《新編高考數(shù)學(xué)浙江專用總復(fù)習(xí)教師用書：第2章 第8講　函數(shù)與方程、函數(shù)的模型及其應(yīng)用 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)浙江專用總復(fù)習(xí)教師用書：第2章 第8講　函數(shù)與方程、函數(shù)的模型及其應(yīng)用 Word版含解析（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第第 8 講講函數(shù)與方程、函數(shù)的模型及其應(yīng)用函數(shù)與方程、函數(shù)的模型及其應(yīng)用最新考綱1.了解函數(shù)零點的概念，掌握連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法；2.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義；3.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.知 識 梳 理1.函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的概念對于函數(shù) yf(x)，把使 f(x)0 的實數(shù) x 叫做函數(shù) yf(x)的零點.(2)函數(shù)零點與方程根的關(guān)系方程 f(x)0 有實數(shù)根函數(shù) yf(x)的圖象與 x 軸有交點函數(shù) yf(

2、x)有零點.(3)零點存在性定理如果函數(shù) yf(x)滿足：在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；f(a)f(b)0)的圖象與零點的關(guān)系b24ac000)的圖象與 x 軸的交點(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無交點零點個數(shù)2103.常見的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：ykxb(k0).(2)反比例函數(shù)模型：ykx(k0).(3)二次函數(shù)模型：yax2bxc(a，b，c 為常數(shù)，a0).(4)指數(shù)函數(shù)模型：yabxc(b0，b1，a0).(5)對數(shù)函數(shù)模型：ymlogaxn(a0，a1，m0).4.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在

3、(0，)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨 x 的增大逐漸表現(xiàn)為與 y 軸平行隨 x 的增大逐漸表現(xiàn)為與 x 軸平行隨 n 值變化而各有不同值的比較存在一個 x0，當 xx0時，有 logaxxnax診 斷 自 測1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)函數(shù) f(x)lg x 的零點是(1，0).()(2)圖象連續(xù)的函數(shù) yf(x)(xD)在區(qū)間(a，b)D 內(nèi)有零點，則 f(a)f(b)0.()(3)若函數(shù) f(x)在(a，b)上單調(diào)且 f(a)f(b)0，則函數(shù) f(x)在a，b上有且只有一個零點.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)

4、log2x，當 x(4，)時，恒有 h(x)f(x)g(x).()解析(1)f(x)lg x 的零點是 1，故(1)錯.(2)f(a)f(b)0 是連續(xù)函數(shù) yf(x)在(a，b)內(nèi)有零點的充分不必要條件，故(2)錯.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修 1P88 例 1 改編)函數(shù) f(x)ex3x 的零點個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3解析由已知得 f(x)ex30，所以 f(x)在 R 上單調(diào)遞增，又 f(1)1e30，因此函數(shù) f(x)有且只有一個零點.答案B3.(20 xx安徽卷)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是()A.ycos xB.ysin xC.yln xD.yx21解

5、析由函數(shù)是偶函數(shù)，排除選項 B、C，又選項 D 中函數(shù)沒有零點，排除 D，ycos x 為偶函數(shù)且有零點.答案A4.已知某種動物繁殖量 y(只)與時間 x(年)的關(guān)系為 yalog3(x1)， 設(shè)這種動物第2 年有 100 只，到第 8 年它們發(fā)展到()A.100 只B.200 只C.300 只D.400 只解析由題意知 100alog3(21)，a100，y100log3(x1)，當 x8 時，y100log39200.答案B5.函數(shù) f(x)ax12a 在區(qū)間(1，1)上存在一個零點，則實數(shù) a 的取值范圍是_.解析因為函數(shù) f(x)ax12a 在區(qū)間(1，1)上是單調(diào)函數(shù)，所以若 f(x

6、)在區(qū)間(1，1)上存在一個零點，則滿足 f(1)f(1)0，即(3a1)(1a)0，解得13a1.答案13，16.(20 xx紹興調(diào)研)已知 f(x)x2，x0，2x2，x0，則 f(f(2)_；函數(shù) f(x)的零點的個數(shù)為_.解析根據(jù)題意得：f(2)(2)24，則 f(f(2)f(4)24216214；令 f(x)0，得到 2x20，解得：x1，則函數(shù) f(x)的零點個數(shù)為 1.答案141考點一函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷【例 1】 (1)若 abc，則函數(shù) f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A.(a，b)和(b，c)內(nèi)B.(，a)和(a，b)內(nèi)C

