《新編高考數(shù)學浙江專用總復習教師用書：第2章 第4講　冪函數(shù)與二次函數(shù) Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《新編高考數(shù)學浙江專用總復習教師用書：第2章 第4講　冪函數(shù)與二次函數(shù) Word版含解析（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第第 4 講講冪函數(shù)與二次函數(shù)冪函數(shù)與二次函數(shù)最新考綱1.了解冪函數(shù)的概念；掌握冪函數(shù) yx，yx2，yx3，yx12，y1x的圖象和性質(zhì)；2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關系解決簡單問題.知 識 梳 理1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如 yx的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中 x 是自變量，為常數(shù).(2)常見的 5 種冪函數(shù)的圖象(3)常見的 5 種冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yx12yx1定義域RRR0，)x|xR，且 x0值域R0，)R0， )y|yR，且 y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式：一般式：f(x)ax2bx

2、c(a0).頂點式：f(x)a(xm)2n(a0)，頂點坐標為(m，n).零點式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2為 f(x)的零點.(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0 時，冪函數(shù) yxn在(0，)上是增函數(shù).()(3)二次函數(shù) yax2bxc(xR)不可能是偶函數(shù).()(4)二次函數(shù) yax2bxc(xa，b)的最值一定是4acb24a.()解析(1)由于冪函數(shù)的解析式為 f(x)x，故 y2x13不是冪函數(shù)，(1)錯.(3)由于當 b0 時，yax2bxcax2c 為偶函數(shù)，故(3)錯.(4)對稱軸 xb2a，當b2a小

3、于 a 或大于 b 時，最值不是4acb24a，故(4)錯.答案(1)(2)(3)(4)2.(20 xx全國卷)已知 a243，b323，c2513，則()A.bacB.abcC.bcaD.caab.答案A3.已知 f(x)x2pxq 滿足 f(1)f(2)0，則 f(1)的值是()A.5B.5C.6D.6解析由 f(1)f(2)0 知方程 x2pxq0 的兩根分別為 1，2，則 p3，q2，f(x)x23x2，f(1)6.答案C4.(20 xx杭州測試)若函數(shù) f(x)是冪函數(shù)，則 f(1)_，若滿足 f(4)8f(2)，則 f13 _.解析由題意可設 f(x)x，則 f(1)1，由 f(4

4、)8f(2)得 482，解得3，所以 f(x)x3，故 f13 133127.答案11275.若冪函數(shù)y(m23m3)xm2m2的圖象不經(jīng)過原點， 則實數(shù)m的值為_.解析由m23m31，m2m20，解得 m1 或 2.經(jīng)檢驗 m1 或 2 都適合.答案1 或 26.若函數(shù) f(x)x22(a1)x2 在區(qū)間(，3上是減函數(shù)，則實數(shù) a 的取值范圍是_.解析二次函數(shù) f(x)圖象的對稱軸是 x1a，由題意知 1a3，a2.答案(，2考點一冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例 1】 (1)(20 xx濟南診斷測試)已知冪函數(shù) f(x)kx的圖象過點12，22 ，則 k等于()A.12B.1C.32D.2(2)若

5、(2m1)12(m2m1)12，則實數(shù) m 的取值范圍是()A.， 512B.512，C.(1，2)D.512，2解析(1)由冪函數(shù)的定義知 k1.又 f12 22，所以1222，解得12，從而 k32.(2)因為函數(shù) yx12的定義域為0，)，且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以不等式等價于2m10，m2m10，2m1m2m1.解得m12，m 512或 m512，1m2，即512m0 時，圖象過原點和(1，1)，在第一象限的圖象上升；當0時，圖象不過原點，過(1，1)，在第一象限的圖象下降.(3)在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較，準確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性

6、質(zhì)是解題的關鍵.【訓練 1】 (1)冪函數(shù) yf(x)的圖象過點(4，2)，則冪函數(shù) yf(x)的圖象是()(2)已知冪函數(shù) f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的圖象關于 y 軸對稱，且在(0，)上是減函數(shù)，則 n 的值為()A.3B.1C.2D.1 或 2解析(1)設 f(x)x(R)，則 42，12，因此 f(x)x12，根據(jù)圖象的特征，C 正確.(2)冪函數(shù) f(x)(n22n2)xn23n在(0，)上是減函數(shù)，n22n21，n23n0，其圖象如圖所示，又x4，6，f(|x|)在區(qū)間4，1)和0，1)上為減函數(shù)，在區(qū)間1，0)和1，6上為增函數(shù).規(guī)律方法解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時

