《新編浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教師用書：第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題4 突破點(diǎn)8 空間幾何體表面積或體積的求解 Word版含答案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新編浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教師用書：第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題4 突破點(diǎn)8 空間幾何體表面積或體積的求解 Word版含答案（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題四　立體幾何 建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)　明內(nèi)在聯(lián)系 [高考點(diǎn)撥]　立體幾何專題是浙江新高考中當(dāng)仁不讓的熱點(diǎn)之一，常以“兩小一大”呈現(xiàn)，小題主要考查三視圖與空間幾何體的體積(特別是與球有關(guān)的體積)和空間位置關(guān)系及空間角，一大題常考空間位置關(guān)系的證明與空間角、距離的探求．本專題主要從“空間幾何體表面積或體積的求解”“空間中的平行與垂直關(guān)系”“立體幾何中的向量方法”三大角度進(jìn)行典例剖析，引領(lǐng)考生明確考情并提升解題技能． 突破點(diǎn)8　空間幾何體表面積或體積的求解 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第29頁(yè)) [核心知識(shí)提煉] 提煉1 求解幾何體的表面積或體積 　 (1)對(duì)于規(guī)則幾何體，可直接

2、利用公式計(jì)算． (2)對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對(duì)于某些三棱錐，有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解． (3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用. 提煉2 球與幾何體的外接與內(nèi)切 　 (1)正四面體與球：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a ，由正四面體本身的對(duì)稱性，可知其內(nèi)切球和外接球的球心相同，則內(nèi)切球的半徑r＝a，外接球的半徑R＝a. (2)正方體與球：設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，O為其對(duì)稱中心，E，F(xiàn)，H，G分別為AD，BC，B1C1，A1D1的中點(diǎn)，J為HF的中點(diǎn)，如圖8-1所示． 圖

3、8-1 ①正方體的內(nèi)切球：截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓，故其內(nèi)切球的半徑為OJ＝； ②正方體的棱切球：截面圖為正方形EFHG的外接圓，故其棱切球的半徑為OG＝； ③正方體的外接球：截面圖為矩形ACC1A1的外接圓，故其外接球的半徑為OA1＝. [高考真題回訪] 回訪1　空間幾何體的結(jié)構(gòu)及三視圖 1．(20xx·浙江高考)如圖8-2，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAB＝30°，則點(diǎn)P的軌跡是(　　) 圖8-2 A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線的一支 C　[因?yàn)椤螾AB＝30°，所以點(diǎn)P的軌跡為以A

4、B為軸線，PA為母線的圓錐面與平面α的交線，且平面α與圓錐的軸線斜交，故點(diǎn)P的軌跡為橢圓．] 2．(20xx·浙江高考)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖8-3所示，則該幾何體的體積是(　　) 圖8-3 A．72 cm3　　 B．90 cm3 C．108 cm3 D．138 cm3 B　[該幾何體為一個(gè)組合體，左側(cè)為三棱柱，右側(cè)為長(zhǎng)方體，如圖所示．V＝V三棱柱＋V長(zhǎng)方體＝×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．] 3．(20xx·浙江高考)已知某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖8-4所示，則該幾何體的體積是(　　) 圖8-4 A．108 cm3

5、 B．100 cm3 C．92 cm3 D．84 cm3 B　[此幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1被截去了一個(gè)三棱錐A-DEF，如圖所示，其中這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6、3、6，故其體積為6×3×6＝108(cm3)．三棱錐的三條棱AE、AF、AD的長(zhǎng)分別為4、4、3，故其體積為××4＝8(cm3)，所以所求幾何體的體積為108－8＝100(cm3)．] 回訪2　幾何體的表面積或體積 4．(20xx·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖8-5所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) 圖8-5 A.＋1　　　 B.＋3 C.＋1　

6、　　 D.＋3 A　[由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個(gè)底面為直角邊長(zhǎng)是的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體， ∴該幾何體的體積 V＝×π×12×3＋××××3＝＋1.故選A.] 5．(20xx·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖8-6所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是(　　) 圖8-6 A．8 cm3 B．12 cm3 C. cm3 D. cm3 C　[由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)正方體和一個(gè)正四棱錐構(gòu)成的組合體．下面是棱長(zhǎng)為2 cm的正方體，體積V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面邊長(zhǎng)為2 cm，高為2 c

