《人教A版數(shù)學選修44：第2講1參數(shù)方程的概念、圓的參數(shù)方程第1課時【教學參考】》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《人教A版數(shù)學選修44：第2講1參數(shù)方程的概念、圓的參數(shù)方程第1課時【教學參考】（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二講 　參數(shù)方程 　數(shù)學 一曲線的參數(shù)方程 第1課時　參數(shù)方程的概念、圓的參數(shù)方程 課標解讀 1.了解曲線的參數(shù)方程的概念與特點． 2．理解圓的參數(shù)方程的形式和特點． 3．運用圓的參數(shù)方程解決最大值、最小值問題. 1．參數(shù)方程的概念 一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)：①，并且對于t的每一個允許值，由方程組①所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組①就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y之間關(guān)系的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．相對于參數(shù)方程而言，直接給出的點的坐標間

2、的關(guān)系的方程叫做普通方程． 圖2－1－1 2．圓的參數(shù)方程 (1)如圖2－1－1所示，設(shè)圓O的半徑為r，點M從初始位置M0開始出發(fā)，按逆時針方向在圓上運動，設(shè)M(x，y)，點M轉(zhuǎn)過的角度是θ， 則(θ為參數(shù))，這就是圓心在原點，半徑為r的圓的參數(shù)方程． (2)圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的普通方程與參數(shù)方程 普通方程 參數(shù)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (θ為參數(shù)) 　曲線的參數(shù)方程中，參數(shù)是否一定具有某種實際意義？在圓的參數(shù)方程中，參數(shù)θ有什么實際意義？ 【提示】　聯(lián)系x、y的參數(shù)t(θ，φ，…)可以是一個有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是無實

3、際意義的任意實數(shù)．圓的參數(shù)方程中，其中參數(shù)θ的幾何意義是OM0繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時，OM0轉(zhuǎn)過的角度. 參數(shù)方程的概念 　已知曲線C的參數(shù)方程是(t為參數(shù)，a∈R)，點M(－3,4)在曲線C上． (1)求常數(shù)a的值； (2)判斷點P(1,0)、Q(3，－1)是否在曲線C上？ 【思路探究】　(1)將點M的橫坐標和縱坐標分別代入?yún)?shù)方程中的x，y，消去參數(shù)t，求a即可； (2)要判斷點是否在曲線上，只要將點的坐標代入曲線的普通方程檢驗即可，若點的坐標是方程的解，則點在曲線上，否則，點不在曲線上． 【自主解答】　(1)將M(－3,4)的坐標代入曲線C的參數(shù)方程得消去參

4、數(shù)t，得a＝1. (2)由上述可得，曲線C的參數(shù)方程是 把點P的坐標(1,0)代入方程組，解得t＝0，因此P在曲線C上，把點Q的坐標(3，－1)代入方程組，得到這個方程組無解，因此點Q不在曲線C上． 　點與曲線的位置關(guān)系 滿足某種約束條件的動點的軌跡形成曲線，點與曲線的位置關(guān)系有兩種：點在曲線上、點不在曲線上． (1)對于曲線C的普通方程f(x，y)＝0，若點M(x1，y1)在曲線上，則點M(x1，y1)的坐標是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x1，y1)＝0，若點N(x2，y2)不在曲線上，則點N(x2，y2)的坐標不是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x2，y2)≠0.

5、 (2)對于曲線C的參數(shù)方程(t為參數(shù))，若點M(x1，y1)在曲線上， 則對應(yīng)的參數(shù)t有解，否則參數(shù)t不存在． 　(2013·周口質(zhì)檢)已知曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)，0≤θ<2π)． 判斷點A(2,0)，B(－，)是否在曲線C上？ 若在曲線上，求出點對應(yīng)的參數(shù)的值． 【解】　把點A(2,0)的坐標代入 得cos θ＝1且sin θ＝0， 由于0≤θ<2π，解之得θ＝0， 因此點A(2,0)在曲線C上，對應(yīng)參數(shù)θ＝0，同理，把B(－，)代入?yún)?shù)方程，得 ∴ 又0≤θ<2π，∴θ＝π，所以點B(－，)在曲線C上，對應(yīng)θ＝π. 圓的參數(shù)方程及應(yīng)用 　設(shè)曲線