7、要注意：(1)拋物線的開口、對稱軸位置、定義區(qū)間三者相互制約，常見的題型中這三者有兩定一不定，要注意分類討論；(2)要注意數(shù)形結合思想的應用， 尤其是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題， 先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)，事半功倍.【訓練 2】 (1)設 abc0，二次函數(shù) f(x)ax2bxc 的圖象可能是()(2)(20 xx武漢模擬)若函數(shù) f(x)(xa)(bx2a)(常數(shù) a，bR)是偶函數(shù)，且它的值域為(，4，則該函數(shù)的解析式 f(x)_.解析(1)由 A，C，D 知，f(0)c0，所以 ab0，知 A，C 錯誤，D 滿足要求；由 B 知 f(0)c0，所以 ab0，所以 x

8、b2axk 在區(qū)間3，1上恒成立，試求 k 的取值范圍.解(1)由題意知b2a1，f（1）ab10，解得a1，b2.所以 f(x)x22x1，由 f(x)(x1)2知，函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，1.(2)由題意知，x22x1xk 在區(qū)間3，1上恒成立，即 kx2x1 在區(qū)間3，1上恒成立，令 g(x)x2x1，x3，1，由 g(x)x12234知 g(x)在區(qū)間3，1上是減函數(shù)，則 g(x)ming(1)1，所以 k1，故 k 的取值范圍是(，1).規(guī)律方法(1)對于函數(shù) yax2bxc，若是二次函數(shù)，就隱含著 a0，當題目未說明是二次函數(shù)時，就要分 a0 和 a

9、0 兩種情況討論.(2)由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，其依據(jù)是 af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.【訓練 3】 (20 xx九江模擬)已知 f(x)x22(a2)x4， 如果對 x3， 1， f(x)0 恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍為_.解析因為 f(x)x22(a2)x4，對稱軸 x(a2)，對 x3，1，f(x)0 恒成立，所以討論對稱軸與區(qū)間3，1的位置關系得：（a2）3，f（3）0，或3（a2）1，0，或（a2）1，f（1）0，解得 a或 1a4 或12a1，所以 a 的取值范圍為12，4.答案12，4命題角度二二次函數(shù)的

10、零點問題【例 32】 (20 xx全國卷)已知函數(shù) f(x)(xR)滿足 f(x)f(2x)，若函數(shù) y|x22x3|與 yf(x)圖象的交點為(x1， y1)， (x2， y2)， ， (xm， ym)， 則 mi1xi()A.0B.mC.2mD.4m解析由f(x)f(2x)知函數(shù)f(x)的圖象關于直線x1對稱.又y|x22x3|(x1)24|的圖象也關于直線 x1 對稱，所以這兩函數(shù)的交點也關于直線 x1 對稱.不妨設 x1x20 時，圖象過原點和(1，1)點，在第一象限的部分“上升”；f(1)，則()A.a0，4ab0B.a0，2ab0D.af(1)，所以函數(shù)圖象應開口向上，即 a0，且

11、其對稱軸為 x2，即b2a2，所以 4ab0.答案A3.在同一坐標系內(nèi)，函數(shù) yxa(a0)和 yax1a的圖象可能是()解析若 a0，yxa的圖象知排除 A，B 選項，但 yax1a的圖象均不適合，綜上選B.答案B4.若函數(shù) f(x)x2axa 在區(qū)間0，2上的最大值為 1，則實數(shù) a 等于()A.1B.1C.2D.2解析函數(shù) f(x)x2axa 的圖象為開口向上的拋物線，函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點取得，f(0)a，f(2)43a，a43a，a1或a43a，43a1，解得 a1.答案B5.若關于 x 的不等式 x24x2a0 在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解，則實數(shù) a 的取值范圍是()A.(，2)B.