7、.(b，c)和(c，)內(nèi)D.(，a)和(c，)內(nèi)(2)設(shè) f(x)ln xx2，則函數(shù) f(x)的零點所在的區(qū)間為()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)解析(1)ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函數(shù)零點存在性定理可知：在區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)分別存在零點，又函數(shù) f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個零點；因此函數(shù) f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)，故選 A.(2)法一函數(shù) f(x)的零點所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù) g(x)ln x， h(x)x2 圖象交點的橫坐標所在的取值范圍.作圖如下：可知 f(x)的零點所在的區(qū)間為(1，2).法二易知 f(x

8、)ln xx2 在(0，)上為增函數(shù)，且 f(1)1210.所以根據(jù)函數(shù)零點存在性定理可知在區(qū)間(1，2)內(nèi)函數(shù)存在零點.答案(1)A(2)B規(guī)律方法確定函數(shù) f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù) yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有 f(a)f(b)0.若有，則函數(shù) yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點.(2)數(shù)形結(jié)合法： 通過畫函數(shù)圖象， 觀察圖象與 x 軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.【訓(xùn)練 1】 已知函數(shù) f(x)ln x12x2的零點為 x0，則 x0所在的區(qū)間是()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)解析f(x

9、)ln x12x2在(0，)上是增函數(shù)，又 f(1)ln 1121ln 120，f(2)ln 2120ln 210.故 f(x)的零點 x0(2，3).答案C考點二函數(shù)零點個數(shù)的判斷【例 2】 (1)函數(shù) f(x)x22，x0，2x6ln x，x0的零點個數(shù)是_.(2)函數(shù) f(x)2x|log0.5x|1 的零點個數(shù)為_.A.1B.2C.3D.4解析(1)當 x0 時，令 x220，解得 x 2(正根舍).所以在(，0上有一個零點.當 x0 時，f(x)21x0 恒成立，所以 f(x)在(0，)上是增函數(shù).又因為 f(2)2ln 20，所以 f(x)在(0，)上有一個零點，綜上，函數(shù) f(x

10、)的零點個數(shù)為 2.(2)令 f(x)2x|log0，5x|10，得|log0.5x|12x.設(shè) g(x)|log0.5x|，h(x)12x，在同一坐標系下分別畫出函數(shù)g(x)，h(x)的圖象(如圖).由圖象知，兩函數(shù)的圖象有兩個交點，因此函數(shù) f(x)有 2個零點.答案(1)2(2)B規(guī)律方法函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：(1)直接求零點，令 f(x)0，有幾個解就有幾個零點；(2)零點存在性定理，要求函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且 f(a)f(b)0，再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點個數(shù)；(3)利用圖象交點個數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點個數(shù)即得零點個數(shù).【訓(xùn)練 2】 (20 xx湖北

11、卷)f(x)2sin xsinx2 x2的零點個數(shù)為_.解析f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2， 則函數(shù)的零點即為函數(shù) ysin 2x 與函數(shù)yx2圖象的交點，如圖所示，兩圖象有 2 個交點，則函數(shù)有 2 個零點.答案2考點三函數(shù)零點的應(yīng)用【例 3】 (20 xx昆明調(diào)研)已知定義在 R 上的偶函數(shù) f(x)滿足 f(x4)f(x)，且在區(qū)間0，2上 f(x)x，若關(guān)于 x 的方程 f(x)logax 有三個不同的實根，求 a 的取值范圍.解由 f(x4)f(x)知，函數(shù)的周期 T4.又 f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)f(4x)，因此函數(shù) yf(x)的圖象關(guān)于 x2 對稱.

12、又 f(2)f(6)f(10)2.要使方程 f(x)logax 有三個不同的實根.由函數(shù)的圖象(如圖)，必須有f（6）2，a1.即loga62，a1.解之得 6a0(aR)，若函數(shù) f(x)在 R 上有兩個零點，則 a 的取值范圍是()A.(，1)B.(，0)C.(1，0)D.1，0)(2)(20 xx山東卷)已知函數(shù) f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中 m0.若存在實數(shù) b，使得關(guān)于 x 的方程 f(x)b 有三個不同的根，則 m 的取值范圍是_.解析(1)當 x0 時，f(x)3x1 有一個零點 x13.因此當 x0 時，f(x)exa0 只有一個實根，aex(x0)，則1a

13、m 時，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程 f(x)b 有三個不同的根，則有 4mm20.又 m0，解得 m3.答案(1)D(2)(3，)考點四構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題(易錯警示)【例 4】 (1)(20 xx四川卷)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司全年投入研發(fā)資金 130 萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長 12%， 則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過 200 萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A.B.C.D.2021 年(2)(20 xx河南省實驗中學(xué)期中)為了降低能源損耗，某體育館的外墻需

