《高考數(shù)學(xué)二輪課時(shí)作業(yè):層級(jí)二 專題三 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 Word版含解析》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)二輪課時(shí)作業(yè):層級(jí)二 專題三 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 Word版含解析(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
層級(jí)二 專題三 第2講
限時(shí)50分鐘 滿分76分
一、選擇題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
1.(2020·重慶七校聯(lián)考)若數(shù)列{an}滿足-=0,則稱{an}為“夢(mèng)想數(shù)列”.已知正項(xiàng)數(shù)列為“夢(mèng)想數(shù)列”,且b1+b2+b3=1,則b6+b7+b8=( )
A.4 B.16 C.32 D.64
解析:C [由-=0可得an+1=an,故{an}是公比為的等比數(shù)列,故是公比為的等比數(shù)列,則{bn}是公比為2的等比數(shù)列,b6+b7+b8=(b1+b2+b3)×25=32,故選C.]
2.(2020·江西省五校協(xié)作
2、體考試)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若an+Sn=2n,2bn=2an+2-an+1,則++…+=( )
A. B. C. D.
解析:D [因?yàn)閍n+Sn=2n?、伲詀n+1+Sn+1=2n+1?、冢冢俚?an+1-an=2n,所以2an+2-an+1=2n+1.又2bn=2an+2-an+1=2n+1,所以bn=n+1,==-,則++…+=1-+-+…+-=1-=,故選D.]
3.(2020·廣東省六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=(2n-1)·3n.設(shè)b
3、n=,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,若Sn<λ(λ為常數(shù),n∈N*),則λ的最小值是( )
A. B. C. D.
解析:C [a1+2a2+3a3+…+nan=(2n-1)·3n,①
當(dāng)n≥2時(shí),a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(2n-3)·3n-1,②
①-②得,nan=4n·3n-1(n≥2),即an=4·3n-1(n≥2).當(dāng)n=1時(shí),a1=3≠4,所以an=
bn=
所以Sn=+++…+=++++…+,③ Sn=++++…++,④
③-④得,Sn=++++…+
4、-=+-,
所以Sn=-<,所以易知λ的最小值是,故選C.]
4.(2019·青島三模)已知f(n)表示正整數(shù)n的所有因數(shù)中最大的奇數(shù),例如:12的因數(shù)有1,2,3,4,6,12,則f(12)=3;21的因數(shù)有1,3,7,21,則f(21)=21,那么∑100,i=51f(i)的值為( )
A.2 488 B.2 495 C.2 498 D.2 500
解析:D [由f(n)的定義知f(n)=f(2n),且若n為奇數(shù)則f(n)=n,
則∑100,i=1f(i)=f(1)+f(2)+…+f(100)
=1+3+5+
5、…+99+f(2)+f(4)+…+f(100)
=+f(1)+f(2)+…+f(50)
=2 500+∑50,i=1f(i),
∴∑100,i=51f(i)=∑100,i=1f(i)-∑50,i=1f(i)=2 500.]
5.(2019·深圳二模)已知數(shù)列{an}滿足2a1+22a2+…+2nan=n(n∈N*),數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,則S1·S2·S3·…·S10=( )
A. B. C. D.
解析:C [∵2a1+22a2+…+2nan=n(n∈N*),∴2a1+22a2+…
6、+2n-1an-1=n-1(n≥2),∴2nan=1(n≥2),當(dāng)n=1時(shí)也滿足,故an=,故===-,Sn=1-+-+…+-=1-=,∴S1·S2·S3·…·S10=×××…××=,選C.]
6.(2019·濰坊三模)已知等差數(shù)列{an}中公差d≠0,a1=1,a1,a2,a5成等比數(shù)列,且a1,a2,ak1,ak2,…,akn成等比數(shù)列,若對(duì)任意的n∈N*,恒有≤(m∈N*),則m=( )
A.0 B.1 C.2 D.1或2
解析:D [由已知可得,a=a1·a5,即(1+d)2=1·(1+4d),又d≠
7、0,解得d=2,所以an=2n-1.因?yàn)閍1,a2,ak1,ak2,…,akn成等比數(shù)列,所以2kn-1=3n+1.令bn==,設(shè)數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)為bl,故滿足解得1≤l≤2,即數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)為b1,b2,所以m=1或2.]
二、填空題(本大題共2小題,每小題5分,共10分)
7.(2019·昆明三模)已知數(shù)列{an}中,a1=a2=1,an+2=則數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為_(kāi)_______.
解析:由題意可知,數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,數(shù)列{a2n-1}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,故數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為+10×1+×2=1 123.
答案:
8、1 123
8.(2019·山師附中質(zhì)檢)將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多1項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)陣:
a1
a2,a3
a4,a5,a6
a7,a8,a9,a10
……
記數(shù)陣中的第1列數(shù)a1,a2,a4,…,構(gòu)成的數(shù)列為{bn},Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,若Sn=2bn-1,則a56=________.
解析:當(dāng)n≥2時(shí),∵Sn=2bn-1,∴Sn-1=2bn-1-1,∴bn=2bn-2bn-1,∴bn=2bn-1(n≥2且n∈N*),∵b1=2b1-1,∴b1=1,∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,∴bn=2n-1.
