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備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)理6年高考試題精解精析專題4數(shù)列

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1、 一、選擇題 1.【2012高考真題重慶理1】在等差數(shù)列中,,則的前5項和= A.7 B.15 C.20 D.25 2.【2012高考真題浙江理7】設(shè)是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列﹛an﹜的前n項和,則下列命題錯誤的是 A.若d<0,則數(shù)列﹛Sn﹜有最大項 B.若數(shù)列﹛Sn﹜有最大項,則d<0 C.若數(shù)列﹛Sn﹜是遞增數(shù)列,則對任意,均有 D. 若對任意,均有,則數(shù)列﹛Sn﹜是遞增數(shù)列 【答案】C 【解析】選項C顯然是錯的,舉出反例:—1,0,1,2,3,….滿足數(shù)列{S n}是遞增數(shù)列,但是S n>

2、0不成立.故選C。 3.【2012高考真題新課標理5】已知為等比數(shù)列,,,則( ) 4.【2012高考真題上海理18】設(shè),,在 中,正數(shù)的個數(shù)是( ) A.25 B.50 C.75 D.100 5.【2012高考真題遼寧理6】在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項和S11= (A)58 (B)88 (C)143

3、 (D)176 【答案】B 【解析】在等差數(shù)列中,,答案為B 6.【2012高考真題四川理12】設(shè)函數(shù),是公差為的等差數(shù)列,,則( ) A、 B、 C、 D、 7.【2012高考真題湖北理7】定義在上的函數(shù),如果對于任意給定的等比數(shù)列, 仍是等比數(shù)列,則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù): ①; ②; ③; ④. 則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為 A. ① ② B.③ ④ C.① ③

4、 D.② ④ 【答案】C 8.【2012高考真題福建理2】等差數(shù)列{an}中,a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列{an}的公差為 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B. 【解析】由等差中項的性質(zhì)知,又.故選B. 9.【2012高考真題安徽理4】公比為等比數(shù)列的各項都是正數(shù),且,則=( ) 【答案】B 【解析】. 10.【2012高考真題全國卷理5】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a5=5,S5=15,則數(shù)列的前100項和為 (A) (B)

5、 (C) (D) 二、填空題 11.【2012高考真題浙江理13】設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn。若S2=3a2+2,S4=3a4+2,則q=______________。 【答案】 12.【2012高考真題四川理16】記為不超過實數(shù)的最大整數(shù),例如,,,。設(shè)為正整數(shù),數(shù)列滿足,,現(xiàn)有下列命題: ①當時,數(shù)列的前3項依次為5,3,2; ②對數(shù)列都存在正整數(shù),當時總有; ③當時,; ④對某個正整數(shù),若,則。 其中的真命題有____________。(寫出所有真命題的編號) 13.【2012高考真題新課標理16】數(shù)列滿足,則的前

6、項和為 【答案】1830 【解析】由得, , 即,也有,兩式相加得 ,設(shè)為整數(shù), 則, 于是 14.【2012高考真題遼寧理14】已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,且,則數(shù)列{an}的通項公式an =______________。 15.【2012高考真題江西理12】設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,若,,則__________。 【答案】35 【解析】設(shè)數(shù)列的公差分別為,則由,得,即,所以, 所以。 16.【2012高考真題北京理10】已知等差數(shù)列為其前n項和。若,,則=_______。 17.【2012高考真題廣東理11】已知遞增的等

7、差數(shù)列{an}滿足a1=1,,則an=____. 【答案】 【解析】由得到,即,應(yīng)為{an}是遞增的等差數(shù)列,所以,故。 18.【2012高考真題重慶理12】 . 19.【2012高考真題上海理6】有一列正方體,棱長組成以1為首項、為公比的等比數(shù)列,體積分別記為,則 。 【答案】。 【解析】由題意可知,該列正方體的體積構(gòu)成以1為首項,為公比的等比數(shù)列, ∴++…+==,∴。 20.【2012高考真題福建理14】數(shù)列{an}的通項公式,前n項和為Sn,則S2012=___________. 三、解答題

