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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 第七章 輪廓表示 把邊緣連接起來就成為輪廓(contour)．輪廓可以是斷開的，也可以是封閉的．封閉輪廓對應于區(qū)域的邊界，而區(qū)域內(nèi)的像素可以通過填充算法來填滿．斷開的輪廓可能是區(qū)域邊界的一部分，也可能是圖像線條特征，如手寫體筆畫、圖畫中的線條等．區(qū)域之間的對比度太弱或邊緣檢測閾值設(shè)置太高都有可能產(chǎn)生間斷的輪廓． 　　輪廓可以用邊緣序列表或曲線來表示．曲線通常稱為輪廓的數(shù)學模型．曲線表示包括線段、二次曲線、三次樣條曲線等．下面是幾種輪廓表示的評價標準： 　　高效：輪廓應該是一種簡單和緊湊的表示． 　　精確：輪廓應能精確地逼近圖像特征． 　　

2、有效：輪廓應適合于后處理階段的計算． 　　輪廓表示的精確性由以下三個方面因素決定：① 用于輪廓建模的曲線形式；② 曲線擬合算法的性能；③ 邊緣位置估計的精確度．輪廓的最簡單表示形式是邊緣有序表．這種表示的精確度就是邊緣估計的精確度，但其表示的緊湊性是最差的，因此不是一種有效的后續(xù)圖像分析表示方法．用適當?shù)那€模型來擬合邊緣會提高精確度，這是因為曲線模型擬合邊緣時往往具有均值化效應，因而可以減少邊緣位置誤差．曲線模型也會提高輪廓表示的經(jīng)濟性，為后處理提供了一種更適合、更緊湊的表示，例如，一條直線上的邊緣集用一直線來擬合是表示這些邊緣的最簡單和最有效的方法，這一表示也簡化了后續(xù)處理（如確定線的長

3、度和方向）；另外，由于估計直線與真實直線的均值方差小于真實直線與任何其它邊緣之間的均值方差，因此可以說這種表示也增加了精確度． 輪廓曲線擬合通常采用內(nèi)插曲線或逼近曲線來實現(xiàn)．已知一組稱為控制點的坐標點，內(nèi)插是指一條曲線擬合這組控制點，使得曲線通過所有的控制點；逼近是指一條曲線擬合這組這組控制點，使得這條曲線非常接近這些控制點而無需一定通過這些點．在下面幾節(jié)中，假定由邊緣檢測器得到的邊緣十分準確，并使用內(nèi)插值方法進行邊緣曲線擬合． 　　定義7．1 邊緣表是邊緣點或邊緣段的有序集合． 　　定義7．2 輪廓是邊緣表或用于表示邊緣表的曲線． 　　定義7．3 邊界是包圍一個區(qū)域的封閉輪廓

4、． 　　在無特別說明的情況下，邊緣通常是指邊緣點．對大多數(shù)曲線擬合算法來說，只需要邊緣的位置信息。在很少的幾種情況下，即需要邊緣位置信息，也需要方向角信息，此時的邊緣是指邊緣段． 　　平面曲線函數(shù)可以表示為三種形式：顯式, 隱式，或參數(shù)式, 其中是某一參數(shù)．函數(shù)的顯式表示很少用在機器視覺中，主要原因是平面上的曲線可能卷曲，使得一個值可能對應曲線上多個值． 7．1 數(shù)字曲線及其表示 　　本節(jié)將討論一組計算曲線幾何元素的算法，幾何元素包括輪廓長度、正切方向角和曲率等．由于鄰接像素之間的量化增量是，因此，精確計算斜率和曲率是很困難的． 　　估計正切方向角的基本思路是使用邊緣表中非鄰接的邊緣

5、點，這就允許存在一個較大的可能正切方向角集合．設(shè)是邊緣表中第個邊緣坐標．斜率是在邊緣表相距個邊緣點的兩個邊緣點之間的方向向量．左斜率是指向的方向，右斜率是指向方向．曲率是左右斜率之差值． 　　假定在邊緣表中有個邊緣．數(shù)字曲線的長度可以近似為像素之間的線段和： (7．1) 輪廓端點之間的距離為： 　 (7．2) 7．1．1 鏈碼 　　鏈碼是沿著輪廓記錄邊緣表的一種表示方法．鏈碼規(guī)定了邊緣表中每一個邊緣點所對應的輪廓方向，其中的輪廓方向被量化為４－鄰接鏈碼或８－鄰接鏈碼中的一個，如圖7．1所示．圖7．2 所

6、示的是一條曲線及其８－鄰接鏈碼的表示，8－鄰接鏈碼從邊緣表中第一個邊緣開始，沿著輪廓按逆時針方向行走，行走方向用八鏈碼中的一個表示． 　　　　　　　 ?。╝）　 　　　 　　 　 （b）　 圖7．1 連接邊緣點方向的鏈碼示意圖，（a）４－鄰接鏈碼，(b) 8－鄰接鏈碼 　　鏈碼有一些很特殊的的性質(zhì)．一個物體很容易實現(xiàn)角旋轉(zhuǎn)．如果一個物體旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的物體鏈碼可由原鏈碼加上倍的模8得到．鏈碼的微分，也稱差分碼，可由原碼的一階差分求得．鏈碼差分是關(guān)于旋轉(zhuǎn)不變的邊界描述方法．比如， 　　圖７．２曲線的鏈碼是： 　　　　　　其差分鏈碼是： 2011

7、1 圖７．３是圖７．２曲線逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的， 　　　　曲線的鏈碼是：11234 　　　　 　其差分鏈碼是： 0111 由此可見，一條曲線旋轉(zhuǎn)到不同的位置將對應不同的的鏈碼，但其差分鏈碼不變，即差分鏈碼關(guān)于曲線旋轉(zhuǎn)是不變的． 區(qū)域的一些其它性質(zhì)，如面積和角點，也可以由鏈碼直接求得．這種表示的局限性是表示某一點正切方向的集合是有限的（４－鄰接鏈碼有4個，8－鄰接鏈碼有8個），這一局限性可以通過下面幾節(jié)介紹的曲線表示方法來克服． 圖7．2 一條曲線及其８－鄰接鏈碼表示 圖7．３ 一條曲線及其８－鄰接鏈碼表示 7．1．2 斜率表示法 　　用任意

8、的正切方向來表示輪廓可以克服鏈碼的只能用有限個正切方向來表示輪廓的局限性．假定從邊緣表開始，使用上面給出的公式計算正切和弧長，可以畫出正切同弧長的關(guān)系圖，稱作圖．圖是輪廓形狀在空間的表示，是一種輪廓形狀的緊湊描述．圖７．４所示的是包含有直線段和圓弧段的輪廓在空間中的表示，它是一個直線段序列．對于封閉輪廓，圖是一個周期曲線．在圖中，水平方向的直線段對應輪廓中的直線段，這是由于直線段對應的斜率是恒定值。其它方向的直線段對應圓弧段，非直線段部分對應曲線基元． 如果把圖分割成直線段，也就把輪廓分割成直線段和圓弧段．許多研究人員采用這一方法來分割輪廓，由此產(chǎn)生了輪廓分段方法的多種形式．

