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1、第五章三角函數(shù) 5.1任意角和弧度制 5.1.1任意角 核心知識目標(biāo) 核心素養(yǎng)目標(biāo) 1. 結(jié)合實例，了解角的概念的推廣及其實際意義. 2. 理解象限角的概念，并掌握終邊相同角的含義及其表示. 1. 通過角的概念的推廣過程，經(jīng)歷由具體到抽象，重點(diǎn)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng). 2. 通過象限角及終邊相同角的應(yīng)用，加強(qiáng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 嬴知識探究-素養(yǎng)啟迪 ?知識探究 1.角的概念與加減運(yùn)算 ［問題1-1］當(dāng)鐘表慢了（或快了）一點(diǎn)時，我們會將分針按某個方向轉(zhuǎn)動，把時間調(diào)整準(zhǔn)確，在調(diào)整的過程中,分針轉(zhuǎn)動的方向是否相同？提示:不同，當(dāng)

2、鐘表慢了，要順時針轉(zhuǎn)動分針，當(dāng)鐘表快了，要逆時針轉(zhuǎn)動分針. ［問題1-2］在跳水比賽中，運(yùn)動員會做出“轉(zhuǎn)體兩周”“向前翻轉(zhuǎn)兩周半”等動作，做上述動作時,運(yùn)動員轉(zhuǎn)體多少度?轉(zhuǎn)過的度數(shù)還能用0°到360°的角表示嗎？ y 寸方法總結(jié) (1) 象限角的判定方法根據(jù)圖象判定.利用圖象實際操作時，依據(jù)是終邊相同的角的概念. ① 將角轉(zhuǎn)化到0°?360°范圍內(nèi)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，0°?360°范圍內(nèi)沒有兩個角終邊是相同的. (2) a,2Q,:等角的終邊位置的確定方法①不等式分類討論法： a. 利用象限角的概念或已知條件,寫出角a的范圍. b. 利用不等式的性質(zhì)，求出2。等角的范圍. C

3、.利用“旋轉(zhuǎn)”的觀點(diǎn)，確定角終邊的位置.例如，如果得到kX120?！搓噆X120。+30?？僧嫵??！搓?。。所表示的區(qū)域|, 33再將此區(qū)域依次逆肘針或順時針轉(zhuǎn)動120°(如圖所示).(注意由a 的范圍確定2a的范圍時不要忽視終邊在坐標(biāo)軸上的情況.) \\ y/ 9/ //// ②等分象限法： \\ X X 對于竺的范圍問題，可采用等分象限法，即把每個象限平均分成n份，n從第一象限X軸正半軸的上方起按逆時針循環(huán)標(biāo)注象限序號（如圖以 !為例），則標(biāo)注序號與a所在象限序號相同的區(qū)域即為C所在的區(qū)域. 3n 斌備用例題 ［例1］下列說法中，正確的是（填序號）.

4、 ① 終邊落在第一象限的角為銳角；銳角是第一象限角； ② 第二象限角為鈍角；始邊和終邊重合的角是零角； ③ 角a與-a的終邊關(guān)于x軸對稱. 解析:終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如400。的角是第一象限角，但不是銳角，故①的說法是錯誤的；同理第二象限角也不一定是鈍角，故③的說法也是錯誤的；360°角的始邊和終邊也重合，故④的說法是錯誤的. 答案:②⑤［例2］（1）已知角0的終邊與角a的終邊關(guān)于x軸對稱，則9+a ⑵若角Y的終邊與角a的終邊關(guān)于y軸對稱，則Y+a解析：⑴設(shè)角B與角a的終邊相同，貝【J-。與B關(guān)于x軸對稱，根據(jù)終邊相同角的表示，可得a=3+ki?360°,ki^Z,0

5、=-3+k2?360°,k2eZ,故0+q二(一B+k2,360°)+(8 +虹?360°)=(ki+k2)?360°=k?360°,keZ. ⑵設(shè)角B與角a的終邊相同，則180°-B與B關(guān)于y軸對稱，根據(jù)終邊相同角的表示，可得a=3+k3*360°,k3^Z,y=180°+k4?360°,k4ez. 故y+a=(180°-^+k4?360°)+(0+k3?360°)=[2(k3+k4)+l]?180°=(2k+l)?180°,kez. 答案：(l)k?360°,kez⑵(2k+l)?180°,keZ [例3]寫出與75°角終邊相同的角B的集合，并求在360°080°范圍內(nèi)與75°角

6、終邊相同的角. 解:與75°角終邊相同的角的集合為S二邙|"k?360°+75°,keZ). 當(dāng)360°WB〈1080°時，即360°Wk?360°+75°<1080°, 解2424 又kUZ,所以k=l或k=2. 當(dāng)k=l時，B=435°;當(dāng)k=2時，B=795°. 綜上所述，與75°角終邊相同且在360°W8<1080°范圍內(nèi)的角為435°角和795°角. ［例4］寫出終邊在直線y=-V3x上的角的集合. 解:終邊在y=-V3x(x<0)上的角的集合是Sf(a|ct=120°+ki?360°,kiEZ}; 終邊在y-V3x(xNO)上的角的集合是S2=(a|a=300°+

7、k2?360°,k2eZ}. 因此，終邊在直線y—V5x上的角的集合是S=SiUS2=(a|a=120°+k?360°,kUZ}U(a|a=300°+k2?360°,k2eZ}=(a|a =120°+2ki?180°,k］EZ}U{q|a=120°+(2k2+l)?180°,k2eZ}={a|a=120°+n-180°,n￡Z). 故終邊在直線y-V3x上的角的集合是S二{a|a=120°+n?180°,n^Z). :例5］已知，如圖所示. (1) 分別寫出終邊落在OA,OB位置上的角的集合；寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合. 解：(1)終邊落在OA位置上的角的集合為

