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1、新版-□□新版數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料□□-新版
1
2、 1
不等式證明
例1:設(shè),求證:
分析:發(fā)現(xiàn)作差后變形、判斷符號(hào)較為困難。考慮到兩邊都是正數(shù),可以作商,判斷比值與1的大小關(guān)系,從而證明不等式。
證明:,∵,∴∴
∴又∵,∴。
說明:本題考查不等式的證明方法——比較法(作商比較法)。作商比較法證明不等式的步驟是:判斷符號(hào)、作商、變形、判斷與1的大小。
例2:對(duì)于任意實(shí)數(shù)、,求證
3、(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))。
分析:這個(gè)題若使用比較法來證明,將會(huì)很麻煩,因?yàn)?,所要證明的不等式中有,展開后很復(fù)雜。若使用綜合法,從重要不等式:出發(fā),再恰當(dāng)?shù)乩貌坏仁降挠嘘P(guān)性質(zhì)及“配方”的技巧可得到證明。
證明:∵ (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))
兩邊同加,即:(1)
又:∵(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),
兩邊同加
∴,∴(2)
由(1)和(2)可得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))。
說明:此題參考用綜合法證明不等式。綜合法證明不等式主要是應(yīng)用均值不等式來證明,要注意均值不等式的變形應(yīng)用,一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考慮用綜合法來解。
例3:若,證明,(且)。
分析1:用作差法來證明。需
4、分為和兩種情況,去掉絕對(duì)值符號(hào),然后比較法證明。 [精編數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料]
解法1:當(dāng)時(shí),因?yàn)椋?
所以。
當(dāng)時(shí),因?yàn)椋?
所以。 [精編數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料]
綜上,。 [精編數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料]
分析2:直接作差,然后用對(duì)數(shù)的性質(zhì)來去絕對(duì)值符號(hào)。
解法2:作差比較法。因?yàn)?
,
所以。 [精編數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料]
說明:解法1用分類相當(dāng)于增設(shè)了已知條件,便于在變形中脫去絕對(duì)值符號(hào);解法2用對(duì)數(shù)性質(zhì)(換底公式)也能達(dá)到同樣的目的,且不必分而治之,其解法自然簡(jiǎn)捷、明快。
補(bǔ)充:(比較法)已知,求證:。
解法1:。
因?yàn)?,所以,,所以?/p>
5、
所以,,命題得證。
解法2:因?yàn)椋裕?
所以,,
由解法1可知:上式。故命題得證。
例4:已知、、,,求證
分析 顯然這個(gè)題用比較法是不易證出的。若把通分,則會(huì)把不等式變得較復(fù)雜而不易得到證明。由于右邊是一個(gè)常數(shù),故可考慮把左邊的式子變?yōu)榫哂小暗箶?shù)”特征的形式,比如,再利用“均值定理”就有可能找到正確的證明途徑,這也常稱為“湊倒數(shù)”的技巧。
證明:∵∴
∵,同理:,。
∴
說明:此題考查了變形應(yīng)用綜合法證明不等式。題目中用到了“湊倒數(shù)”,這種技巧在很多不等式證明中都可應(yīng)用,但有時(shí)要首先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形,以期達(dá)到可以“湊倒數(shù)”的目的。
例5:已知,求證:
6、0。
分析:此題直接入手不容易,考慮用分析法來證明,由于分析法的過程可以用綜合法來書寫,所以此題用兩種方法來書寫證明過程。
(分析法書寫過程)證明1:為了證明0
只需要證明
∵∴∴0
∴成立∴0成立
(綜合法書寫過程)證明2:∵∴
∴,0,∴成立,∴0成立
說明:學(xué)會(huì)分析法入手,綜合法書寫證明過程,但有時(shí)這兩種方法經(jīng)常混在一起應(yīng)用,混合應(yīng)用時(shí),應(yīng)用語(yǔ)言敘述清楚。
例6:已知,求證:。
分析:欲證不等式看起來較為“復(fù)雜”,宜將它化為較“簡(jiǎn)單”的形式,因而用分析法證明較好。
證明:欲證,只須證。
即要證,即要證。
即要證,即要證。
即要證,即,即要證(*)
∵,∴(*
7、)顯然成立,故
說明:分析法證明不等式,實(shí)質(zhì)上是尋求結(jié)論成立的一個(gè)充分條件。分析法通常采用“欲證—只要證—即證—已知”的格式。
例7:設(shè)是正整數(shù),求證。
分析:要求一個(gè)項(xiàng)分式的范圍,它的和又求不出來,可以采用“化整為零”的方法,觀察每一項(xiàng)的范圍,再求整體的范圍。
證明:由,得。
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),......
當(dāng)時(shí),,∴。
說明1:用放縮法證明不等式,放縮要適應(yīng),否則會(huì)走入困境。例如證明。由,如果從第3項(xiàng)開始放縮,正好可證明;如果從第2項(xiàng)放縮,可得小于2。當(dāng)放縮方式不同,結(jié)果也在變化。
說明2:放縮法一般包括:用縮小分母,擴(kuò)大分子,分式值增大;縮小分子,擴(kuò)大分母,分式值
8、縮小;全量不少于部分;每一次縮小其和變小,但需大于所求,第一次擴(kuò)大其和變大,但需小于所求,即不能放縮不夠或放縮過頭,同時(shí)放縮后便于求和。
例8:求證。
證明:∵,
∴。 [精編數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料]
說明:此題證明過程并不復(fù)雜,但思路難尋。本題所采用的方法也是解不等式時(shí)常用的一種方法,即放縮法。這類題目靈活多樣,需要巧妙變形,問題才能化隱為顯,這里變形的這一步極為關(guān)鍵。
例9:證明不等式:,。
講解:此題為與自然數(shù)有關(guān)的命題,故可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明。
解法1:①當(dāng)時(shí)命題成立。
②假設(shè)時(shí)命題成立,即:。
則當(dāng)時(shí),不等式的左端
不等式的右端。
由于
。
所以,,即時(shí)命題也成立。
由①②可知:原不等式得證。
從上述證法可以看出:其中用到了這一事實(shí),從而達(dá)到了和之間的轉(zhuǎn)化,也即和之間的轉(zhuǎn)化,這就提示我們,本題是否可以直接利用這一關(guān)系進(jìn)行放縮?觀察原不等式,若直接證明,直接化簡(jiǎn)是不可能的,但如果利用進(jìn)行放縮,則可以達(dá)到目的,由此得解2。 [精編數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料]
解法2:因?yàn)閷?duì)于任意自然數(shù),都有,所以,,從而不等式得證。