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2、 1 數(shù)學(xué)高考10招（2） 就地取材 無(wú)中生有 ●計(jì)名釋義 這一招是專門對(duì)付開放題的. 開放題有兩種類型：一是開放條件；二是開放結(jié)論. 條件開放的試題，結(jié)論明確、解題方向清楚，但條件不足，也就是條件不充分，屬于“必要不充分”的題型，我們的任務(wù)是補(bǔ)充能使結(jié)論成立的充分條件. 反之，結(jié)論開放的試題，條件充分，但結(jié)論不明確.我們的任務(wù)則是補(bǔ)充必要條件. ●

3、典例示計(jì) 【例1】以下是武漢市某次高中調(diào)考中的一道數(shù)列題： 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若（a1+a3）2=9，an＜0（），則S10等于（ ） 這道題從正面解，你會(huì)發(fā)現(xiàn)無(wú)論走哪條路，都“差條件”，陷入欲進(jìn)不得，欲罷不忍的困境.可是，你是否想到，也可以把選項(xiàng)作條件來(lái)用呢？ 【解析】由于時(shí)恒有an＜0，必S10＜0，排除A、C；設(shè)若S10= -13，即有 10a1+×10×9d=-13，那么a1+d=. （1） 但由（a1+a3）2=9，an＜0可得a1+a3= -3，也就是a1+ d= （2） （1）-（2）：d=，于是d＞0，這與時(shí)恒有an＜0矛盾，故排

4、除D，選B. 本解使用的，正是“就地取材”的計(jì)策.如果你感到題干中的“條件不夠”，陷入“山窮水復(fù)疑無(wú)路”的困境，不妨在選項(xiàng)中就地發(fā)現(xiàn)“柳暗花明又一村”. 那么，什么又是“無(wú)中生有”呢？請(qǐng)看 【例2】06年湖南卷的文科10題： 如圖，OM∥AB，點(diǎn)P在由射線OM，線段OB幾AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且OP=x0A+yOB，則實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）可以是 （ ） 【解析】如圖，設(shè)向量OP符合要求.過(guò)P作 PA1∥AB，交OA于A1，OB于B1，令 ，顯然0＜k＜1. 再令，∵點(diǎn)P在A1B1的延長(zhǎng)線上，

5、 必λ＞1.于是 .于是 . 由（1）知x＜0，排除A；由（1）+（2）得：x+y=k∈（0，1），排除B，D，∴選C. 為了解題的需要，我們不僅添加了輔助線，還引入了k，λ這些參變量，這都是“無(wú)中生有”；又為了免除繁雜的計(jì)算，我們又在選項(xiàng)中“就地取材”. 再請(qǐng)看 【例3】06年湖南卷的理科15題： 如圖，OM∥AB，點(diǎn)P在由射線OM，線段OB幾AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且OP=x0A+yOB，則x的取值范圍是 當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是 【解析】同上題解法，得： 由于k∈（0，1）且λ＞1，∴x＜0.即 當(dāng)時(shí)，∵x+y=k，∴y=k-x=k+∈（）. 【評(píng)

6、注】咋一看湖南這兩道題，的確有“樹高蔭深，叫樵夫難以下手”之感。因?yàn)閮H憑現(xiàn)有圖形，是無(wú)論如何也難以找到正確答案的。唯一可行之路，就是“無(wú)中生有”了，于是筆者按要求隨意畫一條向量（即解圖中的OP）試試看，又想到關(guān)于向量的問(wèn)題多能用平移解決，在作出平行線PA1后，已是豁然開朗，成竹在胸了.這難道不是“無(wú)中生有”的神奇麼？ 例4題圖 【例4】如圖所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中， E、F、G、H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點(diǎn)，N是BC 中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M只要滿足條件 時(shí)，就有MN∥平面B1BDD1（請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一

7、 個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情況）. 【思考】顯然HN∥BD，即得HN∥平面B1BDD1， 為使點(diǎn)M在平面EFGH內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)總有B1BDD1∥MN,只需過(guò)HN 作平面，使之平行于平面在平面B1BDD1,將線面平行的問(wèn)題轉(zhuǎn)化 為面面平行的問(wèn)題. 【解析】連FH，當(dāng)點(diǎn)M在HF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有 MN∥平面B1BDD1證明如下：連 NH ，HF，BD，B1D1， 且平面NHF交B1C1于P.則NH ∥BD，HF∥BB1，故 平面PNHF∥平面BB1D1D.MN平面PNHF， ∴MN∥平面B1BDD1 【例5】 知F(x)是二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的二次函數(shù)， 且對(duì)于任何x∈R,f(2－x)

