． 【解析】　極坐標(biāo)系中的圓ρ＝4sin θ轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的一般方程為：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圓心為(0,2)，直線θ＝轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的方程為y＝x，即x－3y＝0. ∴圓心(0,2)到直線x－3y＝0的距離為＝. 【答案】　 三、解答題(每小題10分，共30分) 7．(2012·江蘇高考)在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過

21、點P(，)，圓心為直線ρsin(θ－)＝－與極軸的交點，求圓C的極坐標(biāo)方程． 【解】　在ρsin(θ－)＝－中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)， 因為圓C經(jīng)過點P(，)， 所以圓C的半徑PC＝＝1，于是圓C過極點， 所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. 8．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ－)＝1，M，N分別為C與x軸，y軸的交點． (1)寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)； (2)設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程． 【解】　(1)由ρcos(θ－)＝1， 得ρ(cos θ

22、＋sin θ)＝1. 又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ. ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋y＝1， 即x＋y－2＝0. 當(dāng)θ＝0時，ρ＝2，∴點M(2,0)． 當(dāng)θ＝時，ρ＝，∴點N(，)． (2)由(1)知，M點的坐標(biāo)(2,0)，點N的坐標(biāo)(0，)． 又P為MN的中點， ∴點P(1，)，則點P的極坐標(biāo)為(，)． 所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)． 9．在極坐標(biāo)系中，P是曲線ρ＝12sin θ上的一動點，Q是曲線ρ＝12cos(θ－)上的動點，試求|PQ|的最大值． 【解】　∵ρ＝12sin θ， ∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(

23、y－6)2＝36. 又∵ρ＝12cos(θ－)， ∴ρ2＝12ρ(cos θcos＋sin θsin)， ∴x2＋y2－6x－6y＝0， ∴(x－3)2＋(y－3)2＝36. ∴|PQ|max＝6＋6＋＝18. 教師備選 10．(2012·大連模擬)在極坐標(biāo)系中，O為極點，已知圓C的圓心為(2，)，半徑r＝1，P在圓C上運動。 (1)求圓C的極坐標(biāo)方程； (2)在直角坐標(biāo)系(與極坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以極點O為原點，以極軸為x軸正半軸)中，若Q為線段OP的中點，求點Q軌跡的直角坐標(biāo)方程． 【解】　(1)設(shè)圓C上任一點坐標(biāo)為(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos(θ－)， 所以圓的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos(θ－)＋3＝0. (2)設(shè)Q(x，y)，則P(2x,2y)，由于圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y－)2＝1，P在圓C上，所以(2x－1)2＋(2y－)2＝1，則Q的直角坐標(biāo)方程為 (x－)2＋(y－)2＝. 最新精品語文資料