9、圖7．4 輪廓的斜率表示 7．2曲線擬合 本章將討論三種常用的曲線模型擬合邊緣點的方法：直線段(Line Segment)，圓錐曲線段(Conic Section)和三次樣條曲線段(Cubic Spline)．一般來說，在用曲線模型擬合邊緣點之前應考慮如下兩個問題： 1. 用什么方法進行邊緣點的曲線模型擬合？ 2. 如何測量擬合的逼近程度？ 下面幾節(jié)將討論曲線模型擬合邊緣點方法，其中假設(shè)邊緣位置足夠精確，不會對擬合結(jié)果產(chǎn)生影響． 設(shè)是邊緣點到一條擬合曲線的距離，該距離值有正負符號，在曲線同一側(cè)的邊緣具有相同的正符號或負符號．目前有許多種測量曲線與候選邊緣點

10、的擬合效果方法，每一種都取決于擬合曲線和候選點之間的誤差．下面是一些常用的方法． (1) 最大絕對誤差 測量最壞情況下邊緣點偏離曲線的距離： (7．3) (2) 均方差 給出邊緣點偏離擬合曲線的總的測度： (7．4) (3) 最大規(guī)范（normal）誤差 最大絕對誤差與曲線長度之比： (7．5) (4) 誤差符號變化次數(shù) 這里的誤差就是指，即邊緣點偏離擬合曲線的距離。誤差符號變化次數(shù)可用來表示輪廓邊緣模

11、型的曲線適合程度的測度． (5) 曲線長度與端點距離之比 曲線復雜程度的測度． 符號變化是一種評價擬合好壞的很有用的參數(shù)．比如，用直線段逼近邊緣表，并檢測符號變化數(shù)．如果符號變化一次，則說明邊緣點可以由直線段來逼近；符號變化兩次，說明邊緣可以由二次曲線逼近；符號變化三次，說明邊緣模型是三次曲線，依此類推．如果符號變化數(shù)量很大，則意味著曲線復雜度增加一點將不能顯著地改善擬合效果．一種好的擬合所對應的符號變化具有隨機模式．相同符號連續(xù)出現(xiàn)多次說明存在擬合系統(tǒng)誤差，這種誤差可能是由于錯誤的曲線模型引起的． 曲線擬合模型的選擇取決于應用場合．如果場景是由直線段組成，則使

12、用直線段（或多線段）模型比較合適．直線段模型也可作為其它擬合模型的初始擬合模型．圓弧段是估計曲率的最有用的一種表示，因為曲線可以分割成具有分段恒定曲率線段．圓錐曲線段是一種表示直線段和圓弧段序列以及橢圓和高次弧段序列的有效方法．三次樣條曲線適合于平滑曲線模型，因為三次樣條曲線并不要求正切向量和曲率的估計值一定是分段恒定的． 7．2．1 多直線段 　　多直線段是指端點連結(jié)端點的直線段序列，直線段序列的連接點稱為頂點．多直線段適合具有線段序列的邊緣列表的擬合．多線段算法的輸入值是邊緣點有序表．邊緣點坐標可以計算到子像素精度．由于線段的兩個端點對應兩個邊緣點，即線段擬合在這兩個邊緣點之間進行，因

13、此僅需要精確計算對應端點的兩個邊緣點的坐標． 擬合邊緣表并把第一和最后一個邊緣點和連接起來的直線線公式如下： (7．6) 上式可以改寫為由端點表示的隱式函數(shù)： 　　　　　　　 (7．7) 其中，　　　　　　 　　　　　　　　 而是邊緣點和之間的距離． 　　任意一點，設(shè)，則的符號可以用來計算符號變化次數(shù)C．點與上述直線段的距離為： 　　　　 (7．8) 最大規(guī)范誤差為： (7．9) 最大規(guī)范誤差常常作為線段擬合邊緣列表好壞的量度．需

14、要指出的是上面的公式都是在點向直線段的垂直投影落在線段內(nèi)這個假設(shè)下進行的．對于其它情況，則應修正公式，以便計算點到最近的線段端點的距離．下面介紹兩種擬合多線段的方法：自頂而下的分裂和自底而上的合并． (1) 多直線段分裂 自頂而下的分裂算法(top-down splitting)是將整條曲線作為初始曲線，通過反復增加頂點數(shù)來進行直線段擬合曲線．考慮圖7．5所示的邊緣點曲線（可以認為是由離散邊緣點構(gòu)成），將第一個和最后一個邊緣點連成的直線作為曲線的初始擬合，用AB標記．在邊緣表中計算最大規(guī)范誤差，如果該誤差值高于某一閾值，則在離直線段最遠的邊緣點上設(shè)置一個頂點，用C來標記．這樣

15、，將形成兩個擬合直線段AC和CB，邊緣表也分割成對應于兩個新直線段的兩個子邊緣表．在每一個子邊緣表中，重復上面所述的分裂算法，形成兩個新的直線段及對應的兩個更小的子邊緣表．這樣的分裂過程可以一直進行下去，直到所有的直線段對應的最大規(guī)范誤差均低于某一閾值為止．多線段分裂也稱為迭代分解． (2) 線段合并 　　線段合并(merging)是指用一條直線段盡量多地擬合邊緣表中的邊緣點．當邊緣點離直線段太遠而無法用該直線段擬合時，則開始新的直線段擬合．合并方法也稱為自底而上(bottom-up merging)的多線段擬合方法． 確定邊緣點離直線段的距離有許多種方法．一種方法是使用

16、序貫最小二乘法，完成直線段到邊緣點的最小二乘法擬合，并在每次處理新的邊緣點時遞增地更新線段參數(shù)．擬合算法將計算直線段模型和邊緣點之間的殘差平方．當誤差超過某一閾值時，引進一個頂點，并將上一個線段的端點作為新的起點開始新的直線段擬合． 　　誤差帶算法是另一種確定頂點位置的方法，如圖7．6所示，主要工作是計算兩條離中心線距離為且平行于擬合邊緣點的直線段．值表示離有差擬合直線的絕對偏離值．只要新的邊緣在誤差帶內(nèi)，就把這些邊緣增加到當前線段內(nèi)．當新的邊緣增加到線段內(nèi)時，線段的參數(shù)要重新計算．逼近直線段沒有與誤差帶邊保持平行．位于線段端點的頂點是下一線段的起點．這一方法常常產(chǎn)生大量的線段．由于算法須行