7、m的正四棱錐，體積V2＝×2×2×2＝(cm3)，所以該幾何體的體積V＝V1＋V2＝(cm3)．] 6．(20xx·浙江高考)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖8-7所示，則此幾何體的表面積是(　　) 圖8-7 A．90 cm2 B．129 cm2 C．132 cm2 D．138 cm2 D　[該幾何體如圖所示，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，邊長(zhǎng)分別為3 cm,4 cm,5 cm，所以表面積S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋＝99＋39＝138(cm2)．] 7．(20xx·浙江高考)某幾何體的三視圖如

8、圖8-8所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是________cm2，體積是________cm3. 圖8-8 80　40　[由三視圖還原幾何體如圖所示，下面長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬都是4，高為2；上面正方體的棱長(zhǎng)為2.所以該幾何體的表面積為(4×4＋2×4＋2×4)×2＋2×2×4＝80(cm2)；體積為4×4×2＋23＝40(cm3)．] 8．(20xx·浙江高考)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖8-9所示，則此幾何體的體積等于________cm3. 圖8-9 24　[由三視圖可知該幾何體為一個(gè)直三棱柱被截去了一個(gè)小三棱錐，如圖所示．三棱柱的底面為直角三角形，且直角

9、邊長(zhǎng)分別為3和4，三棱柱的高為5，故其體積V1＝×3×4×5＝30(cm3)，小三棱錐的底面與三棱柱的上底面相同，高為3，故其體積V2＝××3×4×3＝6(cm3)，所以所求幾何體的體積為30－6＝24(cm3)．] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第31頁(yè)) 熱點(diǎn)題型1　幾何體的表面積或體積 題型分析：解決此類題目，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化是前提，套用公式是關(guān)鍵，求解時(shí)先根據(jù)條件確定幾何體的形狀，再套用公式求解. 【例1】　(1)如圖8-10，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) 圖8-10 A．17π　　 B．18π C．20

10、π D．28π (2)如圖8-11，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334098】 圖8-11 A．18＋36　　　　　 B．54＋18 C．90 D．81 (1)A　(2)B　[(1)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖．設(shè)球的半徑為R，則πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面積為×4πR2＋πR2＝17π.故選A. (2)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個(gè)側(cè)面為矩形，另兩個(gè)側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(3×3＋

11、3×6＋3×3)×2＝54＋18.故選B.] [方法指津] 1．求解幾何體的表面積及體積的技巧 (1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在．求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上． (2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解． 2．根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個(gè)步驟 (1)根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀． (2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個(gè)度量． (3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計(jì)算求解． [變式訓(xùn)練1]　(

12、1)某幾何體的三視圖如圖8-12所示，則該幾何體的體積為(　　) 圖8-12 A.＋ B．5＋ C．5＋ D.＋ (2)(20xx·溫州市普通高中4月高考模擬考試12)某幾何體的三視圖如圖8-13所示，則此幾何體的體積是________，表面積是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334099】 圖8-13 (1)D　(2)　6＋2＋2　[(1)由三視圖知該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體，一個(gè)三棱錐和一個(gè)圓柱組成，故該幾何體的體積為V＝2×1×2＋××1×1×2＋×π×12×2＝＋. (2)由三視圖知，該幾何體為四棱錐，其底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為2，所以該幾何體的體

13、積V＝×22×2＝，表面積S＝2×2＋×2×2＋×2×2＋2××2×＝6＋2＋2.] 熱點(diǎn)題型2　球與幾何體的切、接問題 題型分析：與球有關(guān)的表面積或體積求解，其核心本質(zhì)是半徑的求解，這也是此類問題求解的主線，考生要時(shí)刻謹(jǐn)記.先根據(jù)幾何體的三視圖確定其結(jié)構(gòu)特征與數(shù)量特征，然后確定其外接球的球心，進(jìn)而確定球的半徑，最后代入公式求值即可；也可利用球的性質(zhì)——球面上任意一點(diǎn)對(duì)直徑所張的角為直角，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造射影定理求解. 【例2】　(1)一個(gè)幾何體的三視圖如圖8-14所示，其中正視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的表面積為(　　) 圖8-14 A. B. C.

