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2、 1 課時規(guī)范練39　直線及其方程 一、選擇題 1.直線經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)(-1,-1),則它的傾斜角α是(　　) A.45° B.135° C.45°或135° D.0° 答案:A 解析:直線的斜率k==1,∴tan α=1.∴α=45°.[來源:] 2.已知點(diǎn)P(3,m)在過M(2,-1)和N(-3,4)的直線上,則m的值是(　　) A.5 B.2 C.-2 D.-6

3、 答案:C 解析:過點(diǎn)M,N的直線方程為.[來源:] 又∵P(3,m)在這條直線上,∴,m=-2. 3.一次函數(shù)y=-x+的圖象同時經(jīng)過第一、二、四象限的必要不充分條件是(　) A.m>1,且n>1 B.mn>0 C.m>0,且n<0 D.m>0,且n>0 答案:B 解析:因?yàn)閥=-x+經(jīng)過第一、二、四象限,故-<0,>0,即m>0,n>0,但此為充要條件,因此,其必要不充分條件為mn>0,故選B. 4.設(shè)A,B是x軸上的兩點(diǎn),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,且|PA|=|PB|,若直線PA的方程為x-y+1=0,則直線PB的方程是(　　) A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.

4、2x-y-4=0 D.2x+y-7=0 答案:A 解析:易知A(-1,0). ∵|PA|=|PB|, ∴P在AB的中垂線即x=2上.∴B(5,0). ∵PA,PB關(guān)于直線x=2對稱,∴kPB=-1. ∴l(xiāng)PB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0. 5.已知函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1),當(dāng)x<0時,f(x)>1,方程y=ax+表示的直線是(　　) 答案:C 解析:∵f(x)=ax且x<0時,f(x)>1, ∴01. 又∵y=ax+, 令x=0得y=, 令y=0得x=-. ∵, 故C項(xiàng)圖符合要求. 6.如圖,直角坐標(biāo)平面內(nèi)的正六邊形

5、ABCDEF的中心在原點(diǎn),邊長為a,AB邊平行于x軸,直線l:y=kx+t(k為常數(shù))與正六邊形交于M,N兩點(diǎn),記△OMN的面積為S,則關(guān)于函數(shù)S=f(t)的奇偶性的判斷正確的是(　) A.f(t)一定是奇函數(shù) B.f(t)一定是偶函數(shù) C.f(t)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù) D.f(t)的奇偶性與k有關(guān) 答案:B 解析:設(shè)M點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為M',N點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為N',易知點(diǎn)M',N'在正六邊形的邊上.當(dāng)直線l在某一個確定的位置時,對應(yīng)有一個t值,那么易得直線M'N'的斜率仍為k,且直線M'N'在y軸上的截距為-t,顯然△OMN的面積等于△OM'N'的面積,因此函數(shù)S=f

6、(t)一定是偶函數(shù),選B. 二、填空題 7.直線ax+my-2a=0(m≠0)過點(diǎn)(1,1),則該直線的傾斜角為　　　　　.? 答案:135° 解析:∵ax+my-2a=0(m≠0)過點(diǎn)(1,1), ∴a+m-2a=0. ∴m=a.直線方程為ax+ay-2a=0,[來源:] 又m=a≠0, ∴直線方程即為x+y-2=0. ∴斜率k=-1.∴傾斜角α=135°. 8.若A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三點(diǎn)共線,則=　　　　　.? 答案: 解析:設(shè)直線方程為=1,因?yàn)锳(2,2)在直線上, 所以=1,即. 9.已知θ∈R,則直線xsin θ-y+1=

7、0的傾斜角的取值范圍是　　　　　.? 答案:[0°,30°]∪[150°,180°) 解析:k=sin θ,∵θ∈R, ∴k∈, ∴傾斜角α∈[0°,30°]∪[150°,180°). 10.函數(shù)y=asin x-bcos x的一個對稱軸方程為x=,則直線ax-by+c=0的傾斜角為　　　　　.? 答案:135° 解析:令f(x)=asin x-bcos x,由于f(x)的一條對稱軸為x=,得f(0)=f,即-b=a,=-1.∴直線ax-by+c=0的斜率為-1,傾斜角為135°. 三、解答題 11.已知直線l1的方向向量為a=(1,3),直線l2的方向向量為b=(-1,k)