14、要建造隔熱層，體育館要建造可使用 20 年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為 6 萬元.該建筑物每年的能源消耗費用 C(單位：萬元)與隔熱層厚度 x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)k3x5(0 x10，k 為常數(shù))，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8 萬元，設(shè) f(x)為隔熱層建造費用與 20 年的能源消耗費用之和.求 k 的值及 f(x)的表達式；隔熱層修建多厚時，總費用 f(x)達到最??？并求最小值.(1)解析設(shè)后的第 n 年該公司投入的研發(fā)資金為 y 萬元，則 y130(112%)n.依題意 130(112%)n200，得 1.12n2013.兩邊取對數(shù)，得 nlg1.12lg 2lg

15、 1.3nlg 2lg 1.3lg 1.120.300.110.05195，n4，從開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過 200 萬元.答案B(2)解當 x0 時，C8，k40，C(x)403x5(0 x10)，f(x)6x20403x56x8003x5(0 x10).由得 f(x)2(3x5)8003x510.令 3x5t，t5，35，則 y2t800t1022t800t1070，當且僅當 2t800t即 t20 時“”成立，此時由 3x520 得 x5.函數(shù) y2t800t10 在 t20 時取得最小值，此時 x5，因此 f(x)的最小值為 70.隔熱層修建 5 cm 厚時，總費用 f(x)

16、達到最小，最小值為 70 萬元.規(guī)律方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的常見類型與求解方法：構(gòu)建二次函數(shù)模型，常用配方法、數(shù)形結(jié)合、分類討論思想求解.構(gòu)建分段函數(shù)模型，應(yīng)用分段函數(shù)分段求解的方法.構(gòu)建 f(x)xax(a0)模型，常用基本不等式、導(dǎo)數(shù)等知識求解.(2)解函數(shù)應(yīng)用題的程序是：審題；建模；解模；還原.易錯警示求解過程中不要忽視實際問題是對自變量的限制.【訓(xùn)練 4】 (1)(20 xx成都調(diào)研)某食品的保鮮時間 y(單位：小時)與儲藏溫度 x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系 yekxb(e2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b 為常數(shù)).若該食品在 0 的保鮮時間是 192 小時，在 22 的保鮮

17、時間是 48 小時，則該食品在33 的保鮮時間是_小時.(2)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度 v(單位：千米/時)是車流密度 x(單位：輛/千米)的函數(shù).當橋上的車流密度達到 200 輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為 0；當車流密度不超過20 輛/千米時，車流速度為 60 千米/時.研究表明：當 20 x200 時，車流速度 v是車流密度 x 的一次函數(shù).當 0 x200 時，求函數(shù) v(x)的表達式；當車流密度 x 為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時)f(x)xv(x)可以達到最大，并求出最大值(精確到

18、1 輛/時).(1)解析由已知條件，得 192eb又 48e22kbeb(e11k)2e11k4819212141212，設(shè)該食品在 33 的保鮮時間是 t 小時，則 te33kb192 e33k192(e11k)319212324.答案24(2)解由題意，得當 0 x20 時，v(x)60；當 20 x200 時，設(shè) v(x)axb(a0)，所以200ab0，20ab60，解得a13，b2003.故當 0 x200 時，函數(shù) v(x)的表達式為v(x)60，0 x20，13（200 x） ，20 x200.依題意并由(1)可得f(x)60 x，0 x20，13x（200 x） ，20 x20

19、0.當 0 x20 時，f(x)為增函數(shù)，所以 f(x)在區(qū)間0，20上的最大值為 f(20)60201 200；當 20 x200 時，f(x)13x(200 x)13x（200 x）2210 0003，當且僅當 x200 x，即 x100 時，等號成立.所以當 x100 時，f(x)在區(qū)間(20，200上取得最大值10 0003.綜上可知，當 x100 時，f(x)在區(qū)間0，200上取得最大值10 00033 333，即當車流密度為 100 輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為 3 333 輛/時.思想方法1.轉(zhuǎn)化思想在函數(shù)零點問題中的應(yīng)用方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的個

20、數(shù)問題； 已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題.2.判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法(1)通過解方程來判斷.(2)根據(jù)零點存在性定理，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)來判斷.(3)將函數(shù) yf(x)g(x)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù) yf(x)與 yg(x)圖象公共點的個數(shù)來判斷.3.求解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題.易錯防范1.函數(shù)的零點不是點，是方程 f(x)0 的實根.2.函數(shù)

