《人教A版數(shù)學(xué)選修44：第1講4柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡(jiǎn)介【教學(xué)參考】》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《人教A版數(shù)學(xué)選修44：第1講4柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡(jiǎn)介【教學(xué)參考】（9頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 四柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡(jiǎn)介 課標(biāo)解讀 1.了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系的意義，能用柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系刻畫簡(jiǎn)單問題中的點(diǎn)的位置． 2．知道柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)的互化關(guān)系與公式，并用于解題. 1．柱坐標(biāo)系 圖1－4－1 如圖1－4－1所示，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)P是空間任意一點(diǎn)．它在Oxy平面上的射影為Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示點(diǎn)Q在平面Oxy上的極坐標(biāo)，這時(shí)點(diǎn)P的位置可用有序數(shù)組(ρ，θ，z)(z∈R)表示．建立了空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(ρ，θ，z)之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)系，有序數(shù)組(ρ，

2、θ，z)叫做點(diǎn)P的柱坐標(biāo)，記作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，z∈R. 2．球坐標(biāo)系 圖1－4－2 建立如圖1－4－2所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，連接OP，記|OP|＝r，OP與Oz軸正向所夾的角為φ.設(shè)P在Oxy平面上的射影為Q，Ox軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到OQ時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角為θ.這樣點(diǎn)P的位置就可以用有序數(shù)組(r，φ，θ)表示．這樣，空間的點(diǎn)與(r，φ，θ)之間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系．把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做球坐標(biāo)系(或空間極坐標(biāo)系)． 有序數(shù)組(r，φ，θ)叫做點(diǎn)P的球坐標(biāo)，記做P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π)．

3、3．空間直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化 空間點(diǎn)P(x，y，z)與柱坐標(biāo)(ρ，θ，z)之間的變換公式為 4．空間直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的關(guān)系 空間點(diǎn)P(x，y，z)與球坐標(biāo)(r，φ，θ)之間的變換公式為 1．要刻畫空間一點(diǎn)的位置，就距離和角的個(gè)數(shù)來說有什么限制？ 【提示】　空間點(diǎn)的坐標(biāo)都是三個(gè)數(shù)值，其中至少有一個(gè)是距離． 2．在柱坐標(biāo)系中，方程ρ＝1表示空間中的什么曲面？在球坐標(biāo)系中，方程r＝1分別表示空間中的什么曲面？ 【提示】　ρ＝1表示以z軸為中心，以1為半徑的圓柱面；球坐標(biāo)系中，方程r＝1表示球心在原點(diǎn)的單位球面． 3．空間直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的聯(lián)系和區(qū)別有哪些？ 【提

4、示】　(1)柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系都是以空間直角坐標(biāo)系為背景，柱坐標(biāo)系中一點(diǎn)在平面xOy內(nèi)的坐標(biāo)是極坐標(biāo)，豎坐標(biāo)和空間直角坐標(biāo)系的豎坐標(biāo)相同；球坐標(biāo)系中，則以一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離和兩個(gè)角刻畫點(diǎn)的位置． (2)空間直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系都是空間坐標(biāo)系，空間點(diǎn)的坐標(biāo)都是三個(gè)數(shù)值的有序數(shù)組. 點(diǎn)的柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化 　(1)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,1,1)，求它的柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)． (2)設(shè)點(diǎn)N的柱坐標(biāo)為(π，π，π)，求它的直角坐標(biāo)． 【思路探究】　(1)已知直角坐標(biāo)系中的直角坐標(biāo)化為柱坐標(biāo)，利用公式求出ρ，θ即可． (2)已知柱坐標(biāo)系中的柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，利用公式求出x，

