《人教A版數(shù)學(xué)選修44：第2講2圓錐曲線的參數(shù)方程【教學(xué)參考】》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《人教A版數(shù)學(xué)選修44：第2講2圓錐曲線的參數(shù)方程【教學(xué)參考】（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 二圓錐曲線的參數(shù)方程 課標解讀 1.了解雙曲線、拋物線的參數(shù)方程． 2．理解橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用． 3．能夠利用圓錐曲線的參數(shù)方程解決最值、有關(guān)點的軌跡問題. 1．橢圓的參數(shù)方程 普通方程 參數(shù)方程 ＋＝1(a>b>0) (φ為參數(shù)) ＋＝1(a>b>0) (φ為參數(shù)) 2.雙曲線的參數(shù)方程 普通方程 參數(shù)方程 －＝1(a>0，b>0) (φ為參數(shù)) 3.拋物線的參數(shù)方程 (1)拋物線y2＝2px的參數(shù)方程是(t∈R，t為參數(shù))． (2)參數(shù)t表示拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數(shù)． 1．橢圓的

2、參數(shù)方程中，參數(shù)φ是OM的旋轉(zhuǎn)角嗎？ 【提示】　橢圓的參數(shù)方程(φ為參數(shù))中的參數(shù)φ不是動點M(x，y)的旋轉(zhuǎn)角，它是點M所對應(yīng)的圓的半徑OA(或OB)的旋轉(zhuǎn)角，稱為離心角，不是OM的旋轉(zhuǎn)角． 2．雙曲線的參數(shù)方程中，參數(shù)φ的三角函數(shù)sec φ的意義是什么？ 【提示】　sec φ＝，其中φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠π. 3．類比y2＝2px(p>0)，你能得到x2＝2py(p>0)的參數(shù)方程嗎？ 【提示】　(p>0，t為參數(shù)，t∈R) 橢圓的參數(shù)方程及應(yīng)用 　將參數(shù)方程(θ為參數(shù))化為普通方程，并判斷方程表示曲線的焦點坐標． 【思路探究】　根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，消

3、去參數(shù)，化為普通方程，進而研究曲線形狀和幾何性質(zhì)． 【自主解答】　由得 兩式平方相加，得＋＝1. ∴a＝5，b＝3，c＝4. 因此方程表示焦點在x軸上的橢圓，焦點坐標為F1(4,0)和F2(－4,0)． 　橢圓的參數(shù)方程(θ為參數(shù)，a，b為常數(shù)，且a>b>0)中，常數(shù)a、b分別是橢圓的長半軸長和短半軸長，焦點在長軸上． 　若本例的參數(shù)方程為，(θ為參數(shù))，則如何求橢圓的普通方程和焦點坐標？ 【解】　將，化為 兩式平方相加，得＋＝1. 其中a＝5，b＝3，c＝4. 所以方程的曲線表示焦點在y軸上的橢圓，焦點坐標為F1(0，－4)與F2(0,4)． 　已知曲線C1

4、：，(t為參數(shù))，曲線C2：＋＝1. (1)化C1為普通方程，C2為參數(shù)方程；并說明它們分別表示什么曲線？ (2)若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t＝，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：x－2y－7＝0距離的最小值． 【思路探究】　(1)參數(shù)方程與普通方程互化；(2)由中點坐標公式，用參數(shù)θ表示出點M的坐標，根據(jù)點到直線的距離公式得到關(guān)于θ的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值． 【自主解答】　(1)由 得 ∴曲線C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1， C1表示圓心是(－4,3)，半徑是1的圓． 曲線C2：＋＝1表示中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓． 其參