8、.若直線l2經(jīng)過點(diǎn)(0,5)且l1⊥l2,求直線l2的方程. 解:由已知條件知=3,=-k.∵l1⊥l2,∴3×(-k)=-1. ∴k=,即=-.又∵直線l2過點(diǎn)(0,5), ∴l(xiāng)2的方程為y=-x+5,即x+3y-15=0. 12.求下列直線l的方程: (1)過點(diǎn)A(0,2),它的傾斜角的正弦值是; (2)過點(diǎn)A(2,1),它的傾斜角是直線l1:3x+4y+5=0的傾斜角的一半. 解:(1)設(shè)直線l的傾斜角為α,則sin α=,tan α=±, 由斜截式得y=±x+2,即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0. (2)設(shè)直線l和l1的傾斜角分別為α,β, 則α=,又tan

9、 β=-,則-, 解得tan α=3或tan α=-(舍去). 由點(diǎn)斜式得y-1=3(x-2), 即直線l的方程為3x-y-5=0. 13.設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a∈R), (1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求l的方程; (2)若l不經(jīng)過第二象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:(1)∵l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等, ∴直線l的斜率存在,a≠-1. 令x=0,得y=a-2.令y=0,得x=. 由a-2=,解得a=2或a=0. ∴所求直線l的方程為3x+y=0或x+y+2=0. (2)直線l的方程可化為y=-(a+1)x+a-2. ∵l不經(jīng)過第二象限,∴∴

10、a≤-1. ∴a的取值范圍為(-∞,-1]. 14.已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R), (1)求證:直線l過定點(diǎn); (2)若直線l不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍; (3)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸正半軸于點(diǎn)B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)△AOB的面積為S,求S的最小值及此時直線l的方程. (1)證明:設(shè)直線過定點(diǎn)(x0,y0), 則kx0-y0+1+2k=0對任意k∈R恒成立,[來源:] 即(x0+2)k-y0+1=0恒成立. 所以x0+2=0,-y0+1=0. 解得x0=-2,y0=1,故直線l總過定點(diǎn)(-2,1). (2)解:直線l的方程為y=kx+2k+1

11、, 則直線l在y軸上的截距為2k+1, 要使直線l不經(jīng)過第四象限, 則解得k的取值范圍是k≥0. (3)解:依題意,直線l在x軸上的截距為-,在y軸上的截距為1+2k,∴A,B(0,1+2k). 又-<0且1+2k>0, ∴k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k) =(4+4)=4, 當(dāng)且僅當(dāng)4k=,即k=時,取等號. 故S的最小值為4,此時直線l的方程為x-2y+4=0. 四、選做題 1.設(shè)m,n∈R,若直線l:mx+ny-1=0與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)B,且坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為,則△AOB的面積S的最小值為(　　) A. B.2 C.3 D.4

12、 答案:C 解析:原點(diǎn)O到直線l的距離d=,∴m2+n2=,在直線l的方程中,令y=0可得x=,即直線l與x軸交于點(diǎn)A,令x=0可得y=,即直線l與y軸交于點(diǎn)B, ∴S△AOB=|OA|·|OB|=··=3,當(dāng)且僅當(dāng)|m|=|n|時上式取等號,由于m2+n2=,故當(dāng)m2=n2=時,△AOB面積取最小值3. 2.如圖,已知A(4,0),B(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上,最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn),則光線所經(jīng)過的路程是　　　　　.? 答案:2 3.已知過點(diǎn)P(1,2)的直線分別與x軸和y軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn).求: (1)y軸上的截距是

13、x軸上的截距的兩倍時直線的方程; (2)|PA|·|PB|取最小值時直線的方程. 解:(1)設(shè)所求直線的方程為=1,即2x+y-2a=0. 因?yàn)橹本€l過點(diǎn)P(1,2), 所以2×1+2-2a=0,即a=2, 所以所求直線的方程為2x+y-4=0. (2)設(shè)所求直線的方程為y-2=k(x-1), 由題意可知k<0, 令x=0,則y=2-k;令y=0,則x=1-, 所以A,B(0,2-k),[來源:] |PA|2·|PB|2=·[1+(-k)2]=8+4k2+ ≥8+2=16, 當(dāng)且僅當(dāng)4k2=,即k=-1時取等號. 所以|PA|·|PB|的最小值是4時,直線的方程為x+y-3=0.