5、y，z即可． 【自主解答】　(1)設(shè)M的柱坐標(biāo)為(ρ，θ，z)， 則由解之得，ρ＝，θ＝. 因此，點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(，，1)． (2)設(shè)N的直角坐標(biāo)為(x，y，z)， 則由得 ∴因此，點(diǎn)N的直角坐標(biāo)為(－π，0，π)． 1．由直角坐標(biāo)系中的直角坐標(biāo)求柱坐標(biāo)，可以先設(shè)出點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(ρ，θ，z)，代入變換公式求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tan θ＝，求θ，在求θ的時(shí)候特別注意角θ所在的象限，從而確定θ的取值． 2．點(diǎn)的柱坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的豎坐標(biāo)相同． 　根據(jù)下列點(diǎn)的柱坐標(biāo)，分別求直角坐標(biāo)： (1)(2，，3)；(2)(，，5)． 【解】　設(shè)點(diǎn)的

6、直角坐標(biāo)為(x，y，z)． (1) 因此所求點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(－，1,3)． (2) 故所求點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1,5)． 將點(diǎn)的球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo) 　已知點(diǎn)M的球坐標(biāo)為(2，π，π)，求它的直角坐標(biāo)． 【思路探究】　球坐標(biāo) 直角坐標(biāo) 【自主解答】　設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x，y，z)． 則 因此點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(－1,1，－)． 1．根據(jù)球坐標(biāo)系的意義以及與空間直角坐標(biāo)系的聯(lián)系，首先要明確點(diǎn)的球坐標(biāo)(r，φ，θ)中角φ，θ的邊與數(shù)軸Oz，Ox的關(guān)系，注意各自的限定范圍，即0≤φ≤π，0≤θ<2π. 2．化點(diǎn)的球坐標(biāo)(r，φ，θ)為直角坐標(biāo)(x，y，z)，需要

7、運(yùn)用公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的求值與運(yùn)算． 　若例2中“點(diǎn)M的球坐標(biāo)改為M(3，π，π)”，試求點(diǎn)M的直角坐標(biāo)． 【解】　設(shè)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)． 則 ∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(，－，－)． 空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為球坐標(biāo) 　 圖1－4－3 已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，棱AA1的長(zhǎng)為，如圖1－4－3所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，Ax為極軸，求點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)和球坐標(biāo)． 【思路探究】　先確定C1的直角坐標(biāo)，再根據(jù)空間直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的聯(lián)系，計(jì)算球坐標(biāo)． 【自主解答】　點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)為(1,1，)． 設(shè)C1的球坐標(biāo)為

8、(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π， 由x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ， 得r＝＝＝2. 由z＝rcos φ，∴cos φ＝，φ＝ 又tan θ＝＝1，∴θ＝， 從而點(diǎn)C1的球坐標(biāo)為(2，，) 1．由直角坐標(biāo)化為球坐標(biāo)時(shí)，我們可以選設(shè)點(diǎn)M的球坐標(biāo)為(r，φ，θ)，再利用變換公式求出r，θ，φ. 2．利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝.特別注意由直角坐標(biāo)求球坐標(biāo)時(shí)，應(yīng)首先看明白點(diǎn)所在的象限，準(zhǔn)確取值，才能無誤． 　若本例中條件不變，求點(diǎn)C的柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)． 【解】　易知C的直角坐標(biāo)為(1

9、,1,0)． 設(shè)點(diǎn)C的柱坐標(biāo)為(ρ，θ，0)，球坐標(biāo)為(r，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π. (1)由于ρ＝＝＝. 又tan θ＝＝1， ∴θ＝. 因此點(diǎn)C的柱坐標(biāo)為(，，0)． (2)由r＝＝＝. ∴cos φ＝＝0， ∴φ＝. 故點(diǎn)C的球坐標(biāo)為(，，)． 柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系的應(yīng)用 　已知點(diǎn)P1的球坐標(biāo)是P1(2，，)，P2的柱坐標(biāo)是P2(，，1)，求|P1P2|. 【思路探究】　可把兩點(diǎn)坐標(biāo)均化為空間直角坐標(biāo)，再用空間兩點(diǎn)間的距離公式求距離． 【自主解答】　設(shè)P1的直角坐標(biāo)為P1(x1，y1，z1)， 則 ∴P1的直角坐標(biāo)為(，，)． 設(shè)P2