5、數(shù)方程為(θ為參數(shù)) (2)依題設(shè)，當t＝時，P(－4,4)； 且Q(8cos θ，3sin θ)， 故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ)． 又C3為直線x－2y－7＝0， M到C3的距離d＝|4cos θ－3sin θ－13| ＝|5cos(θ＋φ)－13|， 從而當cos θ＝，sin θ＝－時，(其中φ由sin φ＝，cos φ＝確定)cos(θ＋φ)＝1，d取得最小值. 1．從第(2)問可以看出橢圓的參數(shù)方程在解題中的優(yōu)越性． 2．第(2)問設(shè)計十分新穎，題目的要求就是求動點M的軌跡上的點到直線C3距離的最小值，這個最小值歸結(jié)為求關(guān)于參數(shù)θ的函數(shù)的最小值

6、． 　(2013·開封質(zhì)檢)已知點P是橢圓＋y2＝1上任意一點，求點P到直線l：x＋2y＝0的距離的最大值． 【解】　因為P為橢圓＋y2＝1上任意一點， 故可設(shè)P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0,2π)． 又直線l：x＋2y＝0. 因此點P到直線l的距離 d＝＝. 所以，當sin(θ＋)＝1，即θ＝時，d取得最大值. 雙曲線參數(shù)方程的應(yīng)用 　求證：雙曲線－＝1(a>0，b>0)上任意一點到兩漸近線的距離的乘積是一個定值． 【思路探究】　設(shè)出雙曲線上任一點的坐標，可利用雙曲線的參數(shù)方程簡化運算． 【自主解答】　由雙曲線－＝1，得 兩條漸近線的方程是：bx

7、＋ay＝0，bx－ay＝0， 設(shè)雙曲線上任一點的坐標為(asec φ，btan φ)， 它到兩漸近線的距離分別是d1和d2， 則d1·d2＝· ＝＝(定值)． 　在研究有關(guān)圓錐曲線的最值和定值問題時，使用曲線的參數(shù)方程非常簡捷方便，其中點到直線的距離公式對參數(shù)形式的點的坐標仍適用，另外本題要注意公式sec2 φ－tan2 φ＝1的應(yīng)用． 　如圖2－2－1，設(shè)P為等軸雙曲線x2－y2＝1上的一點，F(xiàn)1、F2是兩個焦點，證明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2. 圖2－2－1 【證明】　設(shè)P(sec φ，tan φ)， ∵F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， ∴|

8、PF1|＝ ＝， |PF2|＝ ＝， |PF1|·|PF2|＝ ＝2sec2φ－1. ∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1， ∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2. 拋物線的參數(shù)方程 　設(shè)拋物線y2＝2px的準線為l，焦點為F，頂點為O，P為拋物線上任一點，PQ⊥l于Q，求QF與OP的交點M的軌跡方程． 【思路探究】　解答本題只要解兩條直線方程組成的方程組得到交點的參數(shù)方程，然后化為普通方程即可． 【自主解答】　設(shè)P點的坐標為(2pt2,2pt)(t為參數(shù))， 當t≠0時，直線OP的方程為y＝x， QF的方程為y＝－2t(x－)， 它們的交點M

9、(x，y)由方程組 確定， 兩式相乘，消去t，得y2＝－2x(x－)， ∴點M的軌跡方程為2x2－px＋y2＝0(x≠0)． 當t＝0時，M(0,0)滿足題意，且適合方程2x2－px＋y2＝0. 故所求的軌跡方程為2x2－px＋y2＝0. 1．拋物線y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，參數(shù)t為任意實數(shù)，它表示拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數(shù)． 2．用參數(shù)法求動點的軌跡方程，其基本思想是選取適當?shù)膮?shù)作為中間變量，使動點的坐標分別與參數(shù)有關(guān)，從而得到動點的參數(shù)方程，然后再消去參數(shù)，化為普通方程． 　(2012·天津高考)已知拋物線的參數(shù)方程