8、{a|a=90°+45°+k?360°,k￡Z}={q|a二135°+k-360°,keZ),終邊落在OB位置上的角的集合為{q|q=-30°+k?360°,kez}. (2)由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于一3°°到135°之間的及與之終邊相同的角組成的集合，故可表示為M -30°+k?360°WaW135°+k?360°,k^Z}. ?課堂達(dá)標(biāo) 1. 若角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)M(0,-3),則角a(D)是第三象限角 (A) 是第四象限角(0既是第三象限角，又是第四象限角 (D)不是任何象限的角解析:因為點(diǎn)M(0,-3)在y軸負(fù)半軸上,所以角Q的終邊不在任何象限

9、.故選D. 2. (2020?吉林省實驗中學(xué)高一檢測)將-880°化為a+kX360°(0°Wa〈360°,k《Z)的形式是(D) (A) 160°+(-3)X36O0200°+(-2)X36O0 (0-160°+(-2)X3600(D)200°+(-3)X36O0 解析：-880°=200°+(-3)X3600，故選D. 3. 1112°角是第象限角. 解析：因為1112°二360°X3+32。，所以1112°角與32°角的終邊相同，均為第一象限角. 答案:一終邊在直線y=-x上的角的集合S=. 解析：由于直線y=-x是第二、四象限的角平分線，在0。?360°間所對應(yīng)的兩個角

10、分別是135°和315°,從而S二{a|a=k?360°+135°,keZ}U(a|a=k?360°+315°, k￡Z)={a|a=2k?180°+135°,keZ}U(a|a二(2k+l)?180°+135°,kez}=(a|qf?180°+135°,n￡Z}. 答案：{a|a=n?180°+135°,nWZ} 提示:因為運(yùn)動員轉(zhuǎn)體方向有順時針、逆時針的不同，因此運(yùn)動員“轉(zhuǎn)體兩周”的度數(shù)可以是順時針旋轉(zhuǎn)720°或逆時針旋轉(zhuǎn)720°,“向前翻轉(zhuǎn)兩周半”可以是順時針旋轉(zhuǎn)900°或逆時針旋轉(zhuǎn)900°.顯然這些角都不在0°到360°之間，不能用0。到360°的角表示. 梳理1角的概念與加減

11、運(yùn)算 ⑴角的概念 ①角的概念:角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形. ②角的分類:按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類: 名稱 定義 圖形 正角 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 負(fù)角 按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角 一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角 O^A(B] ③相等角：把角的概念推廣到了任意角(anyangle),包括正角、負(fù)角和雯魚.設(shè)角Q由射線OA繞端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)而成角B由射線(TA，繞端點(diǎn)0'旋轉(zhuǎn)而成.如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等,那么就稱a 二B. ④相反角：射線繞其端點(diǎn)按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角互為相反角. (2)角的加減法運(yùn)算 ①設(shè)

12、。B是任意兩個角.我們規(guī)定，把角a的終邊旋轉(zhuǎn)角B,這時終邊所對應(yīng)的角是Q+B. ②引入正角、負(fù)角的概念以后，角的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為角的加法運(yùn)算，即a-8可以化為a+(").這就是說，各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和. 2. 象限角與終邊相同的角［問題2-1］角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合， 如何借助象限來定義角？ 提示:角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角：分別為第一象限角、第二象限角、第三象限角和第四象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限. ［問題2-2］終邊落在射線y=x(x30)上的角有多少個?它們之間具有怎么樣的關(guān)系？ 提

13、示:無數(shù)個，它們相差360°的整數(shù)倍. 梳理2象限角與終邊相同的角象限角 角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限,就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限. (1) 終邊相同的角所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S={B|B=a+k-360°,k￡Z},即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和. ?小試身手 1. 角~120°的終邊所在象限是(C)第一象限(B)第二象限 (B) 第三象限(D)第四象限解析：因為-120°=-360°+240°, 又因為角2

14、40°終邊在第三象限，所以角T20°的終邊在第三象限. 故選C. 2. 與-60°角的終邊相同的角是(A)(A)300°(B)240° (0120°(D)60°解析：因為-60°二-360°+300°,所以與-60°角的終邊相同的角是300°.故選A. 3. 射線0A繞端點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)120。到達(dá)0B位置，由0B位置順時針旋轉(zhuǎn)270°到達(dá)0C位置，則ZA0C等于. 解析:各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和?所以120°+(-270°)二-150°. 答案：-150°12點(diǎn)過:小時的時候，時鐘分針與時針的夾角是 4解析:時鐘上每個大刻度為30°,12點(diǎn)過:小時，分針轉(zhuǎn)過-90°,時針

15、 4轉(zhuǎn)過-7.5°，故時針與分針的夾角為82.5°. 答案:82.5°贏課堂探究-素養(yǎng)培育 三Q探究點(diǎn)一角的概念辨析［例1］下列命題正確的是() (A) 第一象限的角一定不是負(fù)角小于90°的角一定是銳角 (B) 鈍角一定是第二象限的角終邊相同的角一定相等 解析：-300°是第一象限角，且是負(fù)角，故選項A錯;-45°<90°,但-45°不是銳角，故選項B錯;鈍角的集合是｛Q|90°