6、C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的方程為x－3y＋2＝0，則曲線C上到直線l距離為的點的個數(shù)為(　　) A．1　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 【思路探究】　化參數(shù)方程為普通方程，根據(jù)圓心到直線l的距離與半徑大小作出判定． 【自主解答】　由 得(x－2)2＋(y＋1)2＝9. 曲線C表示以(2，－1)為圓心，以3為半徑的圓， 則圓心C(2，－1)到直線l的距離d＝＝<3， 所以直線與圓相交．所以過圓心(2，－1)與l平行的直線與圓的2個交點滿足題意， 又3－d<，故滿足題意的點有2個． 【答案】　B 1．本題利用三角函數(shù)的平方關(guān)系，消去參數(shù)；數(shù)形結(jié)合，判

7、定直線與圓的位置關(guān)系． 2．參數(shù)方程表示怎樣的曲線，一般是通過消參，得到普通方程來判斷．特別要注意變量的取值范圍． 　已知直線y＝x與曲線(α為參數(shù))相交于兩點A和B，求弦長|AB|. 【解】　由得 ∴(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圓心為(1,2)，半徑r＝2， 則圓心(1,2)到直線y＝x的距離d＝＝. ∴|AB|＝2＝2 ＝. 　如圖2－1－2，已知點P是圓x2＋y2＝16上的一個動點，定點A(12,0)，當點P在圓上運動時，求線段PA的中點M的軌跡． 圖2－1－2 【思路探究】　引入?yún)?shù)→化為參數(shù)方程→ 設(shè)動點M(x，y) 求動點的參數(shù)方程→確定軌跡

8、【自主解答】　設(shè)動點M(x，y)， ∵圓x2＋y2＝16的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， ∴設(shè)點P(4cos θ，4sin θ)， 由線段的中點坐標公式，得 x＝，且y＝， ∴點M的軌跡方程為 因此點M的軌跡是以點(6,0)為圓心，以2為半徑的圓． 1．引入?yún)?shù)，把圓的普通方程化為參數(shù)方程，其實質(zhì)就是三角換元，利用了三角恒等式sin2 θ＋cos2 θ＝1. 2．圓的參數(shù)方程(θ為參數(shù))表示圓心為(x0，y0)，半徑為r的圓． 　已知點M(x，y)是圓x2＋y2＋2x＝0上的動點，若4x＋3y－a≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 【解】　由x2＋y2＋2x＝0，得(x

9、＋1)2＋y2＝1，又點M在圓上， ∴x＝－1＋cos θ，且y＝sin θ， 因此4x＋3y＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tan φ＝確定) ∴4x＋3y的最大值為1. 若4x＋3y－a≤0恒成立，則a≥(4x＋3y)max， 故實數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞). 求曲線的參數(shù)方程 　已知邊長為a的等邊三角形ABC的頂點A在y軸的非負半軸上移動，頂點B在x軸的非負半軸上移動，求頂點C在第一象限內(nèi)的軌跡的參數(shù)方程． 【思路探究】　先畫出圖形，選取角為參數(shù)，建立動點的坐標的三角函數(shù)即可． 【自主解答】　如圖，設(shè)C點坐

10、標為(x，y)，∠ABO＝θ，過點C作x軸的垂線段CM，垂足為M. 則∠CBM＝π－θ， ∴ 即 (θ為參數(shù)，0≤θ≤)為所求． 　求曲線的參數(shù)方程的方法步驟 (1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担O(shè)曲線上任一點M的坐標； (2)寫出適合條件的點M的集合； (3)用坐標表示集合，列出方程； (4)化簡方程為最簡形式； (5)證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點(此步驟可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的點是否都表示曲線上的點，要注意那些特殊的點)． 　若本例中的等邊三角形變化為等腰直角三角形，AC為斜邊，腰為a，其余條件不變，如何求頂點C在第一象限內(nèi)