10、為(t為參數(shù))，其中p>0，焦點為F，準線為l.過拋物線上一點M作l的垂線，垂足為E，若|EF|＝|MF|，點M的橫坐標是3，則p＝________. 【解析】　根據(jù)拋物線的參數(shù)方程可知拋物線的標準方程是y2＝2px，所以y＝6p，所以E(－，±)，F(xiàn)(，0)，所以＋3＝，所以p2＋4p－12＝0，解得p＝2(負值舍去)． 【答案】　2 (教材第34頁習(xí)題2.2，第5題) 已知橢圓＋＝1上任意一點M(除短軸端點外)與短軸兩端點B1，B2的連線分別與x軸交于P、Q兩點，O為橢圓的中心．求證：|OP|·|OQ|為定值． 　(2012·徐州模擬)如圖2－2－2，已知橢圓＋y2＝1上任一

11、點M(除短軸端點外)與短軸兩端點B1、B2的連線分別交x軸于P、Q兩點． 圖2－2－2 求證：|OP|·|OQ|為定值． 【命題意圖】　本題主要考查橢圓的參數(shù)方程的簡單應(yīng)用，考查學(xué)生推理與數(shù)學(xué)計算能力． 【證明】　設(shè)M(2cos φ，sin φ)(φ為參數(shù))， B1(0，－1)，B2(0,1)． 則MB1的方程：y＋1＝·x， 令y＝0，則x＝， 即|OP|＝||. MB2的方程：y－1＝x， ∴|OQ|＝||. ∴|OP|·|OQ|＝||·||＝4. 因此|OP|·|OQ|＝4(定值). 1．參數(shù)方程，(θ為參數(shù))化為普通方程為(　　) A．x2＋＝1　　　　

12、　B．x2＋＝1 C．y2＋＝1 D．y2＋＝1 【解析】　易知cos θ＝x，sin θ＝， ∴x2＋＝1，故選A. 【答案】　A 2．方程(θ為參數(shù)，ab≠0)表示的曲線是(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．雙曲線的一部分 【解析】　由xcos θ＝a，∴cos θ＝， 代入y＝bcos θ，得xy＝ab， 又由y＝bcos θ知，y∈[－|b|，|b|]， ∴曲線應(yīng)為雙曲線的一部分． 【答案】　D 3．(2013·陜西高考)圓錐曲線(t為參數(shù))的焦點坐標是________． 【解析】　將參數(shù)方程化為普通方程為y2＝4x，表示開口向右，焦點在x軸正

13、半軸上的拋物線，由2p＝4?p＝2，則焦點坐標為(1,0)． 【答案】　(1,0) 4．(2012·湖南高考)在直角坐標系xOy中，已知曲線C1：(t為參數(shù))與曲線C2：(θ為參數(shù)，a>0)有一個公共點在x軸上，則a＝________. 【解析】　將曲線C1與C2的方程化為普通方程求解． ∵消去參數(shù)t得2x＋y－3＝0. 又消去參數(shù)θ得＋＝1. 方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝，將(，0)代入＋＝1，得＝1.又a>0，∴a＝. 【答案】　 (時間40分鐘，滿分60分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．曲線C：，(φ為參數(shù))的離心率為(　　) A.　　　　　　

14、　　　B. C. D. 【解析】　由題設(shè)，得＋＝1， ∴a2＝9，b2＝5，c2＝4， 因此e＝＝. 【答案】　A 2．參數(shù)方程，(α為參數(shù))的普通方程是(　　) A．y2－x2＝1 B．x2－y2＝1 C．y2－x2＝1(1≤y≤) D．y2－x2＝1(|x|≤) 【解析】　因為x2＝1＋sin α，所以sin α＝x2－1. 又因為y2＝2＋sin α＝2＋(x2－1)， 所以y2－x2＝1. ∵－1≤sin α≤1，y＝， ∴1≤y≤. ∴普通方程為y2－x2＝1，y∈[1，]． 【答案】　C 3．點P(1,0)到曲線(參數(shù)t∈R)上的點的最短距離為