17、進到邊緣直到誤差帶表示的邊界才產(chǎn)生角點，因此，不能精確估計角點位置和角度． 圖7．5 多直線段分裂方法 圖 7．6 擬合直線段的誤差帶方法圖 (3) 分裂和合并 　　自頂而下的迭代分解方法和自底而上的合并方法組合起來，形成合并和分裂算法．單獨使用分裂或合并算法時，成功率往往不是很高，改進的方法是交叉使用分裂和合并算法．分解過程以后，如果新的線段以很小的規(guī)范誤差擬合邊緣，則允許用單一直線段代替鄰接線段．請注意，由于多直線段總是比單直線段的擬合誤差小，因此很有必要使用規(guī)范誤差．在線段合并后，新的線段可能在不同點處分裂．這樣，分裂和合并交替作用直到?jīng)]有線段被

18、合并和分裂為止．圖7．7所示的是先分裂后合并來修補壞頂點位置的示意圖． 　　一種有效的分裂和合并算法是從邊緣表中的前k個邊緣構(gòu)成的子列表開始，而不是整個邊緣列表．用直線段擬合子表中第一和最后一個邊緣點之間的邊緣點．如果最大規(guī)范誤差太大，則將子列表縮到最大誤差對應的邊緣點處，這樣一直進行下去，就可以得到第一條擬合直線段，這實際上是分裂算法．置當前擬合的直線段為舊線段，再在剩下的邊緣點集中取前k個邊緣構(gòu)成新子列表，用分裂算法求取第二條擬合直線段．比較當前直線段和原直線段的方向，如果它們具有相似的方向，則將這兩條直線段合并，這是合并算法． 　　實際的輪廓曲線并不全是由直線段組成，可能還包含有各種

19、弧線或自由曲線．因此，僅使用直線段擬合比較粗糙，自然人們想到了用弧線段逼近．通常的弧線有二次／三次或更高次的曲線，這些都稱為多項式曲線．下面我們主要討論二次曲線和三次樣條曲線． 圖7．7 (a)　原始邊緣點集．(b)自底而上的邊緣合并方法產(chǎn)生的壞角點估計． (c) 漏掉的真實角點位置由分裂和合并過程來修補 7．2．2　圓錐曲線 　　下面討論如何用圓錐曲線逼近邊緣表．圓錐曲線的一般表示如下： (7．10) 圓錐曲線也稱二次曲線，因為二次曲線都是用平面切割正圓錐面的截線，如圖7．8所示．若平面不通過錐頂，且不平行任一母線，則截線為橢圓，其中圓是橢圓

20、的一種特殊情況，此時的平面垂直于錐軸；若平面不通過錐頂?shù)叫杏谝粭l母線時，截線為拋物線；若平面不通過錐頂，且平行于錐軸，截線為雙曲線．當平面通過通過錐頂時，橢圓變?yōu)橐稽c，雙曲線變?yōu)橐粚ο嘟坏闹本€，拋物線變?yōu)榕c圓錐相切的一條直線．由此可見，使用二次曲線來逼近數(shù)字輪廓曲線，可以有效地擬合數(shù)字曲線中的直線和圓弧等各種二次曲線．由于二次曲線中除了特殊的直線外，最簡單的情況時圓弧，因而得到了大量的研究．我們將單獨討論圓弧逼近方法． 圖7．8 圓錐和平面定義的圓錐曲線 (1) 圓弧段 用直線段逼近邊緣表以后，其中的一些直線段序列可以由圓弧段來代替，比如，用直線段擬合一個

21、圓弧是可能需要許多個直線段才能滿足擬合誤差．如果將這些直線段用用圓弧段來擬合，則僅需要一條圓弧段即可．因此可見，圓弧段擬合是在多邊形的頂點上進行的． 具有半徑r和圓心坐標的圓弧隱式方程為： （7．11） 考慮三點，，，不失一般性，設(shè)位于坐標原點，即．把點，，代入上述方程： 　　　　　　　　?。? ．12） 分別用第二和第三方程減去第一方程，得到如下兩個方程： 　 　 （7．13） 這是兩個關(guān)于未知參數(shù)的非線性方程，求解,即可由（7．12）的第一個式子得到園的半徑. 為了計算圓弧擬合誤差，將點Q到圓的距離定義為沿著通過園心

22、直線方向點Q與圓的距離．計算點到園中心的距離: (7．14) 點Q到圓弧段的距離是 (7．15) 用圓弧段擬合多直線段時，圓弧段的兩個端點要經(jīng)過多直線段的某兩個頂點，第三個點位于這兩個頂點之間。選擇第三個點時可能有如下幾種情況： １． 選用距離連接這兩個頂點直線最遠的多直線段頂點． ２． 選用距離連接這兩個頂點直線最遠的邊緣點． 　?。常x用這兩個頂點之間所有頂點的中點． 　?。矗x用這兩個頂點之間所有邊緣的中點 　　計算所有邊緣點和圓弧段之間的距離誤差，計算最大絕對誤差和符號變化次數(shù)

23、．如果最大規(guī)范誤差低于某一閾值，而符號變化次數(shù)很大，則接受這一圓弧段；否則，保留多線段逼近．關(guān)于圓弧段逼近的文獻很多，感興趣的讀者可以參見文獻[]。 用直線段和圓弧段可以有效地表示數(shù)字輪廓曲線，但是用兩種不同的線段基元表示輪廓會造成不便．下一節(jié)我們將討論圓錐曲線，圓錐曲線允許直線段、圓弧段、和其它基元共同出現(xiàn)在同一種表示中．圓錐曲線段表示也提供了曲線之間平滑過渡的方法，也是角點的顯式表示． (2) 圓錐曲線 　　圓錐曲線可以擬合輪廓多直線段上的三個頂點．將圓錐曲線段連接在一起的點稱為結(jié)點．圓錐樣條曲線是圓錐曲線的一個序列，它們的端點和端點連接在一起，在結(jié)點處具有相等的正

24、切，以便使兩個鄰接曲線段之間平滑過渡．設(shè)多直線段端點為．圓錐逼近如圖7．9所示． 圖7．9 由三點定義的圓錐曲線逼近 圖7．10 由兩個端點、三頂點構(gòu)成的正切和第三點定義的圓錐曲線 圓錐樣條中的每一個圓錐曲線由兩個端點、兩個正切和第三點確定．結(jié)點位于多線段頂點之間： (7．16) 其中取0和1之間的數(shù)值．正切由三個頂點, 和組成的三角形來定義．第三點如圖7．10所示，由下面式子計算