11、的軌跡的參數(shù)方程？ 【解】　法一　如圖，設(shè)C點坐標為(x，y)，∠ABO＝θ，過點C作x軸的垂線段CM，垂足為M. 則∠CBM＝－θ， ∴ 即(θ為參數(shù)，0≤θ≤)為所求． 法二　如圖，設(shè)C點坐標為(x，y)，|OB|＝t,0≤t≤a. 過點C作x軸的垂線段CM，垂足為M，則Rt△ABO≌Rt△BCM. ∴|OA|＝，|BM|＝，|MC|＝t， ∴(t為參數(shù)，0≤t≤a)為所求． (教材第26頁習題2.1第3題) 已知M是正三角形ABC的外接圓上的任意一點，求證： |MA|2＋|MB|2＋|MC|2為定值． 　(2013·鄭州模擬)在平面直角坐標系xOy中，動圓

12、x2＋y2－8xcos θ－6ysin θ＋7cos2θ＋8＝0(θ∈R)的圓心為P(x，y)，求2x－y的取值范圍． 【命題意圖】　本題主要考查參數(shù)方程的概念及轉(zhuǎn)化思想和分析解決問題的能力． 【解】　由題設(shè)得(θ為參數(shù)，θ∈R)． 于是2x－y＝8cos θ－3sin θ＝sin(θ＋φ)，(φ由tan φ＝－確定)所以－≤2x－y≤. 所以2x－y的取值范圍是[－，]. 1．下列方程：(1)(m為參數(shù))(2)(m，n為參數(shù))(3)(4)x＋y＝0中，參數(shù)方程的個數(shù)為(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 【解析】　由參數(shù)方程的概念知是參數(shù)方程，故選A.

13、【答案】　A 2．曲線與x軸交點的直角坐標是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,0) D．(±2,0) 【解析】　設(shè)與x軸交點的直角坐標為(x，y)，令y＝0得t＝1，代入x＝1＋t2，得x＝2， ∴曲線與x軸的交點的直角坐標為(2,0)． 【答案】　C 3．參數(shù)方程(t為參數(shù))表示的曲線是(　　) A．兩條直線 B．一條射線 C．兩條射線 D．雙曲線 【解析】　當t>0時是一條射線；當t<0時，也是一條射線，故選C. 【答案】　C 4．已知(t為參數(shù))，若y＝1，則x＝________. 【解析】　當y＝1時，t2＝1，∴t＝±1， 當t＝

14、1時，x＝2；當t＝－1時，x＝0. ∴x的值為2或0. 【答案】　2或0 (時間40分鐘，滿分60分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．參數(shù)方程(t為參數(shù))的曲線必過點(　　) A．(1,2)　　　　　　B．(－2,1) C．(2,3) D．(0,1) 【解析】　代入檢驗知曲線經(jīng)過點(2,3)． 【答案】　C 2．已知O為原點，參數(shù)方程(θ為參數(shù))上的任意一點為A，則OA＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　OA＝＝＝1，故選A. 【答案】　A 3．圓的圓心坐標是(　　) A．(0,2) B．(2,0) C．(0，－2)

15、 D．(－2,0) 【解析】　∵x＝2cos θ，y－2＝2sin θ，∴x2＋(y－2)2＝4， ∴圓心坐標是(0,2)，故選A. 【答案】　A 4．圓心在點(－1,2)，半徑為5的圓的參數(shù)方程為(　　) A.(0≤θ<2π) B.(0≤θ<2π) C.(0≤θ<π) D.(0≤θ<2π) 【解析】　圓心在點C(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ∈[0,2π))．故圓心在點(－1,2)，半徑為5的圓的參數(shù)方程為(0≤θ<2π)． 【答案】　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．若點(－3，－3)在參數(shù)方程(θ為參數(shù))的曲線上，則θ＝________. 【解

