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1、
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2、 1
第8練 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
一.強(qiáng)化題型考點(diǎn)對對練
1.(三角函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性)【山東省菏澤期中】已知函數(shù),則下列命題正確的是__________(填上你認(rèn)為正確的所有命題的序號).
①函數(shù)的最大值為2; ②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱;
③函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱; ④函數(shù)在上單調(diào)遞減
【答案】①③④
2.(三角函數(shù)
3、的單調(diào)性與最值)【山東省青島期中】已知函數(shù)為的零點(diǎn), 為圖像的對稱軸,且在上單調(diào),則的最大值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】為的零點(diǎn), 為圖象的對稱軸, 即,即為正奇數(shù), 在,則,即,解得,當(dāng)時(shí), , ,此時(shí)在不單調(diào),不滿足題意,當(dāng)時(shí), , ,此時(shí)在單調(diào),滿足題意,故的最大值為,故選D.
3.(三角函數(shù)的單調(diào)性與最值)【河南省中原名校第三次聯(lián)考】函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為( )
A. B. C. D. 和
【答案】A
4.(三角函數(shù)圖象的變換)已知,若將它的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)圖象
4、的一條對稱軸的方程為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,若將它的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,令,,求得,故函數(shù)的圖象的一條對稱軸的方程為,故選A.
5. (三角函數(shù)圖象的變換)【四川省成都期中】把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位就得到了一個(gè)奇函數(shù)的圖象,則的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函數(shù) ,向左平移后得到 是奇函數(shù),則當(dāng)x=0時(shí),y=0,代入得到,則 此時(shí)的最小值是.故答案選C.
6.(三角函數(shù)的解析式)【廣西柳州市聯(lián)考】同時(shí)具有以下性質(zhì):“①最小正周期是;②
5、圖象關(guān)于直線對稱;③在上是增函數(shù);④一個(gè)對稱中心為”的一個(gè)函數(shù)是( )
A. B. C. D.
【答案】C
7.(三角函數(shù)圖象的應(yīng)用)【安徽省十大名校聯(lián)考】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,其中分別是函數(shù)的圖象的一個(gè)最低點(diǎn)和一個(gè)最高點(diǎn),則( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 由題意知, ,所以,所以, 所以,所以, 解得,因?yàn)?,所以,所以,故選A.
8. (三角函數(shù)的解析式)【寧夏石嘴山期中】函數(shù),(其中, , )的一部分圖象如圖所示,將函數(shù)上的每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,得到的圖象表示的
6、函數(shù)可以為( )
A. B. C. D.
【答案】A
9.(三角函數(shù)綜合問題)【北京市朝陽區(qū)期中】已知函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間都為減函數(shù),設(shè),且, , ,則的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵,∴,即,又
∴,又函數(shù)在區(qū)間都為減函數(shù),∴;
∵,∴,即, ,∴,又函數(shù)在區(qū)間都為減函數(shù),∴
綜上:
10.(三角函數(shù)綜合問題)【廣西桂林市第三次月考】已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),且在區(qū)間上恰好取得一次最大值,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D
7、
11.(三角函數(shù)綜合問題)【四川省樂山外國語學(xué)校月考(三)】已知函數(shù),其中,若函數(shù)的最大值記為,則的最小值為( ?。?
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】函數(shù),化簡可得: ,令,令, ,∵,開口向下,對稱軸,故當(dāng)時(shí), 取得最大值為
(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號),故得的最小值為.選D.
二.易錯(cuò)問題糾錯(cuò)練
12.(圖象性質(zhì)不清晰)【云南省名校聯(lián)考(一)】設(shè)函數(shù), ,其中, ,若曲線的一條對稱軸方程為,則函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【注意問題】緊密聯(lián)系正弦曲線的性質(zhì),利用
8、整體代換的思維進(jìn)行解題.
13.(參數(shù)對應(yīng)性質(zhì)不能靈活掌握)已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是,是的圖像的一條對稱軸,則取最小值時(shí),的單調(diào)增區(qū)間是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由條件得, ,又因?yàn)?,此時(shí),又因?yàn)?,
由,故選B.
【注意問題】由零點(diǎn)定義及三角函數(shù)的對稱軸方程,表達(dá).
14.(圖象變換掌握不準(zhǔn)確)將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后,得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象,則的一個(gè)可能取值為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【注意問題】三角函數(shù)的圖象變換,提倡“先平移,后伸縮”,但“先
9、伸縮,后平移”也常出現(xiàn)在題目中,所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形,切記每一個(gè)變換總是對字母x而言.
15.(圖象信息運(yùn)用不熟練)】設(shè)函數(shù)的最小正周期是,將其圖象向左平移后,得到的圖象如圖所示,則函數(shù)的單增區(qū)間是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由已知圖象知,的最小正周期是所以解得.由得到,單增區(qū)間是或:因?yàn)樗詫⒌膱D象向左平移后,所對應(yīng)的解析式為.由圖象知,所以.由得到,單增區(qū)間是
【注意問題】關(guān)注所給圖象已知點(diǎn),結(jié)合三角函數(shù)圖象特征,得出結(jié)論.
16.(解析式參數(shù)求解不準(zhǔn)確)已知,函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,則的值可以是
A.
10、 B. C. D.
【答案】B
【注意問題】三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),解答的關(guān)鍵是由題意求出的值,進(jìn)而確定三角函數(shù)的解析式.
三.新題好題好好練
17.若將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)長度單位得到的圖象,與將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)長度單位得到的圖象重合,則的值( )
A. B. C.2 D.3
【答案】D
【解析】由題意知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位可得到的圖象,則與為同一函數(shù),于是,即,故選D.
18.若,則函數(shù)的圖象的對稱中心為( ?。?
A.(0,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(0,2)
11、
【答案】D
【解析】設(shè),則==-=,所以為奇函數(shù),對稱中心為(0,0),而的圖象可由的圖象向上平移兩個(gè)單位得到,所以圖象對稱中心為(0,2),故選D.
19.【河南名校第一次聯(lián)考】已知函數(shù),在上單調(diào)遞增,若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】C
∵ , ,∴,∵恒成立,∴,故選C.
20.函數(shù)與函數(shù)有相同的零點(diǎn),則的遞增區(qū)間為____________.
【答案】
【解析】根據(jù)正切函數(shù)的圖象與正弦函數(shù)的圖象可知,的周期為的周期的一半,即,∴,∴.由,得的遞增區(qū)間為.
21.已知函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到的圖象
12、關(guān)于原點(diǎn)對稱,而函數(shù)()在上的最小值為,令.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若,求的最小值,并確定此時(shí)的值.
【解析】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到的函數(shù)為,則由函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱知.又函數(shù)()在上的最小值為,所以,解得,∴
(1)由,得,
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)∵,∴,∴,
∴,當(dāng)且僅當(dāng),即,即時(shí),等號成立,故當(dāng)時(shí),取得最小值4.
22.【河南省天一大聯(lián)考(二)】已知向量, ,其中.函數(shù)圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離是,且過點(diǎn).
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若對任意恒成立,求的取值范圍.
(2) 對任意恒成立,即對任意恒成立,即求在上的最小值,∵,∴,∴,∴,∴,∴,∴,即的取值范圍是.