《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第7章 第3節(jié) 二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第7章 第3節(jié) 二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題 Word版含解析（13頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第三節(jié)　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 [最新考綱]　1.會從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決． ( 1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 不等式 表示區(qū)域 Ax＋By＋C>0 直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域 不包括邊界直線 Ax＋By＋C≥0 包括邊界直線 不等式組 各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分 2．線性規(guī)劃中的相關(guān)概念 名稱 意義 約束條件 由變量x，y組成的不等式(組) 線性

2、約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組 目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等 線性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的一次解析式 可行解 滿足線性約束條件的解(x，y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題 二元一次不等式表示的區(qū)域 (1)若B(Ax＋By＋C)>0時，區(qū)域?yàn)橹本€Ax＋By＋C＝0的上方． (2)若B(Ax＋By＋C)<0時，區(qū)域?yàn)橹本€Ax＋By＋C＝0的下方． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1

3、)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．(　　) (2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能不唯一．(　　) (3)任何一個二元一次不等式組都表示平面上的一個區(qū)域．(　　) (4)線性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界上．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教材改編 1．下列各點(diǎn)中，不在x＋y－1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是(　　) A．(0,0)　　　　　 B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－3) C　[∵－1＋3－1＞0，∴點(diǎn)(－1,3)不在x＋y－1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)，故選C.] 2．不等式組表示

4、的平面區(qū)域是(　　) A　 　　　B　 　　　C　　　　D C　[把點(diǎn)(0,0)代入不等式組可知，點(diǎn)(0,0)不在x－3y＋6＜0表示的平面區(qū)域內(nèi)，點(diǎn)(0,0)在x－y＋2≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)，故選C.] 3．已知x，y滿足約束條件則z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分別是(　　) A．3，－3 B．2，－4 C．4，－2 D．4，－4 C　[不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示． 其中A(－1，－1)，B(2，－1)，C， 畫直線l0：y＝－2x，平移l0過B時，zmax＝4， 平移l0過點(diǎn)A時，zmin＝－2.] 4．投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元

5、，需場地200平方米；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金300萬元，需場地100平方米．現(xiàn)某單位可使用資金1 400萬元，場地900平方米，則上述要求可用不等式組表示為________．(用x，y分別表示生產(chǎn)A，B產(chǎn)品的噸數(shù)，x和y的單位是百噸) 　[用表格列出各數(shù)據(jù)： A B 總數(shù) 產(chǎn)品噸數(shù) x y 資金 200x 300y 1 400 場地 200x 100y 900 所以不難看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1 400,200x＋100y≤900. ] 考點(diǎn)1　二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 　(1)平面區(qū)域的確定：直線

6、定界，特殊點(diǎn)定域． ①直線定界：當(dāng)不等式中帶等號時，邊界為實(shí)線；不帶等號時，邊界應(yīng)畫為虛線； ②特殊點(diǎn)定域：常用的特殊點(diǎn)為(0,0)，(1,0)，(0,1)． (2)平面區(qū)域的形狀問題主要有兩種題型 ①確定平面區(qū)域的形狀，求解時先畫滿足條件的平面區(qū)域，然后判斷其形狀； ②根據(jù)平面區(qū)域的形狀求解參數(shù)問題，求解時通常先畫滿足條件的平面區(qū)域，但要注意對參數(shù)進(jìn)行必要的討論． 　1.不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)大致是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D C　[(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即或與選項(xiàng)C符合

7、．故選C.] 2．若不等式組表示的平面區(qū)域的形狀是三角形，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)≥　　　 B．00，且不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示． ∵直線y＝kx－1與x軸的交點(diǎn)為