14、 D. (2)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334100】 A．4π B. C．6π D. (1)D　(2)B　[(1)法一　由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S - ABC，其中HS是三棱錐的高，由三視圖可知HS＝2，HA＝HB＝HC＝2，故H為△ABC外接圓的圓心，該圓的半徑為2. 由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐S-ABC外接球的球心O在直線HS上，連接OB. 設(shè)球的半徑為R，則球心O到△ABC外接圓的距離為OH＝|SH－OS|＝|2－R|， 由

15、球的截面性質(zhì)可得R＝OB＝＝，解得R＝，所以所求外接球的表面積為4πR2＝4π×＝.故選D. 法二　由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S -ABC，其中HS是三棱錐的高，由側(cè)視圖可知HS＝2，由正視圖和側(cè)視圖可得HA＝HB＝HC＝2. 由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐外接球的球心O在HS上，延長(zhǎng)SH交球面于點(diǎn)P，則SP就是球的直徑， 由點(diǎn)A在球面上可得SA⊥AP. 又SH⊥平面ABC，所以SH⊥AH. 在Rt△ASH中，SA＝＝＝4. 設(shè)球的半徑為R，則SP＝2R， 在Rt△SPA中，由射影定理可得SA2＝SH×SP，即42＝2×2R，解得R＝， 所以所求外接球

16、的表面積為4πR2＝4π×＝.故選D. (2)由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切．設(shè)球的半徑為R.因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)切圓半徑為＝2，所以R≤2.又2R≤3，所以R≤，所以Vmax＝π3＝π.故選B.] [方法指津] 解決球與幾何體的切、接問題的關(guān)鍵在于確定球的半徑與幾何體的度量之間的關(guān)系，這就需要靈活利用球的截面性質(zhì)以及組合體的截面特征來(lái)確定.對(duì)于旋轉(zhuǎn)體與球的組合體，主要利用它們的軸截面性質(zhì)建立相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系；而對(duì)于多面體，應(yīng)抓住多面體的結(jié)構(gòu)特征靈活選擇過球心的截面，把多面體的相關(guān)數(shù)據(jù)和球的半徑在截面圖形中體現(xiàn)出來(lái). [變式訓(xùn)練2]　(1)已知直三棱柱ABC-A1

17、B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O 的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1＝2，則該三棱柱的外接球的體積為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334101】 A. B. C. D．20π (2)(名師押題)一幾何體的三視圖如圖8-15(網(wǎng)格中每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1)，若這個(gè)幾何體的頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積是________． 圖8-15 (1)B　(2)20π　[(1)設(shè)△A1B1C1的外心為O1，△ABC的外心為O2，連接O1O2，O2B，OB，如圖所示． 由題意可得外接球的球心O為O1O2的中點(diǎn)． 在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋A

18、C2－2AB×ACcos∠BAC＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7， 所以BC＝. 由正弦定理可得△ABC外接圓的直徑2r＝2O2B＝＝，所以r＝＝. 而球心O到截面ABC的距離d＝OO2＝AA1＝1， 設(shè)直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半徑為R，由球的截面性質(zhì)可得R2＝d2＋r2＝12＋2＝，故R＝，所以該三棱柱的外接球的體積為V＝R3＝.故選B. (2)由三視圖知該幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖所示，其底面ABCD是長(zhǎng)、寬分別為4和2的矩形，高為2， 且側(cè)面SDC與底面ABCD垂直，且頂點(diǎn)S在底面上的射影為該側(cè)面上的底面邊的中點(diǎn)．由該幾何體的結(jié)構(gòu)特征知球心在過底面中心O且與底面垂直的直線上，同時(shí)在過側(cè)面△SDC的外接圓圓心且與側(cè)面SDC垂直的直線上．因?yàn)椤鱏DC為直角三角形，所以球心就為底面ABCD的中心O，所以外接球的半徑為R＝AC＝，故外接球的表面積為4πR2＝20π.]