25、(7．17) 有幾種特殊的情況可以通過如下方法來處理．如果，那么第個圓錐樣條曲線是到的直線段．如果和，那么，和對應于同一點，在圓錐曲線序列中有一個角點．這些性質(zhì)使得直線段和角點可以明顯地表示出來，無需求助于不同的基元和特殊的標志． 圖7．11 圓錐曲線的導向形式 這里所示的計算圓錐樣條算法使用了一個圓錐曲線的導向形式，以表示由三條直線約束的圓錐曲線，如圖7．11所示．直線方程為 (7．18) 設(shè)多直線段中的第一和最后一個頂點為A和B，C是多線段的中間頂點，用弦AB連接第一和最后一個頂點．圓錐曲線導向形式是端點位于A

26、和B的圓錐體的家族，正切AC和BC由下面方程定義： (7．19) 其中 (7．20) 是包含直線段AC的直線，而 (7．21) 是包含直線段BC的直線，以及 (7．22) 是包含弦BC的直線． 圓錐曲線的家族由參數(shù)來定義． 圓錐曲線擬合邊緣表的算法是從直線段開始的，并把頂點分為角點(corner)、軟頂點(soft vertex)或結(jié)點(knot)三類．軟頂點

27、對應的角接近，相鄰的直線段幾乎共線，并可以用圓錐曲線來代替．軟頂點序列對應于緩變方向角的直線段序列，很可能是對光滑曲線的采樣點進行擬合的結(jié)果．角點對應的頂點角大于或小于，其中是閾值，角點不可能成為圓錐曲線的一部分．結(jié)點位于某一條直線段上，該直線段的端點上具有軟頂點．一個圓錐曲線不可能有拐點，所以兩個圓錐曲線在結(jié)點處連接．結(jié)點在直線段上的位置由直線段端點的軟頂點相對角度確定．設(shè)兩個軟頂點和的角度分別是和．如果, 那么結(jié)點可以位于頂點的中間，也就是說，在方程7．16中，．如果角度不相等，那么，結(jié)點位置應該偏離具有較大角度的那個角點，這是由于圓錐曲線不可能偏離直線段而足夠迅速地彎曲去跟蹤角點．方程7

28、．16的值可以由下式計算： (7．23) 由軟頂點連接的每一個直線段序列可由穿過第一和最后一個頂點（或結(jié)點）的導向圓錐代替．第一和最后一個直線段的方向角定義了正切．正切和端點確定圓錐5個自由度的4個．讓圓錐穿過位于序列中央的軟頂點可以完全確定圓錐． 7．３ 樣條曲線 早期繪圖員在制圖時，使用一種富有彈性的細長條，稱為樣條。用壓鐵將樣條固定在若干樣點上，然后沿樣條可以畫出很光滑的曲線，人們將該曲線稱為樣條曲線．從數(shù)學上講，樣條曲線是用分段多項式表示的一個函數(shù)，在其連接點處具有連續(xù)的一階和二階導數(shù)． 樣條曲線有著許多應用．在數(shù)據(jù)分析中，

29、當沒有合適的函數(shù)模型時，可以選用樣條函數(shù)擬合數(shù)據(jù)點．在計算機圖形和計算機輔助設(shè)計中，樣條函數(shù)用來表示自由曲線．在機器視覺中，若沒有表示曲線的合適模型時，樣條函數(shù)可以提供曲線的通用表示形式． 需要指出，幾何等效和參數(shù)等效是兩個不同的概念．兩條曲線在幾何上等效，是指它們連接相同的點集，即它們在空間上對應著相同的形狀（或點集）．如果兩條曲線的方程一樣，則兩條曲線在參數(shù)上等效．顯然，參數(shù)等效性比幾何等效性更穩(wěn)定．兩條曲線可以是幾何上等效但可以具有不同的參數(shù)表示式，這是機器視覺中曲線擬合的一個重要概念．比如，機器視覺系統(tǒng)可以產(chǎn)生基于三次樣條曲線的表示，其在幾何上非常接近于物體輪廓的真實表示，但在參數(shù)意

30、義上，表示可能完全不同．在物體識別應用方面和工業(yè)零件圖像與其模型匹配應用中，通過比較三次樣條曲線的參數(shù)形式實現(xiàn)匹配幾乎是不可能的，在這種情況下，比較必須基于幾何等效性． ７．３．１　三次樣條曲線 樣條函數(shù)最常見的形式是三次樣條函數(shù)，它是分段三次多項式的一個序列．上一節(jié)所討論的直線段、圓弧段和圓錐曲線序列是樣條函數(shù)的典型實例．三次樣條函數(shù)可以用很少幾個樣條段表示很復雜的曲線．三次樣條函數(shù)已經(jīng)廣泛用于計算機圖形領(lǐng)域和字符輪廓表示． 三次樣條具有足夠的自由度來逼近邊緣段位置和方向．我們知道，大多數(shù)邊緣檢測算法同時提供邊緣方向（梯度角）和邊緣位置估計．在直線段、圓弧段和圓錐曲線的擬合中，僅僅使用

31、了邊緣的位置信息．下面介紹一種三次樣條曲線擬合中如何使用由邊緣檢測器產(chǎn)生的方向信息的例子． 平面三次曲線方程如下: (7．24) 其中系數(shù)，，，是二元向量，參數(shù)u取值范圍在0和1之間．三次曲線起始點為，終結(jié)點為．三次樣條是由三次曲線段，，．．．，構(gòu)成的一個序列，這一序列定義在連續(xù)間隔，，．．．，上，并將端點連結(jié)起來使得在端點處，見圖7．12．樣條中的每一個三次曲線段稱為樣條段，連結(jié)樣條段的邊緣點稱為結(jié)點． 圖　7.12 個控制點的分段連續(xù)三次樣條插值曲線 和前面討論的曲線擬合算法一樣，把邊緣點序列分成一個個子序列，每一個子序

32、列的第一個和最后一個邊緣點為樣條曲線的結(jié)點，然后再用樣條段擬合這些結(jié)點．由公式7．24可知，樣條中每一個三次曲線段都需要確定四個二維向量共計八個參數(shù)，其中，曲線段的兩個端點（或結(jié)點）共提供四個約束，結(jié)點處的一階連續(xù)性（等正切向量）提供另兩個約束，結(jié)點處的方向信息僅提供一個附加約束（由于結(jié)點由兩個樣條段共享），結(jié)點處的二階連續(xù)性（等曲率）提供兩個約束，這樣所產(chǎn)生的方程數(shù)量為九個，多于三次樣條段所需的八個參數(shù)． 　　在結(jié)點處光滑連接樣條段是非常重要的。在計算機圖形學中，光滑連接是通過增加二階連續(xù)性來實現(xiàn)．由上面分析可知，二階連續(xù)性會提供兩個約束，從而對樣條段產(chǎn)生超約束。為了避免超約束，同時又要使