8、 21【2012高考江蘇20】(16分)已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足:,, (1)設(shè),,求證:數(shù)列是等差數(shù)列; (2)設(shè),,且是等比數(shù)列,求和的值. 又∵,∴是公比是的等比數(shù)列。 若,則,于是。 又由即,得。 ∴中至少有兩項相同,與矛盾?!唷? ∴。 ∴ 。 22.【2012高考真題湖北理18】(本小題滿分12分) 已知等差數(shù)列前三項的和為,前三項的積為. (Ⅰ

9、)求等差數(shù)列的通項公式; (Ⅱ)若,,成等比數(shù)列,求數(shù)列的前項和. (Ⅱ)當時,,,分別為,,,不成等比數(shù)列; 當時,,,分別為,,,成等比數(shù)列,滿足條件. 故 23.【2012高考真題廣東理19】(本小題滿分14分) 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足,n∈N﹡,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列. (1) 求a1的值; (2) 求數(shù)列{an}的通項公式. (3) 證明:對一切正整數(shù)n,

10、有. 【答案】本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項公式,不等式證明問題,考查了學(xué)生的運算求解能力與推理論證能力,難度一般. 25.【2012高考真題四川理20】(本小題滿分12分) 已知數(shù)列的前項和為,且對一切正整數(shù)都成立。 (Ⅰ)求,的值; (Ⅱ)設(shè),數(shù)列的前項和為,當為何值時,最大?并求出的最大值。 【答案】本題主要考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的概念和前n項和公式,以及對數(shù)運算等基礎(chǔ)知識,考查邏輯推理能力,基本運算能力,以及方程與函數(shù)、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想 26.【2012高考真題四川理22】(本小題滿分14分) 已知為正實數(shù),為自然數(shù),拋

11、物線與軸正半軸相交于點,設(shè)為該拋物線在點處的切線在軸上的截距。 (Ⅰ)用和表示; (Ⅱ)求對所有都有成立的的最小值; (Ⅲ)當時,比較與的大小,并說明理由。 【答案】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識,考查基本運算能力、邏輯推理能力、分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識,考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化由特殊到一般等數(shù)學(xué)思想 27.【2012高考真題廣東理19】(本小題滿分14分) 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足,n∈N﹡,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列. (4) 求a1的值; (5) 求數(shù)列{an}的通項公式.

12、 (6) 證明:對一切正整數(shù)n,有. 【答案】本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項公式,不等式證明問題,考查了學(xué)生的運算求解能力與推理論證能力,難度一般. 29.【2012高考真題重慶理21】(本小題滿分12分,(I)小問5分,(II)小問7分.) 設(shè)數(shù)列的前項和滿足,其中. (I)求證:是首項為1的等比數(shù)列; (II)若,求證:,并給出等號成立的充要條件. 【答案】 30.【2012高考真題江西理17】(本小題滿分12分) 已知數(shù)列{an}的前n項和,,且Sn的最大值為8. (1)確定常數(shù)k,求an; (

13、2)求數(shù)列的前n項和Tn。 【答案】 31.【2012高考真題安徽理21】(本小題滿分13分) 數(shù)列滿足: (I)證明:數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是; (II)求的取值范圍,使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。 (II)由(I)得:, ①當時,,不合題意; ②當時,, , 。 當時,與同號, 由, 。 當時,存在,使與異號,與數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列矛盾, 得:當時,數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。 32.【2012高考真題天津理18】(本小題滿分13分) 已知是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,是等比數(shù)列,且, . (Ⅰ)求數(shù)列與的通項公式; (Ⅱ)記,,證