10、的直角坐標(biāo)為P2(x2，y2，z2)， 則 ∴P2的直角坐標(biāo)為(，，1)． ∴|P1P2|＝＝. 　柱坐標(biāo)及球坐標(biāo)問題可以統(tǒng)一化為直角坐標(biāo)問題來解決． 　在球坐標(biāo)系中，求兩點(diǎn)P(3，，)，Q(3，，)的距離． 【解】　將P、Q兩點(diǎn)球坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x，y，z)， 則 ∴P(，，)． 設(shè)點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為(x，y，z)． 則 ∴點(diǎn)Q(－，，)． ∴|PQ|＝ ＝， 即P、Q兩點(diǎn)間的距離為. (教材第17頁思考1) 給定一個(gè)底面半徑為r，高為h的圓柱，建立柱坐標(biāo)系，利用柱坐標(biāo)描述圓柱側(cè)面以及底面上點(diǎn)的位置． 　(2013·

11、長(zhǎng)春檢測(cè))在柱坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(2，π，)，則|OM|＝________. 【命題意圖】　本題主要考查柱坐標(biāo)系的意義，以及點(diǎn)的位置刻畫． 【解析】　設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)． 由(ρ，θ，z)＝(2，π，)知 x＝ρcos θ＝2cosπ＝－1，y＝2sinπ＝. 因此|OM|＝ ＝＝3. 【答案】　3 1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為(2，，3)，P在xOy平面上的射影為Q，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　) A．(2,0,3)　　　　　　　B．(2，，0) C．(，，3) D．(，，0) 【解析】　由點(diǎn)的空間柱坐標(biāo)的意義可知，選B. 【答案】　B 2．

12、已知點(diǎn)A的柱坐標(biāo)為(1,0,1)，則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(　　) A．(1,1,0) B．(1,0,1) C．(0,1,1) D．(1,1,1) 【解析】　∵x＝ρcos θ＝1·cos θ＝1，y＝ρsin θ＝0，z＝1. ∴直角坐標(biāo)為(1,0,1)，故選B. 【答案】　B 3．已知點(diǎn)A的球坐標(biāo)為(3，，)，則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(　　) A．(3,0,0) B．(0,3,0) C．(0,0,3) D．(3,3,0) 【解析】　∵x＝3×sin ×cos ＝0，y＝3×sin ×sin ＝3，z＝2×cos ＝0， ∴直角坐標(biāo)為(0,3,0)．故選B. 【答案】　B

13、 4．設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,1，)，則點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為________，球坐標(biāo)為________． 【解析】　由坐標(biāo)變換公式，可得ρ＝＝，tan θ＝＝1，θ＝(點(diǎn)(1,1)在平面xOy的第一象限)， r＝＝＝2. 由rcos φ＝z＝， 得cos φ＝＝，φ＝. ∴點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(，，)，球坐標(biāo)為(2，，)． 【答案】　(，，)　(2，，) (時(shí)間40分鐘，滿分60分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，下列柱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在平面yOz內(nèi)的是(　　) A．(1，，2)　　　　　B．(2，，0) C．(3，，) D．(3，，) 【解析】　

14、由P(ρ，θ，z)，當(dāng)θ＝時(shí)，點(diǎn)P在平面yOz內(nèi)． 【答案】　A 2．設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(2,0,2)，則點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(　　) A．(2,0,2) B．(2，π，2) C．(，0,2) D．(，π，2) 【解析】　設(shè)點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(ρ，θ，z)， ∴ρ＝＝2，tan θ＝＝0， ∴θ＝0，z＝2. ∴點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(2,0,2)． 【答案】　A 3．在空間球坐標(biāo)系中，方程r＝2(0≤φ≤，0≤θ＜2π)表示(　　) A．圓 B．半圓 C．球面 D．半球面 【解析】　設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的球坐標(biāo)為(r，φ，θ)，由于r＝2，0≤φ≤，0≤θ＜2π.動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是球心在點(diǎn)O

