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1、
階段復(fù)習(xí)小綜合一
一.選擇題
1.已知集合,,則=( ).
A. {1,2} B. {0,1,2} C. {1} D. {1,2,3}
【答案】A
【解析】,∴,故選A.
2.設(shè)命題,則為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】命題是全稱命題,苦否定是特稱命題: .故選B.
3. 【福建省莆田期中】下列選項(xiàng)中,說法正確的個(gè)數(shù)是( )
①命題“”的否定為“”;②命題“在中, ,則”的逆否命題為真命題;③設(shè)是公比為的等比數(shù)列,則“”是“為遞增數(shù)列”的充分必要條件;④若統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的方差為,
2、則的方差為;⑤若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值越接近1.
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
【答案】A
4.【江西省贛州市期中】等比數(shù)列中, ,則“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
5.已知,則的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題得: ,而,所以而,又,所以c最小,又, 又,所以,故選C
6. 【黑龍江省齊齊哈爾第一次模擬】函數(shù)的大致圖象為(
3、 )
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí), ,排除B,D,當(dāng)x時(shí), ,排除C,故選:A
7.已知,若,則( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)?,則,所以,由于,因此,即,所以,即,應(yīng)選答案C.
8.【安溪四校期中聯(lián)考】定義在R上的函數(shù)滿足 時(shí), 則 ( )
A. 1 B. C. D.
【答案】C
9.已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),所以 ,所以函數(shù)
4、與圖像有兩交點(diǎn),顯然,當(dāng)兩函數(shù)圖像相切時(shí),設(shè)切點(diǎn),則, ,所以,解得,所以,故選A.
10.已知函數(shù)的周期為,當(dāng)時(shí), 如果,則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知,在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)的圖象和 的圖象,如下圖所示,當(dāng) 時(shí), 為增函數(shù),且 ,當(dāng) 時(shí), ,兩個(gè)函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn),根據(jù)它們的圖象都是關(guān)于直線 對(duì)稱,結(jié)合圖象知有8個(gè)交點(diǎn),利用對(duì)稱性,這8個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為,即所有零點(diǎn)之和為8.選A.
11.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,若對(duì)于任意, 恒成立,則的取值范圍是( )
A
5、. B. C. D.
【答案】B
12.【廣西賀州市第四次聯(lián)考】已知表示不大于的最大整數(shù),若函數(shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】若,當(dāng), , .,∴當(dāng),即時(shí), 在上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng), , , , ,故在上無零點(diǎn).若,當(dāng), 在上無零點(diǎn).當(dāng), , .∴當(dāng),即(此時(shí)對(duì)稱軸)時(shí), 在上有一個(gè)零點(diǎn).故當(dāng)時(shí), 在上僅有一個(gè)零點(diǎn).選D
二.填空題
13.函數(shù)的定義域?yàn)開_________.
【答案】
14.函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),則________.
【答案】-4
【解析】函數(shù)
6、是奇函數(shù),所以圖象關(guān)于原點(diǎn) 對(duì)稱,則函數(shù) 的圖象由函數(shù)的圖象先向下平移2個(gè)單位,再向右平移1個(gè)單位得到,所以函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,所以.
15.對(duì)正整數(shù),設(shè)曲線在處的切線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,則數(shù)列的前項(xiàng)和等于__________.
【答案】
【解析】,所以在處的切線的斜率為,所以切線方程為: ,令故, =,所以數(shù)列的前項(xiàng)和為等比數(shù)列求和
16.【天津市實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中】對(duì)于函數(shù),設(shè),若存在,使得,則稱互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.若函數(shù)與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
三.解答題
17.已知函數(shù)(其中,為常數(shù)且)在處取得極值.
(Ⅰ)當(dāng)
7、時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若在上的最大值為1,求的值.
【解析】(Ⅰ)因?yàn)?,所以,因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值,,當(dāng)時(shí),,,由,得或;由,得,即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為.
(Ⅱ)因?yàn)?,令,,,因?yàn)樵谔幦〉脴O值,所以,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以在區(qū)間上的最大值為,令,解得,當(dāng),,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以最大值1可能的在或處取得,而,所以,解得;當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以最大值1可能在或處取得,而,所以,解得,與矛盾.當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所最大值1可能在處取得,而,矛盾.綜上所述,或.
18.已知函數(shù),,
8、
(1)當(dāng),求的最小值,
(2)當(dāng)時(shí),若存在,使得對(duì)任意,成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)已知等價(jià)于 ,由(1)知時(shí)在上 ,而 ,當(dāng), ,所以 ,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
19.已知函數(shù),.
(Ⅰ)若與相切,求的值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),為上一點(diǎn),為上一點(diǎn),求的最小值;
(Ⅲ),使成立,求參數(shù)的取值范圍.
【解析】(1)設(shè)切點(diǎn)為,則,解得或(舍)
所以切點(diǎn)為,代入,得.
(2),設(shè)的兩根
0
增
極大值
減
由(1)知與在處相切且,所以當(dāng)時(shí),與無交點(diǎn),的最小值為切線與的距離,即.
(3)由題意得,即.
設(shè),則問題轉(zhuǎn)化為即可,通過求導(dǎo)
9、可得,
所以
20.已知函數(shù),.
(1)分別求函數(shù)與在區(qū)間上的極值;
(2)求證:對(duì)任意,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當(dāng)時(shí),,,故;
當(dāng)時(shí),,令,則,
故在上遞增,在上遞減,,;
綜上,對(duì)任意,.
21.已知函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(1)設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn),求的值;
(2)函數(shù)的的導(dǎo)函數(shù)為,若在上恰有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
(2)令,所以,設(shè),
則,因?yàn)楹瘮?shù)在上單增,若在上恰有兩個(gè)零點(diǎn),則在有一個(gè)零點(diǎn),所以,∴在上遞減,在上遞增,所以在上有最小值,因?yàn)椋ǎO(shè)(),則,令,得,當(dāng)時(shí),,遞增,當(dāng)時(shí),,遞減,所以,∴恒成立,若有兩個(gè)零點(diǎn),則有,,,由,,得,綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
22. 【江西省贛州期中】已知為常數(shù), ,函數(shù), (其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線,設(shè)切點(diǎn)為,求證: ;
(2)令,若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.
(2), ,設(shè),則,易知在上是減函數(shù),從而.
①當(dāng),即時(shí), , 在區(qū)間上是增函數(shù),∵,∴在上恒成立,即在上恒成立.∴在區(qū)間上是減函數(shù),所以滿足題意.
②當(dāng),即時(shí),設(shè)函數(shù)的唯一零點(diǎn)為,則在上遞增,在上遞減,
又∵,∴,又∵,∴在內(nèi)有唯一一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), .從而在遞減,在遞增,與在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)矛盾.∴不合題意.綜上①②得, .