33、結(jié)點處光滑，可以采用結(jié)點處二階不連續(xù)性的極小化條件，也就是說把結(jié)點處的曲率差值極小化作為一個約束代替二階連續(xù)性提供兩個約束。 對于整個三次樣條曲線，求 n-1個結(jié)點處二階導數(shù)差值平方和的極小化： (7．25) 其中兩個樣條段在其公共結(jié)點處的二階導數(shù)差值是 (7．26) 變量是結(jié)點處的正切向量，該正切向量由邊緣方向（梯度角）和一個有正負號的未知參數(shù)來決定： (7．27) 換句話說，在結(jié)點處的邊緣方向可以用一個單位向量

34、表示，但三次樣條需要具有大小及正負號的正切量，以表示穿越結(jié)點的方向和速度．用該算法求解線性系統(tǒng)方程，可以得到n個未知數(shù)，由此提供構(gòu)造結(jié)點之間三次樣條段的丟失信息． 本算法沒有任何附加參數(shù)和閾值，但是，同前面介紹的多線段、圓弧段和圓錐截面擬合算法一樣，結(jié)點必須從邊緣表中選出．使用上面所述的多線段算法進行輪廓多線段逼近可以確定結(jié)點位置。多線段頂點也可以作為結(jié)點的位置。調(diào)節(jié)結(jié)點的位置和數(shù)量可以改善三次樣條對整個邊緣點集的擬合． 三次樣條擬合算法僅僅需要求解一個小的線性系統(tǒng)就可以得到正切值的符號和量值，因此該算法十分有效．如果需要的話，可以使用許多交互式圖形界面，在其上可以很方便地調(diào)節(jié)三次樣條曲線

35、． 7．3．2 樣條曲線 樣條曲線是由結(jié)點引導的逐段多項式曲線，是一種平滑和內(nèi)插技術(shù)．樣條與上述樣條曲線不同，它不必通過結(jié)點，我們將這種結(jié)點稱為引導結(jié)點．樣條曲線的三次多項式是最常用的，因為這些樣條曲率連續(xù)度為最低．已知引導結(jié)點序列為，，．．．，，則三次B－樣條多項式為： 　　　　　（7．28） 式中，，，為參數(shù)的三次多項式．下面確定上式四個多項式所對應的16個參數(shù)．對任意的，相鄰曲線段，以及二階導數(shù)必須連續(xù)的條件提供15個等式，例如，，則有： 　　　?。?．29） 并提供以下五個等式： ，，，， 的形狀對坐標轉(zhuǎn)換不變的條件提供了另一個方程：

36、 （7.30） 通過解16個等式，可以得到如下16個系數(shù)： 　　 　　　　　（7.31） 顯然這四個多項式都是非負的，根據(jù)式（7.30），曲線上的任何點都是四個控制結(jié)點的插補，即曲線段包含在由四個控制結(jié)點確定的方塊內(nèi)．如圖7．13所示．通常，次的樣條包含在由控制點確定的多邊形內(nèi)。由于樣條的優(yōu)良特性和對于任何控制點導數(shù)的連續(xù)性，故在實際中較為常用。 圖7．13 樣條曲線示意圖。（a）直線，(b) 二次樣條曲線，（3）三次樣條曲線 7．４ 曲線回歸逼近 　　目前有許許多多曲線逼近方法，其區(qū)別主要取決于邊緣點組成輪廓點的可靠度。如果將所有邊緣點連接起來可以組成一個輪

37、廓，那么就可以用最小二次回歸法來進行邊緣點曲線擬合．如果存在組合誤差（Grouping Error），則可以使用魯棒回歸方法來進行曲線逼近．如果邊緣點組成的輪廓不可靠，或者邊緣點太分散以至于無法用連接或跟蹤方法來組成輪廓，那么必須使用聚類分析（Cluster Analysis）技術(shù)同時進行邊緣點的組合和曲線逼近．同時用組合和曲線逼近方法處理分散邊緣點算法的最好例子是Hough變換，這一內(nèi)容將在下面討論 前面幾節(jié)討論的直線段、圓弧段、圓錐曲線和三次樣條擬合邊緣點的方法屬于一般回歸問題，主要用于端點之間的曲線擬合．這些算法都假定邊緣的位置可以精確計算，甚至可能使用子像素計算方法．這種回歸算法沒有

38、使用端點之間的邊緣點信息，因此曲線的擬合精度主要取決于端點的位置精度．本節(jié)討論的曲線最佳逼近方法將使用所有邊緣點信息． 一般曲線擬合問題是一個曲線的回歸問題, 曲線用個參數(shù)的隱函數(shù)表示： (7．32) 曲線預估問題就是指這種曲線模型擬合一個邊緣點集，． 在無噪聲情況下，通過次觀測產(chǎn)生的個方程來求解個未知曲線參數(shù)．不幸的是在大多數(shù)場合，由于噪聲的原因，這一直接方法不是很有效．實際的應用常常需要使用邊緣表中所有信息來獲取這些參數(shù)的最佳估計． 下一節(jié)我們將討論最小二次回歸方法，這種方法在計算機視覺中主要用于曲線擬合．當誤差服從正態(tài)分布時，最小二次方法

39、是最合適的擬合方法．7.4.3將討論曲線擬合的魯棒性方法，這種方法在一些邊緣點被錯誤地連接到某一輪廓時特別有用．這種被錯誤地連接的點被稱為局外點（Outlier）． ７．４．1 全回歸方法 傳統(tǒng)的線性回歸方法僅僅在一維獨立變量空間中對數(shù)據(jù)和模型差值求極小化．比如，一個函數(shù)模型具有下列形式， (7．33) 上式把獨立變量和獨立變量聯(lián)系起來，具有個模型參數(shù)（…），并假定獨立變量沒有誤差．在機器視覺中，和的坐標位置誤差很可能相等，其對應的曲線模型是一條垂直線，這樣就無法用上述方程來表示．在機器視覺中，邊緣點的直線和曲線模型擬合是通過使用全回歸方

40、法實現(xiàn)的，即對所有的數(shù)據(jù)點與回歸模型之間距離的平方和進行極小化，這一技術(shù)的優(yōu)點是能夠補償和方向的誤差． 為了避免垂直直線引起得問題，可以使用如下極坐標形式來表示直線方程： (7．34) 求所有點到該直線垂直距離的平方和極小化： (7．35) 全回歸問題的解是： (7．36) 其中 (7．37) 全回歸直線方向角為，由下式給出： (7．38) 其中 全回歸方法使用了最小二