設(shè)a1,a2,a4,a7,a1
9、1,…的下標(biāo)1,2,4,7,11,…構(gòu)成數(shù)列{cn},則c2-c1=1,c3-c2=2,c4-c3=3,c5-c4=4,…,cn-cn-1=n-1,累加得,cn-c1=1+2+3+4+…+(n-1),∴cn=+1,由cn=+1=56,得n=11,∴a56=b11=210=1 024.
答案:1 024
三、解答題(本大題共3小題,每小題12分,共36分)
9.(2020·鄭州三測(cè))已知數(shù)列{an}滿足a1=1,2an·an+1+an+1-an=0,數(shù)列{bn}滿足bn=.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,問(wèn):是否存在n,使得Sn的值是?
解析
10、:(1)因?yàn)?an·an+1+an+1-an=0,
所以an+1=,
-=-=2,
由等差數(shù)列的定義可得是首項(xiàng)為=1,公差為d=2的等差數(shù)列.
故=1+2(n-1)=2n-1,所以an=.
(2)由(1)得bn=,
所以Sn=++…+,
兩邊同乘以得,Sn=++…+,
兩式相減得Sn=+2-,
即Sn=+2×-=--,
所以Sn=3-.
因?yàn)镾n+1-Sn=-=>0,所以數(shù)列{Sn}是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的遞增數(shù)列,所以Sn≥S1=,因?yàn)椋?,所以不存在n,使得Sn=.
10.(2019·武漢二模)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an=()bn(n∈N*).若{an}為
11、等比數(shù)列,且a1=2,b3=6+b2.
(1)求an與bn;
(2)設(shè)cn=-(n∈N*).記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn.
①求Sn;
②求正整數(shù)k,使得對(duì)任意n∈N*均有Sk≥Sn.
解析:(1)由題意a1a2a3…an=()bn,b3-b2=6,知a3=()b3-b2=8.
又由a1=2,得公比q=2(q=-2舍去),
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=2n(n∈N*).
所以,a1a2a3…an=2=()n(n+1).
故數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=n(n+1)(n∈N*).
(2)①由(1)知cn=-=-(n∈N*),
所以Sn=-(n∈N*).
②因?yàn)閏1=0,c
12、2>0,c3>0,c4>0;
當(dāng)n≥5時(shí),
cn=,
而-=>0,
即數(shù)列當(dāng)n≥5時(shí)是遞減的.
所以≤<1,
所以,當(dāng)n≥5時(shí),cn<0.
綜上,對(duì)任意n∈N*,恒有S4≥Sn,故k=4.
11.(文)(2020·浙江三地市聯(lián)考)已知數(shù)列{bn}滿足3(n+1)bn=nbn+1,且b1=3.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)已知=,求證:≤++…+<1.
解析:(1)因?yàn)?(n+1)bn=nbn+1,所以=.
則=3×,=3×,=3×,…,
=3×,
累乘,可得=3n-1×n,因?yàn)閎1=3,所以bn=n·3n,
即數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=n·3n.
13、(2)證明:因?yàn)椋?,所以an=·3n.
因?yàn)椋健?
=·=·
=·-·,
所以++…+=++…+
=1-·.
因?yàn)閚∈N*,所以0<·≤,
所以≤1-·<1,
所以≤++…+<1.
11.(理)(2019·江蘇卷)定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”.
(1)已知等比數(shù)列{an}(n∈N*)滿足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求證:數(shù)列{an}為“M數(shù)列”;
(2)已知數(shù)列{bn}(n∈N*)滿足:b1=1,=-,其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
②設(shè)m為正整數(shù),若存在“M數(shù)列”{cn}(n∈N*),對(duì)任意正整
14、數(shù)k,當(dāng)k≤m時(shí),都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的最大值.
解:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,所以a1≠0,
q≠0.
由得解得
因此數(shù)列{an}為“M數(shù)列”.
(2)①因?yàn)椋剑?,所以bn≠0.
由b1=1,S1=b1,得=-,則b2=2.
由=-,得Sn=,
當(dāng)n≥2時(shí),由bn=Sn-Sn-1,
得bn=-,
整理得bn+1+bn-1=2bn.
所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.
因此,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n(n∈N*).
②由①知,bk=k,k∈N*.
因?yàn)閿?shù)列{cn}為“M數(shù)列”,設(shè)公比為q,所以c1=1,
q>0.
因
15、為ck≤bk≤ck+1,所以qk-1≤k≤qk,其中k=1,2,3,…,m.
當(dāng)k=1時(shí),有q≥1;
當(dāng)k=2,3,…,m時(shí),有≤ln q≤.
設(shè)f(x)=(x>1),則f′(x)=.
令f′(x)=0,得x=e.列表如下:
x
(1,e)
e
(e,+∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
極大值
因?yàn)椋剑迹?,所以f(k)max=f(3)=.
取q=,當(dāng)k=1,2,3,4,5時(shí),≤ln q,即k≤qk,經(jīng)檢驗(yàn)知qk-1≤k也成立.因此所求m的最大值不小于5.
若m≥6,分別取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,從而q15≥243,且q15≤216,
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
綜上,所求m的最大值為5.