8、， 直線y＝kx－1與直線y＝－x＋2的交點(diǎn)為， ∴三角形的面積為××＝， 解得k＝1或k＝，經(jīng)檢驗(yàn)，k＝不符合題意， ∴k＝1.] 4．若函數(shù)y＝2x圖像上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件則實(shí)數(shù)m的最大值為(　　) A． B．1 C． D．2 B　[在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝2x的圖像及所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示． 由圖可知，當(dāng)m≤1時，函數(shù)y＝2x的圖像上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件，故m的最大值為1.] 　(1)平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)滿足 “同側(cè)同號、異側(cè)異號”的規(guī)律，如T1，T4. (2)計(jì)算平面區(qū)域的面積時，根據(jù)平面區(qū)域的形狀，先求出有關(guān)的交點(diǎn)坐標(biāo)、線段長

9、度，最后根據(jù)相關(guān)圖形的面積公式進(jìn)行計(jì)算，如果是不規(guī)則圖形，則可通過割補(bǔ)法計(jì)算面積． 考點(diǎn)2　求目標(biāo)函數(shù)的最值 　求線性目標(biāo)函數(shù)的最值 　 截距型：形如z＝ax＋by. 求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值．注意平面區(qū)域要畫對，特別是圖中涉及到直線的斜率大小關(guān)系． 　(2018·全國卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件 則z＝3x＋2y的最大值為________． 6　[作出可行域?yàn)槿鐖D所示的△ABC所表示的陰影區(qū)域，作出直線3x＋2y＝0，并平移該直線，當(dāng)直線過點(diǎn)A(2,0)時，目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝

10、3×2＋2×0＝6. ] [母題探究]　本例條件不變，試求z＝3x－2y的范圍． [解]　z＝3x－2y變形為y＝x－z，由本例可行域知直線y＝x－z過A點(diǎn)時截距取得最小值，而z恰好取得最大值，即z＝6. 過C點(diǎn)時截距取得最大值而z恰好取得最小值，即z＝－6， ∴z＝3x－2y的范圍為[－6,6]． 　充分理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是求解本類問題的關(guān)鍵． 　(2019·北京高考)若x，y滿足|x|≤1－y，且y≥－1，則3x＋y的最大值為(　　) A．－7 B．1 C．5 D．7 C　[由題意，作出可行域如圖陰影部分所示. 設(shè)z＝3x＋y，y＝z－3x，當(dāng)直線l0：y＝

11、z－3x經(jīng)過點(diǎn)C(2，－1)時，z取最大值5.故選C.] 　求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值 　非線性目標(biāo)函數(shù)的常見代數(shù)式的幾何意義主要有： (1)距離型：表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)間的距離，表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)間的距離． (2) 斜率型：表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率，表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率． 　(2019·廣州模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足則的取值范圍為________． [2，＋∞)　[作出不等式組所表示的可行域，如圖中陰影部分所示． z＝表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，因此的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(直線OA的斜率不存在，

12、即zmax不存在) 由得B(1,2)，所以kOB＝＝2，即zmin＝2， 所以z的取值范圍是[2，＋∞)．] [母題探究] 1．本例條件不變，則目標(biāo)函數(shù)z＝x2＋y2的取值范圍為________． [1,5]　[z＝x2＋y2表示可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間距離的平方． 因此x2＋y2的最小值為OA2，最大值為OB2. 易知A(0,1)，所以O(shè)A2＝1， OB2＝12＋22＝5，所以z的取值范圍是[1,5]．] 2．本例條件不變，則目標(biāo)函數(shù)z＝的取值范圍為______． (－∞，0]　[z＝可以看作點(diǎn)P(1,1)與平面內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)連線的斜率．易知點(diǎn)P(1,1)

13、與A(0,1)連線的斜率最大，為0.無最小值．所以z的取值范圍是(－∞，0]．] 　求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值時，注意目標(biāo)函數(shù)的幾何意 義及轉(zhuǎn)化的等價性，如x2＋y2是距離的平方，易忽視平方而求錯，是點(diǎn)(x，y)與(1,1)連線的斜率，易誤認(rèn)為點(diǎn)(x，y)與(－1，－1)連線的斜率． 　(2019·海南五校模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組 則(x－3)2＋(y＋2)2的最小值為________． 13　[畫出不等式組表示的平面區(qū)域(圖略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與(3，－2)兩點(diǎn)間距離的平方，通過數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)(x，y)為直線x＋y＝2與y＝1的交點(diǎn)(