41、次誤差范數(shù)，如果誤差服從正態(tài)分布，則誤差范數(shù)是最優(yōu)的。該方法不適用于數(shù)據(jù)中有局外點的情況．在用曲線模型擬合邊緣點時，如果邊緣連接算法從其它輪廓上吸收一個或一個以上邊緣點到本輪廓邊緣表中，即產(chǎn)生了邊緣局外點局外點．即使邊緣連接算法完美無缺，也免不了局外點的產(chǎn)生．例如，考慮對應一個矩形兩條鄰接邊的邊緣表，在用直線擬合邊緣前，必須識別出角點以便把邊緣表分割兩條邊．如果不能正確地識別角點，那么，一些邊緣點可能被分配給錯誤的邊，這些邊緣點即為局外點． 通常在分類時產(chǎn)生的誤差會引入到回歸問題里，其中的誤差不服從正態(tài)分布．在這種情況下，誤差可以由一個混合模型來表示，即把描述正態(tài)分布誤差的高斯分布函

42、數(shù)和描述由于分類不理想而引起的局外點分布的拖尾分布函數(shù)混合起來． 7．４．2 角點估計 角點估計的最佳方法是使用直線段逼近邊緣點來求出直線段序列，然后計算直線段之間的交點．這一方法補償了由邊緣檢測算子對角點的平滑作用而引入的誤差，并且比利用局部信息的角點檢測算子求出的角點更精確． 已知兩條直線的隱函數(shù)方程為 (7．39) (7．40) 交點坐標為： (7．41) 如果非常接近零，那么兩條直線幾乎平行，沒有交點． 一種

43、較好的探測角點方法是沿著輪廓用一對直線擬合個邊緣點中的一個個連續(xù)子表，其中，參數(shù)是邊緣點數(shù)量，用于精確直線擬合；參數(shù)是位于角點周圍不予考慮的邊緣點的數(shù)量，即跨越角點圓弧部分的邊緣點．設(shè)置一個閾值，檢測的幅值是否大于該閾值即可決定角點是否存在． 7．４．3 魯棒回歸法 如果誤差不服從正態(tài)分布，那么最小二乘法就不是最佳擬合方法．圖7．14所示的是數(shù)據(jù)集合包含一些局外點時，使用最小二乘法所遇到的問題的一個例子．在實際中，可能一個局外點就足夠把回歸直線推向遠離其正確的位置．魯棒性回歸方法要對數(shù)據(jù)的各種子集進行測試，從中選擇一個產(chǎn)生最佳擬合的子集． 圖7．14 使用最小二

44、次回歸曲線擬合方法和魯棒性回歸方法對包含有局外點的一組數(shù)據(jù)進行擬合的差別 圖7．15 最小二次方法對局外點敏感度的物理模擬圖[Jain]． 圖7．15是一個物理模擬圖，可以使問題變的更加清楚．設(shè)想一下你準備求出平面上一組點的質(zhì)心．把具有相同彈簧系數(shù)的若干彈簧的一端連接到一個可以自由運動的物體上，另一端分別系在不同的固定點上，物體將會被拉到一個平衡（平均）位置上．彈簧將通過彈簧勢能方程進行最小二乘法范數(shù)運算．這個物理模擬對應于一個均值計算的微分，其中均值是指殘差平方和（即點與均值之差的平方和）極小化判據(jù)中的均值．現(xiàn)在假定其中的一點可以移動，并稱這一點為杠桿點．用力扯

45、動杠桿點到足夠遠的地方，可以迫使平衡點移動到任意一個位置．這一現(xiàn)像說明基于最小二乘法的預估器對局外點及其敏感．理想情況下，人們希望把彈簧和局外點隔開，使得估計值不受傷害．改變彈簧常數(shù)使得局外點對估計值影響最小，可以實現(xiàn)基于影響函數(shù)的魯棒性預估．割斷彈簧與局外點的聯(lián)系對應于再取樣策略，其中一致性子集取樣是確定的．再取樣方法是指重復抽取隨機子集并選擇可以產(chǎn)生最佳估計的子集．再取樣算法的例子包括隨機抽樣一致性、最小中值二次回歸、以及其它計算機中常用的回歸方法． 彈簧模擬方法推廣到線性回歸系統(tǒng)也有一樣的結(jié)論，即單一的局外點可以扭曲回歸估計．對第個數(shù)據(jù)點，n階線性多變量模型可以用下面的方程表示：

46、 (7．42) 其中是模型參數(shù)的估計值．每一點的殘差（預估模型數(shù)據(jù)點的微分）是．在最小二次回歸算法中，模型參數(shù)的估計由殘差平方和的極小化求得： (7．43) 同上述的彈簧模擬方法一樣，如果僅有一個數(shù)據(jù)點是局外點，模型參數(shù)可能是任意的． 通常，噪聲和局外點可以用聯(lián)合分布表示，即噪聲的正態(tài)分布和局外點的寬尾分布的線性組合．在這種情況下可以清楚的看到，預估器的范數(shù)同小誤差的最小二次范數(shù)一樣，同時對大誤差不敏感，這樣就可以忽略局外點的影響．這種方法稱為影響函數(shù)法． 為了定量說明局外點對函數(shù)逼近的影響，我們引進潰

47、點（breakdown point）這一術(shù)語。潰點是指局外點占整個數(shù)據(jù)的一個最小比例值，當局外點數(shù)不超過這個值時，無論局外點如何不正確，都不會使預估算法產(chǎn)生任意的錯誤估計[207]．設(shè)是個數(shù)據(jù)點的集合，將集合中任意個點的坐標設(shè)置成任意值（局外點），構(gòu)成一個含有個任意點的集合．設(shè)一個回歸預估器，由局外點造成的預估偏差為： (7．44) 設(shè)置潰點的基本思想是定量分析局外點的數(shù)量在數(shù)據(jù)點數(shù)量n中所占比例增加時對Bias 值的影響程度．當增加到一定數(shù)量時，Bias無界，這就是潰點．當?shù)陀跐Ⅻc時，回歸估計器可以完全拒絕局外點，或使得局外點對預估結(jié)果影響很小．當高

48、于潰點時，局外點可以驅(qū)使預估器產(chǎn)生任意的解案，答案將取決于局外點而不是合法數(shù)據(jù)．換句話說，預估器所提供的結(jié)果是不可預估的．潰點定義為： （7．45） 對于最小二次回歸，，在極限情況下，當數(shù)據(jù)點數(shù)量變的很大時，．換句話說，最小二次回歸方法對局外點無免疫能力，一個局外點即可毀掉結(jié)果． 最小二次中值回歸方法是一種非常簡單的技術(shù)，并被證明是解決大量局外點回歸問題的非常有效的方法，算法7．3概括了該算法。最小中值二次方法可以容錯高達百分之五十的局外點，也就意味著數(shù)據(jù)點集內(nèi)，有一半的數(shù)據(jù)可以取任意值而不會嚴重地影響回歸結(jié)果．如果有多于百分之五十的點為局外點，最小二次回歸方法不