16、析】　將點(－3，－3)的坐標代入?yún)?shù)方程 (θ為參數(shù))得 解得θ＝＋2kπ，k∈Z. 【答案】?。?kπ，k∈Z 6．(2013·陜西高考)如圖，以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù)，則圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程為________． 圖2－1－3 【解析】　將x2＋y2－x＝0配方，得(x－)2＋y2＝，∴圓的直徑為1.設(shè)P(x，y)，則x＝|OP|cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos2θ， y＝|OP|sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ， ∴圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))． 【答案】　(θ為參數(shù)) 三、解答題(每小

17、題10分，共30分) 7．已知曲線C的參數(shù)方程是(θ為參數(shù)，0≤θ<2π)，試判斷點A(1,3)，B(0，)是否在曲線C上． 【解】　將A(1,3)的坐標代入 得即 由0≤θ<2π得θ＝π. 將B(0，)的坐標代入 得即這樣的角θ不存在． 所以點A在曲線C上，點B不在曲線C上． 8．已知圓的極坐標方程為ρ2－4ρcos(θ－)＋6＝0. (1)將極坐標方程化為普通方程，并選擇恰當?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程； (2)若點P(x，y)在該圓上，求x＋y的最大值和最小值． 【解】　(1)由ρ2－4ρcos(θ－)＋6＝0得 ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 即x2

18、＋y2－4x－4y＋6＝0為所求， 由圓的標準方程(x－2)2＋(y－2)2＝2， 令x－2＝cos α，y－2＝sin α， 得圓的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (2)由(1)知， x＋y＝4＋(cos α＋sin α) ＝4＋2sin(α＋)， 又－1≤sin(α＋)≤1. 故x＋y的最大值為6，最小值為2. 9．已知圓系方程為x2＋y2－2axcos φ－2aysin φ＝0(a>0，且為已知常數(shù)，φ為參數(shù)) (1)求圓心的軌跡方程； (2)證明圓心軌跡與動圓相交所得的公共弦長為定值． 【解】　(1)由已知圓的標準方程為： (x－acos φ)2＋(y－asin φ

19、)2＝a2(a>0)． 設(shè)圓心坐標為(x，y)， 則(φ為參數(shù))， 消參數(shù)得圓心的軌跡方程為x2＋y2＝a2. (2)由方程 得公共弦的方程：2axcos φ＋2aysin φ＝a2，即xcos φ＋y sin φ－＝0， 圓x2＋y2＝a2的圓心到公共弦的距離d＝為定值． ∴弦長l＝2＝a(定值)． 教師備選 10．已知矩形ABCD的頂點C(4,4)，點A在圓O：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)上移動，且AB，AD兩邊始終分別平行于x軸、y軸．求矩形ABCD面積S的最小值與最大值，以及相應(yīng)的點A的坐標． 【解】　由于點A在圓O：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)上移動，

20、 所以設(shè)點A(3cos θ，3sin θ)，且θ∈[0，]． S＝|AB|·|AD| ＝(4－3cos θ)·(4－3sin θ) ＝16－12(sin θ＋cos θ)＋9sin θ·cos θ. 令t＝sin θ＋cos θ＝sin(θ＋)， 則sin θ·cos θ＝，且t∈[1，]． ∴S＝t2－12t＋ ＝(t－)2＋(1≤t≤)． ∴當t＝sin θ＋cos θ＝時，Smin＝， 此時sin θ·cos θ＝， 所以sin θ、cos θ是方程z2－z＋＝0， 即18z2－24z＋7＝0的兩根， 解得z＝±. ∴ 或 當t＝sin θ＋cos θ＝1時，Smax＝4， 此時sin θ·cos θ＝0， 所以sin θ＝0，cos θ＝1 或sin θ＝1，cos θ＝0. ∴或 綜上所述，Smin＝，此時點A的坐標為(2＋，2－)或(2－，2＋)；Smax＝4，此時點A的坐標為(3,0)或(0,3)． 最新精品語文資料