15、，半徑為2的上半球面． 【答案】　D 4．已知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(0,0,1)，則點(diǎn)M的球坐標(biāo)可以是(　　) A．(1,0,0) B．(0,1,0) C．(0,0,1) D．(1，π，0) 【解析】　設(shè)M的球坐標(biāo)為(r，φ，θ)， 則r＝＝1，θ＝0， 又cos φ＝＝1，∴φ＝0. 故點(diǎn)M的球坐標(biāo)為(1,0,0)． 【答案】　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．已知點(diǎn)M的球坐標(biāo)為(4，，)，則點(diǎn)M到Oz軸的距離為________． 【解析】　設(shè)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)， 則由(r，φ，θ)＝(4，，π)， 知x＝4sincosπ＝－2， y＝4si

16、nsinπ＝2， z＝rcos φ＝4cos＝2. ∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(－2,2,2)． 故點(diǎn)M到OZ軸的距離＝2. 【答案】　2 6．已知點(diǎn)M的球坐標(biāo)為(4，，)，則它的直角坐標(biāo)是________，它的柱坐標(biāo)是________． 【解析】　設(shè)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，柱坐標(biāo)為(ρ，θ，z)． 則x＝rsin φcos θ＝4×sin ×cos ＝－2， y＝rsin φsin θ＝4×sin ×sin ＝2， z＝rcos φ＝4×cos ＝2. ∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(－2,2,2)． 又解之得ρ＝2，θ＝，z＝2. ∴點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(2，，2)． 【答案】　(－

17、2,2,2)　(2，，2) 三、解答題(每小題10分，共30分) 7．已知點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為(，，5)，點(diǎn)B的球坐標(biāo)為(，，)，求這兩個(gè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)． 【解】　設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x，y，z)， 則x＝cos ＝×＝1， y＝sin ＝1，z＝5. 設(shè)點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為(x，y，z)， 則x＝sin cos ＝××＝， y＝sin sin ＝××＝， z＝cos ＝×＝. 所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,1,5)，點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為(，，)． 8．在柱坐標(biāo)系中，求滿足的動(dòng)點(diǎn)M(ρ，θ，z)圍成的幾何體的體積． 【解】　根據(jù)柱坐標(biāo)系與點(diǎn)的柱坐標(biāo)的意義可知，滿足ρ＝1,0≤θ<2π，

18、0≤z≤2的動(dòng)點(diǎn)M(ρ，θ，z)的軌跡如圖所示，是以直線Oz為軸，軸截面為正方形的圓柱．圓柱的底面半徑r＝1，h＝2， ∴V＝Sh＝πr2h＝2π. 9．經(jīng)過若干個(gè)固定和流動(dòng)的地面遙感觀測(cè)站監(jiān)測(cè)，并通過數(shù)據(jù)匯總，計(jì)算出一個(gè)航天器在某一時(shí)刻的位置，離地面2 384千米，地球半徑為6 371千米，此時(shí)經(jīng)度為80°，緯度為75°.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，確定出此時(shí)航天器點(diǎn)P的坐標(biāo)． 【解】　在赤道平面上，選取地球球心為極點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)且與零子午線相交的射線Ox為極軸，建立球坐標(biāo)系．由已知航天器位于經(jīng)度為80°，可知θ＝80°＝π. 由航天器位于緯度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°＝，由航天器離地面2 384千米，地球半徑為6 371千米，可知r＝2 384＋6 371＝8 755千米．所以點(diǎn)P的球坐標(biāo)為(8 755，，)． 教師備選 10．已知在球坐標(biāo)系Oxyz中，M(6，，)，N(6，，)，求|MN|. 【解】　法一　由題意知， |OM|＝|ON|＝6，∠MON＝， ∴△MON為等邊三角形，∴|MN|＝6. 法二　設(shè)M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x，y，z) 則 故點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(，，3)， 同理得點(diǎn)N的直角坐標(biāo)為(，，－3)， ∴|MN|＝ ＝＝6. 最新精品語文資料