49、會工作的很好，此時需要更有效的方法，如Hough變換． 在最小中值二次回歸方法中，模型參數(shù)的估計由極小化殘差平方的中值求得： （7．46） 算法7．3 最小中值二次回歸方法 假定有n個數(shù)據(jù)和p個參數(shù)的線性模型 1. 在n各個數(shù)據(jù)點集中，隨機地選擇p個點． 2. 用模型擬合p個點． 3. 計算殘差平方的中值． 擬合過程重復進行直到得到足夠小的殘差平方中值，或者達到預定的再取樣步長數(shù)值． 7．5　Hough 變換 最近幾年，使用表決原理的參數(shù)估計技術(shù)應用不斷增加．最常用的表決方法之一是Hough變換．在Houg

50、h變換中，曲線上的每一點可以表決若干參數(shù)組合，贏得多數(shù)表決的參數(shù)就是勝者．下面考慮一下直線擬合數(shù)據(jù)的方法．直線方程為： (7．47) 上述方程中，和是觀測值，和表示參數(shù)．如果已知參數(shù)值，則該點坐標之間的關(guān)系即可確定．把上述方程重新表示為： (7．48) 假定和是我們感興趣的變量，而和是常數(shù)，則上述方程表示的是空間中的一條直線，斜率和截距由和決定．點對應于空間的直線，如圖7．16(a)所示．如果直線上有個點，那么這些點對應參數(shù)空間上的一個直線族，且所有直線都經(jīng)過上的一點，該

51、點的坐標當然反應空間上的直線參數(shù), 如圖7．16(b)所示． 需要指出，參數(shù)空間曲線的形狀取決于用于表示曲線的原始函數(shù)．實際中，常常使用直線的極坐標形式，而不是其顯式表示，這樣可以避免直線是垂直線時帶來的問題．直線的極坐標方程表示如下： (7．49) 上述方程中，點被映射到空間上，如圖7．16（c）所示．如果直線上有個點，那么這些點對應參數(shù)空間上的一個正弦曲線族，且所有正弦曲線都經(jīng)過上的一點。 如果我們對求點的最佳直線擬合感興趣，那么，我們就可以使用上述圖像空間到參數(shù)空間的映射．這種方法稱為Hough變換．在這種方法中，我們把

52、參數(shù)空間表示為一個累加器陣列，表示離散參數(shù)值．依照變換方程，圖像中的每一點可以表決幾個參數(shù)．為了求出表征直線的參數(shù)，我們應該探測參數(shù)空間的峰值．這種一般的想法概括在算法7．4中． 圖7．16 Hough變換示意圖。左邊為圖像空間，右邊為Hough變換空間。 （a）一條直線對應一個點，(b) 一條直線上的多個點對應多條交于一點的直線 (c) 一條直線上的多個點對應多條交于一點的正弦曲線 (b) 圖7.17　Hough變換算法實驗結(jié)果。（a）合成圖像，（b）直角坐標參數(shù)空間映射圖，（c）　極坐標參數(shù)空間映射圖

53、 算法7．4 Hough變換算法 1. 適當?shù)亓炕瘏?shù)空間． 2. 假定參數(shù)空間的每一個單元都是一個累加器，把累加器初始化為零． 3. 對圖像空間的每一點，在其所滿足的參數(shù)方程對應的累加器上加1． 4. 累加器陣列的最大值對應模型的參數(shù)． Hough變換不需要預先組合或連結(jié)邊緣點．位于感興趣曲線上的邊緣點可能構(gòu)成圖像邊緣的一個小部分．特別指出，Hough變換可以允許位于曲線上的邊緣數(shù)量少于實際的邊緣數(shù)量，而大多數(shù)魯棒性回歸算法是無法適用這種情況．Hough變換所基于的假設(shè)是在大量噪聲出現(xiàn)的情況下，最好是在參數(shù)空間中去求滿足圖像邊緣最大數(shù)量的那個點．如果參數(shù)空間的峰

54、值包括了一個以上的累加器，則包含峰值的區(qū)域的矩心就是參數(shù)的一個估值． 利用上述算法的實驗結(jié)果見圖 7.17 如果圖像中有幾條曲線和給定模型相匹配，則在參數(shù)空間中會出現(xiàn)幾個峰值．此時，可以探測每一個峰值，去掉對應于某一個峰值的曲線邊緣，再檢測余下的曲線，直到?jīng)]有明顯的邊緣．但是，確定峰值的顯著性是件很困難的事． Hough變換的另一個問題是離散參數(shù)空間隨著參數(shù)的數(shù)量增加迅速增加．對一個圓弧段，參數(shù)空間是三維的，對其它曲線，其維數(shù)可能更高．由于累加器的數(shù)量隨著參數(shù)空間的增加成指數(shù)增加，Hough變換可能對于復雜模型的計算效率很低．已經(jīng)提出幾種方法來改進Hough變換的性能．一種方法是

55、使用邊界梯度信息來減少參數(shù)空間的工作量．假定曲線模型是圓．模型有三個參數(shù)，二個參數(shù)為圓的圓心坐標，另一個是圓的半徑．如果可以得到邊緣梯度角，就可以提供減少自由度數(shù)量的約束，從而得到所要求的參數(shù)空間尺寸．從圓的中心到每一個邊緣點的向量方向由梯度角確定，剩下的未知參數(shù)只有圓的半徑．其它一些減少參數(shù)空間的方法也在視覺中得到應用． 下面介紹一下使用梯度角減少參數(shù)尺寸的圓擬合方法。算法過程見算法7．5．圓的方程為： （7．50） 圓的極坐標方程為： （7．51） 則圓的參數(shù)為：

56、 （7．52） 在邊緣點處給定梯度角θ，計算conθ和sinθ．從上述方程中消除半徑，得到： （7．53） 這是一個用于升級參數(shù)空間累加器的方程．對于每一個在處并具有邊緣方向角θ的邊緣點來說，沿著方程7．53給定的直線，在參數(shù)空間給累加器一個增量．如果半徑已知，則只需由方程(7．52)在點處給累加器一個增量． 這里無需使用參數(shù)來描述由Hough變換檢測的曲線．Hough變換可以一般化為表決算法（見算法7.6），這種算法可以有效地完成模板匹配．算法7．6把物體的邊界形狀編碼成表，以便有效地進行讀取操作

57、．其中物體上的一點被選為參考點．根據(jù)定義，圖像中參考點的位置就是物體的位置．對于每一個在處并具有梯度角θ的圖像梯度點，參考點可能的位置有下面的方程給出： （7．54） 給每一個可能的參考點的位置一個增量．參數(shù)空間的峰值位置是物體位置的一個估計．把這一技術(shù)推廣到可以處理尺度和旋轉(zhuǎn)變換不太容易． 算法7．5 圓擬合算法 1. 量化參數(shù)空間a和b． 2. 置累加器陣列為零． 3. 計算梯度值和角． 4. 對于中的每一個邊緣點，沿著直線（見方程7.53）給累加器陣列中的所有點一個增量． 5. 累加器中局部最大值對應于圖像中的圓中