15、(　　) A．0 B．1 C. D．2 【解析】　d2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2， 由t2≥0得d2≥1，故dmin＝1. 【答案】　B 4．已知曲線，(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)上的一點P，原點為O，直線PO的傾斜角為，則P點的坐標是(　　) A．(3,4) B．(，2) C．(－3，－4) D．(，) 【解析】　由題意知，3cos θ＝4sin θ， ∴tan θ＝，又0≤θ≤π，則sin θ＝，cos θ＝， ∴x＝3×cos θ＝3×＝， y＝4sin θ＝4×＝， 因此點P的坐標為(，)． 【答案】　D 二、填空題(

16、每小題5分，共10分) 5．已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點M在橢圓上，對應(yīng)參數(shù)t＝，點O為原點，則直線OM的斜率為________． 【解析】　由 得點M的坐標為(1,2)． 直線OM的斜率k＝＝2. 【答案】　2 6．(2013·江西高考)設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為________． 【解析】　化為普通方程為y＝x2，由于ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，所以化為極坐標方程為ρsin θ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sin θ＝0. 【答案】　ρcos2θ－sin θ＝0 三

17、、解答題(每小題10分，共30分) 7．(2013·平頂山質(zhì)檢)如圖2－2－3所示，連接原點O和拋物線y＝x2上的動點M，延長OM到點P，使|OM|＝|MP|，求P點的軌跡方程，并說明是什么曲線？ 圖2－2－3 【解】　拋物線標準方程為x2＝2y，其參數(shù)方程為得M(2t,2t2)． 設(shè)P(x，y)，則M是OP中點． ∴ ∴(t為參數(shù))， 消去t得y＝x2，是以y軸對稱軸，焦點為(0,1)的拋物線． 8．(2012·龍巖模擬)已知直線l的極坐標方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，橢圓C的參數(shù)方程是(θ

18、為參數(shù))，求直線l和橢圓C相交所成弦的弦長． 【解】　由題意知直線和橢圓方程可化為： x＋y－1＝0，① ＋y2＝1，② ①②聯(lián)立，消去y得：5x2－8x＝0， 解得x1＝0，x2＝. 設(shè)直線與橢圓交于A、B兩點， 則A、B兩點直角坐標分別為(0,1)，(，－)， 則|AB|＝＝. 故所求的弦長為. 9．(2013·漯河調(diào)研)在直角坐標系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (1)已知在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，點P的極坐標為(4，)，判斷點P與直線l的位置關(guān)系； (2)設(shè)

19、點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值． 【解】　(1)把極坐標系下的點P(4，)化為直角坐標，得點(0,4)．因為點P的直角坐標(0,4)滿足直線l的方程x－y＋4＝0，所以點P在直線l上． (2)因為點Q在曲線C上，故可設(shè)點Q的坐標為(cos α，sin α)，從而點Q到直線l的距離為 d＝ ＝ ＝cos(α＋)＋2，由此得，當cos(α＋)＝－1時，d取得最小值，且最小值為. 教師備選 10．設(shè)橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e＝，已知點P(0，)到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標． 【解】　設(shè)橢圓

20、的參數(shù)方程是，其中，a>b>0,0≤θ<2π. 由e2＝＝＝1－()2可得＝＝即a＝2b. 設(shè)橢圓上的點(x，y)到點P的距離為d， 則d2＝x2＋(y－)2＝a2cos2θ＋(bsin θ－)2 ＝a2－(a2－b2)sin2θ－3bsin θ＋ ＝4b2－3b2sin2θ－3bsin θ＋ ＝－3b2(sin θ＋)2＋4b2＋3， 如果>1即b<，即當sin θ＝－1時，d2有最大值，由題設(shè)得()2＝(b＋)2，由此得b＝－>，與b<矛盾． 因此必有≤1成立， 于是當sin θ＝－時，d2有最大值， 由題設(shè)得()2＝4b2＋3， 由此可得b＝1，a＝2. 所求橢圓的參數(shù)方程是 由sin θ＝－，cos θ＝±可得，橢圓上的點(－，－)，點(，－)到點P的距離都是. 最新精品語文資料