21、零點的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點， 而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件.3.函數(shù)模型應(yīng)用不當，是常見的解題錯誤.所以，要正確理解題意，選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型.并根據(jù)實際問題，合理確定函數(shù)的定義域.4.注意問題反饋.在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個數(shù)學(xué)結(jié)果對實際問題的合理性.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40 分鐘)一、選擇題1.(20 xx贛中南五校聯(lián)考)函數(shù) f(x)3xx2的零點所在區(qū)間是()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，1)D.(1，0)解析由于 f(1)230，f(1)f(0)1，則函數(shù) f(

22、x)的零點為()A.12，0B.2，0C.12D.0解析當 x1 時，由 f(x)2x10，解得 x0；當 x1 時，由 f(x)1log2x0，解得 x12，又因為 x1，所以此時方程無解.綜上函數(shù) f(x)的零點只有 0.答案D3.(20 xx杭州調(diào)研)函數(shù) f(x)2x2xa 的一個零點在區(qū)間(1， 2)內(nèi)， 則實數(shù) a 的取值范圍是()A.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2)解析因為函數(shù) f(x)2x2xa 在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，又函數(shù) f(x)2x2xa的一個零點在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則有 f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即 a(a3)0，所以 0a0

23、，f（0）0，即34a0，12a0，解得12a34.故實數(shù) a 的取值范圍為 a|12a0，則使函數(shù) g(x)f(x)xm 有零點的實數(shù) m 的取值范圍是()A.0，1)B.(，1)C.(，1(2，)D.(，0(1，)解析函數(shù) g(x)f(x)xm 的零點就是方程 f(x)xm 的根，畫出 h(x)f(x)xx，x0，exx，x0的大致圖象(圖略).觀察它與直線 ym 的交點，得知當 m0 或 m1 時，有交點，即函數(shù) g(x)f(x)xm 有零點.答案D12.(20 xx石家莊質(zhì)檢)加工爆米花時， 爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，可食用率 p 與加工時間

24、t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系 pat2btc(a，b，c 是常數(shù))，如圖 3 記錄了三次實驗的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為()A.3.50 分鐘B.3.75 分鐘C.4.00 分鐘D.4.25 分鐘解析根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立方程組得0.79a3bc，0.816a4bc，0.525a5bc，消去 c 化簡得7ab0.1，9ab0.3，解得a0.2，b1.5，c2.所以 p0.2t21.5t215t2152t22516 4516215t15421316，所以當t1543.75 時，p 取得最

25、大值，即最佳加工時間為 3.75 分鐘.答案B13.(20 xx紹興調(diào)研)已知 f(x)1x2m|x|，若 f(x)有兩個零點，則實數(shù) m 的值為_；若 f(x)有三個零點，則實數(shù) m 的取值范圍是_.解析函數(shù) f(x)的零點，即為方程1x2m|x|0 即1m|x|(x2)的實數(shù)根，令 g(x)|x|(x2)x22x，x0，x22x，x0，其圖象如圖所示，當 m1 時，g(x)圖象與 y1m有 2 個交點；當 01m1 時，有 3 個交點.答案1(1，)14.設(shè)函數(shù) f(x)|11x|(x0).(1)作出函數(shù) f(x)的圖象；(2)當 0ab，且 f(a)f(b)時，求1a1b的值；(3)若方

26、程 f(x)m 有兩個不相等的正根，求 m 的取值范圍.解(1)如圖所示.(2)f(x)|11x|1x1，x（0，1，11x，x（1，） ，故 f(x)在(0，1上是減函數(shù)，而在(1，)上是增函數(shù).由 0ab 且 f(a)f(b)，得 0a1b，且1a111b，1a1b2.(3)由函數(shù) f(x)的圖象可知，當 0m0 時，根據(jù)定義證明 f(x)在(，2)單調(diào)遞增；(2)求集合 Mkb|函數(shù) f(x)有三個不同的零點.(1)證明當 x(，2)時，f(x)1x2kxb.任取 x1，x2(，2)，設(shè) x2x1.f(x1)f(x2)1x12kx1b1x22kx2b(x1x2)1（x12） （x22）k.由所設(shè)得 x1x20，又 k0，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)2，kx2（b2k）x（2b1）0，與x0 時，u(x)，v(x)開口均向上.由 v(2)10，（b2k）24k（2b1）0，b2k2k2，b2k2 k.當 k0 知 u(x)在(2， )有唯一零點.為滿足 f(x)有三個零點， v(x)在(，2)應(yīng)有兩個不同零點.v（2）0，b2k2k2.b2k2 k.綜合可得 Mkb|b2k2 |k|.