12、(2，)C.(6，)D.(，6)解析不等式 x24x2a0 在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解等價于 a(x24x2)max，令 f(x)x24x2，x(1，4)，所以 f(x)f(4)2，所以 a1225，得223123253，即 PRQ.答案PRQ7.若 f(x)x22ax 與 g(x)ax1在區(qū)間1，2上都是減函數(shù)，則 a 的取值范圍是_.解析由 f(x)x22ax 在1，2上是減函數(shù)可得1，2a，)，a1.y1x1在(1，)上為減函數(shù)，由 g(x)ax1在1，2上是減函數(shù)可得 a0，故 0f(a1)的實數(shù) a 的取值范圍.解冪函數(shù) f(x)的圖象經(jīng)過點(2， 2)， 22(m2m)1，即 2122

13、(m2m)1.m2m2.解得 m1 或 m2.又mN*，m1.f(x)x12，則函數(shù)的定義域為0，)，并且在定義域上為增函數(shù).由 f(2a)f(a1)得2a0，a10，2aa1，解得 1a1，即 a12時，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即 a1 滿足題意.綜上可知，a13或1.能力提升題組(建議用時：25 分鐘)11.(20 xx浙江卷)已知函數(shù) f(x)x2bx， 則“b0”是“f(f(x)的最小值與 f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析f(x)x2bxxb22b24，當 xb2時，f(x)minb24.又 f

14、(f(x)(f(x)2bf(x)f（x）b22b24，當 f(x)b2時，f(f(x)minb24，當b2b24時，f(f(x)可以取到最小值b24，即 b22b0，解得 b0 或 b2，故“b0，若 a，bR，且 ab0，則 f(a)f(b)的值()A.恒大于 0B.恒小于 0C.等于 0D.無法判斷解析依題意，冪函數(shù) f(x)在(0，)上是增函數(shù)，m2m11，4m9m510，解得 m2，則 f(x)x2 015.函數(shù) f(x)x2 015在 R 上是奇函數(shù)，且為增函數(shù).由 ab0，得 ab，f(a)f(b)，則 f(a)f(b)0.答案A13.已知函數(shù) f(x)2x，x2，（x1）3，x2

15、，若關于 x 的方程 f(x)k 有兩個不同的實根，則實數(shù) k 的取值范圍是_.解析作出函數(shù) yf(x)的圖象如圖.則當 0k0，bR，cR).(1)若函數(shù) f(x)的最小值是 f(1)0，且 c1，F(xiàn)(x)f（x） ，x0，f（x） ，x0，（x1）2，x0.F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由 a1，c0，得 f(x)x2bx，從而|f(x)|1 在區(qū)間(0， 1上恒成立等價于1x2bx1 在區(qū)間(0， 1上恒成立，即 b1xx 且 b1xx 在(0，1上恒成立.又1xx 的最小值為 0，1xx 的最大值為2.2b0.故 b 的取值范圍是2，0.15.(20 xx嘉興模擬)已知

16、 mR，函數(shù) f(x)x2(32m)x2m.(1)若 0m12，求|f(x)|在1，1上的最大值 g(m)；(2)對任意的 m(0，1，若 f(x)在0，m上的最大值為 h(m)，求 h(m)的最大值.解(1)f(x)x32m224m28m174，則對稱軸為 x32m2，由 0m12，得 02m1，則 132m232，故函數(shù) f(x)在1，1上為增函數(shù)，則當 x1 時，函數(shù) f(x)取得最大值，f(1)4m；當 x1 時，函數(shù) f(x)取得最小值 f(1)3m2.又0m12，03m32，2|f(1)|，即|f(x)|在1，1上的最大值 g(m)f(1)4m.(2)由(1)知函數(shù)的對稱軸為 x3

17、2m2，且函數(shù)開口向下，由 0m1，則 02m2，所以1232m232，若 m32m2， 即 032m2，即34m1 時，函數(shù) f(x)在0，m上不單調(diào)，此時當 x32m2時，函數(shù) f(x)取得最大值 h(m)m22m174，即 h(m)m22m174，34m1，3m24m2，0m34，當 0m34時，h(m)3m24m2 的對稱軸為 m42（3）23，即當 m23時，函數(shù) h(m)取得最大值 h23 32324232103.當34m1 時， h(m)m22m174的對稱軸為 m1， 此時函數(shù) h(m)在34，1上為減函數(shù)，則函數(shù) h(m)h34 3422341745316103.所以 h(m)的最大值為103.