14、1,1)時，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值為13.] 　求參數(shù)值或取值范圍 　由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)的2種基本方法 一是把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍；二是先分離含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)． 　(1)已知z＝2x＋y，其中實(shí)數(shù)x，y滿足且z的最大值是最小值的4倍，則a的值是(　　) A. B. C.4 D. (2)(2019·湖南湘東六校聯(lián)考)若變量x，y滿足且z＝ax－y的最小值為－1，則實(shí)

15、數(shù)a的值為________． (1)B　(2)2　[(1)作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影部分所示： 由z＝2x＋y得y＝－2x＋z， 由圖可知當(dāng)直線y＝－2x＋z經(jīng)過點(diǎn)A時，直線的縱截距最大，z取最大值． 由解得即A(1,1)， zmax＝2×1＋1＝3. 當(dāng)直線y＝－2x＋z經(jīng)過點(diǎn)B時，直線的縱截距最小，此時z最?。? 由解得則點(diǎn)B(a，a)． ∴zmin＝2×a＋a＝3a， ∵z的最大值是最小值的4倍， ∴3＝4×3a，即a＝. (2)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由圖知，若a≥3，則直線z＝ax－y經(jīng)過點(diǎn)B(1,2)時，z取得最小值，由a－2

16、＝－1，得a＝1，與a≥3矛盾；若0

17、畫出可行域，把問題轉(zhuǎn)化為一般形式的線性規(guī)劃問題． 　x，y滿足約束條件若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A．或－1 B．2或 C．2或1 D．2或－1 D　[作出可行域(如圖)，為△ABC內(nèi)部(含邊界)．由題設(shè)z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一可知：線性目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)直線與可行域某一邊界重合．由kAB＝－1，kAC＝2，kBC＝可得a＝－1或a＝2或a＝，驗(yàn)證：a＝－1或a＝2時，成立；a＝時，不成立．故選D.] 考點(diǎn)3　線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 　解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟 (1)審題——仔細(xì)閱讀，明確有哪些限制條件，目標(biāo)函數(shù)是什么． (2)轉(zhuǎn)化

18、——設(shè)元，寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)． (3)求解——關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)所表示的直線與可行域邊界直線斜率間的關(guān)系． (4)作答——就應(yīng)用題提出的問題作出回答． 　某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料．生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示： 原料 肥料　　 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料．已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元．分別用x，y表示計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮

19、數(shù)． (1)用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域； (2)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤． [解]　(1)由題意知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D1中的陰影部分． 圖1 (2)設(shè)利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為z＝2x＋3y. 考慮z＝2x＋3y，將它變形為y＝－x＋，它的圖像是斜率為－，隨z變化的一族平行直線，為直線在y軸上的截距，當(dāng)取最大值時，z的值最大． 根據(jù)x，y滿足的約束條件，由圖2可知，當(dāng)直線z＝2x＋3y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時，截距最大，即z最大． 圖2 解方程組

20、 得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(20,24)， 所以zmax＝2×20＋3×24＝112. 答：生產(chǎn)甲種肥料20車皮、乙種肥料24車皮時利潤最大，且最大利潤為112萬元． 　求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的3個注意點(diǎn) (1)明確問題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷約束條件是否能夠取到等號． (2)注意結(jié)合實(shí)際問題的實(shí)際意義，判斷所設(shè)未知數(shù)x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否為整數(shù)、是否為非負(fù)數(shù)等． (3)正確地寫出目標(biāo)函數(shù)，一般地，目標(biāo)函數(shù)是等式的形式． 　(2016·全國卷Ⅰ)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生

21、產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元． 216 000　[設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，則 目標(biāo)函數(shù)z＝2 100x＋900y. 作出可行域?yàn)閳D中的陰影部分(包括邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，圖中陰影四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)． 當(dāng)直線z＝2 100x＋900y經(jīng)過點(diǎn)(60,100)時，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]