58、心． 算法7．6廣義Hough變換算法 1. 在物體上取出一個參考點． 2. 沿著物體的邊界計算梯度角． 3. 對每一個梯度角，存儲對于參考點的距離和角度． 7．6 傅里葉描述子 由于沿著封閉輪廓的位置函數(shù)是周期性的，因此傅里葉級數(shù)可以用來逼近輪廓．輪廓逼近的分辨率由傅里葉級數(shù)的項數(shù)來確定． 假定物體的邊界表示為一個坐標的序列，其中．用復數(shù)來表示每一個坐標對，即 （7．55） 其中 ． 換句話說，x軸為實軸，y軸是復數(shù)序列的虛軸．注意，對于封閉邊界，這一序列是周期的，其周期是N，這樣，邊界就可以在一維空間表示． 一維序

59、列函數(shù)的離散傅里葉變換（DFT）定義為： （7．56） （7．57） 復數(shù)系數(shù)稱為邊界的傅里葉描述子． 傅里葉描述子是輪廓表示的簡潔表示方法．然而，更簡潔的表示形式是使用傅里葉序列的低階項的低分辨率逼近．如果僅使用前個系數(shù)，即等同于，則對的逼近如下： （7．58） 盡管僅使用項來求邊界的每一項，仍然取0到的區(qū)間．換句話說，被逼近的邊界具有相同的點數(shù)，但用于重建每一個點的項數(shù)不同． 邊界的簡單幾何變換，如平移、旋轉(zhuǎn)和尺度變換，將關(guān)系到邊界傅里葉描述子的簡單操作（見練習7．19）．這使得傅里葉描述子在邊界匹配中的應

60、用非常具有吸引力．然而，傅里葉描述子在描述具有遮擋物體是的確存在一些問題．使用其它邊界表示也可以得到類似的描述子． 習題 7.1 什么是輪廓？輪廓與區(qū)域有什么關(guān)系？一個非封閉輪廓表示什么？ 7.2 請列出選擇輪廓表示的判據(jù)，并討論這些因素在物體識別中的含義． 7.3 插值和逼近方法有何區(qū)別？那一種方法更好？ 7.4 為了完成的旋轉(zhuǎn)，可能使用16方向的鏈碼編碼．你如何來完成這一編碼？為什么8方向鏈碼是最常用的鏈碼？ 7.5 逆時針求取圖7．19所示物體的8-方向鏈碼和鏈碼差分，其中的空心圓點是起點． 圖7.19 思考題7．5的輪廓 7.6 考慮一下7．8．2

61、節(jié)的角點位置估計方法．當兩條直線成直角時，的值是多少？當兩條直線成某一角度θ時，又為何值？（這是用于設(shè)置角點探測閾值的公式） 7.7 考慮一下7．8．2節(jié)的角點位置估計方法．假定邊緣位置x和y的坐標誤差服從方差為的正態(tài)分布．角點的位置誤差分布是什么？角點對應的角度是如何影響該誤差的？ 7.8 產(chǎn)生一個相對于均勻背景的均勻強度的人工圖像．請使用第五章任何一種邊緣檢測器計算邊緣，并用多線段擬合邊緣．請問所求得的頂點與真實角點位置的差距有多大？這種誤差是否一定偏向一個方向？ 7.9 為什么圖被認為是連續(xù)鏈碼？其最吸引人的特點是什么？ 7.10 如何使用圖來比較兩個物體？ 7.11 討論一

62、下你所使用的不同的逼近算法誤差測量．請問在逼近算法中，誤差算法測量起什么作用？ 7.12 為什么說三次樣條相對于多線段和圓錐曲線段是一種更有效的表示方法？ 7.13 試論述幾何等效和參數(shù)等效的差別． 7.14 為什么在全回歸方法中使用最小二次測量方法？試列出它的優(yōu)點和缺點． 7.15 試說明魯棒性方法是如何克服全回歸方法的局限性？為什么魯棒性方法在逼近算法中用的不是很普遍？ 7.16 傅里葉描述子在逼近和表示封閉曲線時的優(yōu)點和弱點是什么？ 7.17 什么是Hough變換？它是否與魯棒性回歸方法有關(guān)？為什么？ 7.18 你能把Hough變換推廣到檢測任意物體形狀？如何把Hough變

63、換用于探測旋轉(zhuǎn)和尺度變換后的物體？ 上機作業(yè)題 6.1 編制一個程序求一條給定曲線的鏈碼．你能否利用鏈碼來確定角點？如果能，請完成這一算法，并用幾幅圖像來測試． 6.2 編制一個用Hough算法檢測圖像中的直線算法．使用這一算法來求一幅圖像中的所有大于規(guī)定長度的直線段，設(shè)規(guī)定的長度為20點． 6.3 請產(chǎn)生一幅在均勻背景下的具有均勻灰度的矩形物體圖像，使用第五章中任何一種邊緣檢測方法檢測矩形物體的邊緣，并用多線段擬合這一邊緣．請問多線段中的頂點與真實的角點接近的程度如何？這些頂點與真實角點的偏差是否總是在一個方向上？ 6.4 請產(chǎn)生一幅四個角點都為圓角的矩形圖像，圓角可用四分圓表示．

64、首先使用邊緣探測和多線段擬合，然后使用本章介紹的圓弧段擬合方法替代多線段擬合，并測量圓弧段端點處的誤差．誤差是否對稱？是否角點不均勻使得矩形變的扭曲？ 6.5 完成用于直線擬合邊緣點集表的最小中值二次回歸算法．在邊緣點集表中增加假邊緣，以模擬成組誤差．請畫出估計線段與真實線段之間的距離相對于假邊緣數(shù)量的曲線． 6.6 考慮一個相對于一個垂直軸對稱的物體．假定可以得到物體左右兩邊的兩個邊緣段表．采取一種三次樣條擬合邊緣的算法以確保這一對稱性約束，并把這一算法推廣到軸在任意一個位置． 6.7 假定可以得到一個相對于某一個軸是對稱的物體的輪廓邊緣點集表．把邊緣表處理成一個直線段和圓弧段序列．編制一個匹配直線段和圓弧段算法來檢測物體是對稱的，并估計出對稱軸．在確定對稱軸以后，用這一信息來改善直線段和圓弧段的估計．請編制一個細化輪廓表示的算法．做迭代算法探測對稱軸的實驗，用這一信息細化輪廓表示，然后用改進的輪廓表示細化軸位置估計，重復這一過程，直到軸和輪廓表示收斂． 專心---專注---專業(yè)