8、=f(2+x)總成立，問(wèn)f(1－2x2)與 f(1+2x－x2)滿足什么條件時(shí)，才能使－20,解得x<－2或x>0,不能使－2

9、當(dāng)f(1－2x2)>f(1+2x－x2)時(shí)，1－2x2>1+2x－x2, 即x2+2x<0,解得－2f(1+2x－x2)時(shí)，才能使－2

10、為an=. (1)如an=·2n－1，設(shè)存在題設(shè)要求的m∈N,則2×. 化簡(jiǎn)得：22m－7·2m－8=02m=8,∴m=3. （2）如設(shè)存在m∈N, 使. 化簡(jiǎn)得： 4(26－m)2－11·26－m－8=0,這里Δ=112+16×8=249不是完全平方數(shù).∴符合條件的m不存在. 綜上所述，能構(gòu)造出滿足條件①，②，③的等比數(shù)列，該自然數(shù)m=3,數(shù)列的通項(xiàng)公式為： . 【例6】 將二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c對(duì)應(yīng)于一次函數(shù)g(x)=2ax+b. （1）求f(x)=x2+2x+1對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)g(x). （2）觀察后請(qǐng)寫出這個(gè)對(duì)應(yīng)法則. （3）可以用g(x)的

11、某些性質(zhì)來(lái)研究f(x)的性質(zhì)：當(dāng)g(x)>0時(shí)，對(duì)應(yīng)的f(x)的性質(zhì)有哪些？ （4）你還能研究另外的某些性質(zhì)嗎？ （5）設(shè)g(x)=x，寫出與g(x)對(duì)應(yīng)的f(x)的三個(gè)不同的解析式. 【思考】 本例是結(jié)論開放型試題，解題時(shí)要求根據(jù)已知條件將結(jié)論（必要條件）補(bǔ)充完整.f(x)與g(x)是什么關(guān)系？我們?nèi)菀子蒮′(x)=2ax+b,知f′(x)=g(x),可見，只有當(dāng)g(x)=f′(x)時(shí)，才有可能用g(x)的性質(zhì)來(lái)研究f(x)的某些性質(zhì). 【解答】 (1)∵a=1,b=2，∴g(x)=2x+2. （2）①g(x)的一次項(xiàng)系數(shù)是f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)與其次數(shù)的積； ②g(x)的常數(shù)項(xiàng)等

12、于f(x)的一次項(xiàng)系數(shù). (3)g(x)>0，即2ax+b>0,當(dāng)a>0時(shí)，x>－,而x=－是f(x)的對(duì)稱軸，故這時(shí)f(x)是單調(diào)增函數(shù)；a<0時(shí),x<－,f(x)仍為單調(diào)增函數(shù)(前者單調(diào)區(qū)間為.后者單調(diào)區(qū)間為). (4)當(dāng)g(x)<0時(shí)，f(x)是單調(diào)減函數(shù)(請(qǐng)仿照（3）證明之). (5)g(x)=x時(shí)，2ax+b=x,知a=,b=0.只須在f(x)=ax2+bx+c中，命a=,b=0,c取任意值即可，如f(x)= x2+1,f(x)=x2+,f(x)= x2+5. 【小結(jié)】 指導(dǎo)開放題解法的理論依據(jù)是充分必要條件，即若AB,則稱A為B的充分條件，B為A的必要條件. ●考前預(yù)

13、演 第1題圖 1.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，O為CD上的動(dòng)點(diǎn)， 四邊形ABCD滿足條件 時(shí)，VP—AOB恒為定 值（寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可）.    2.對(duì)于x∈R,試確定y=的所有可能的值. 3.已知|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為120°,當(dāng)k為何值時(shí)， （1）ka－b與a－kb垂直？ （2）|ka－2b|取得最小值? 4.已知圓O′過(guò)定點(diǎn)A（0,P）(P>0),圓心O′在拋物線x2=2Py上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O′在x軸上截得的弦，令|AM|=d1,|AN|=d2,∠MAN=θ. （1）當(dāng)O′運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|是否有變化，并證明你的結(jié)論； （2）求的最大值,并求取得最大值的θ的值.