14、明(). 【答案】 33.【2012高考真題湖南理19】(本小題滿分12分) 已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),記A(n)=a1+a2+……+an,B(n)=a2+a3+……+an+1,C(n)=a3+a4+……+an+2,n=1,2,…… (1) 若a1=1,a2=5,且對任意n∈N﹡,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成等差數(shù)列,求數(shù)列{ an }的通項公式. (2) 證明:數(shù)列{ an }是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是:對任意,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列. (Ⅱ)(1)必要性:若數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列,則對任意,有

15、 由知,均大于0,于是           即==,所以三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列. (2)充分性:若對于任意,三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列, 則    , 【解析】 【2011年高考試題】 1. (2011年高考四川卷理科8)數(shù)列的首項為, 為等差數(shù)列且 .若則,,則( ) (A)0 (B)3 (C)8 (D)11 2.(2011年高考全國卷理科4)設(shè)為等差數(shù)列的前項和,若,公差,,則 (A)8 (B)7 (C)6 (D)5 【答案】D 【解析】 故選D。

16、 3. (2011年高考廣東卷理科11)等差數(shù)列前9項的和等于前4項的和.若,則 . 【答案】10 【解析】由題得 5. (2011年高考湖北卷理科13)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自下而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為 升 5.(2011年高考陜西卷理科14)植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹,每人植一棵,相鄰兩棵樹相距10米,開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊,使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小,這個最小值為 (米)。 【答案】

17、2000 【解析】設(shè)樹苗集中放置在第號坑旁邊,則20名同學(xué)返所走的路程總和為 =即時. 6.(2011年高考重慶卷理科11)在等差數(shù)列中,,則 解析:74. ,故 7.(2011年高考江蘇卷13)設(shè),其中成公比為q的等比數(shù)列,成公差為1的等差數(shù)列,則q的最小值是________ 8.(2011年高考北京卷理科11)在等比數(shù)列{an}中,a1=,a4=-4,則公比q=______________;____________。 【答案】—2 9. (2011年高考山東卷理科20)(本小題滿分12分) 等比數(shù)列中,分別是下表第一、二、三行

18、中的某一個數(shù),且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (Ⅰ)求數(shù)列的通項公式; (Ⅱ)若數(shù)列滿足:,求數(shù)列的前項和. 所以 當n為偶數(shù)時, 當n為奇數(shù)時, 綜上所述, 10.(2011年高考遼寧卷理科17)(本小題滿分12分) 已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0,a6+a8= -10 (I)求數(shù)列{an}的通項公式; (II)求數(shù)列的前n項和. 11.(2011年高考浙江卷理科19)(本題滿分14分)已知公差不為

19、0的等差數(shù)列的首項 (),設(shè)數(shù)列的前n項和為,且,,成等比數(shù)列(Ⅰ)求數(shù)列 的通項公式及(Ⅱ)記,,當時,試比較與的大小. 12.(2011年高考安徽卷理科18)(本小題滿分13分) 在數(shù)1和100之間插入個實數(shù),使得這個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這個數(shù)的乘積記作,再令. (Ⅰ)求數(shù)列的通項公式; (Ⅱ)設(shè)求數(shù)列的前項和. 【命題意圖】:本題考查等比和等差數(shù)列,指數(shù)和對數(shù)運算,兩角差的正切公式等基本知識,考查靈活運用知識解決問題的能力,綜合運算能力和創(chuàng)新思維能力。 【解析】:(Ⅰ)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,其中,,則 ①

20、 ② ①×②并利用等比數(shù)列性質(zhì)得 , 13. (2011年高考天津卷理科20)(本小題滿分14分) 已知數(shù)列與滿足:, ,且. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)設(shè),證明:是等比數(shù)列; (Ⅲ)設(shè)證明:. 【解析】本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識,考查運算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問題的能力及分類討論的思想方法. (III)證明:由(II)可得, 于是,對任意,有 將以上各式相加,得 即, 此式當k=1時也成立.由④式得 從而 14. (2011年高考江西卷理科18)(本

21、小題滿分12分) 已知兩個等比數(shù)列,,滿足,,,. (1)若,求數(shù)列的通項公式; (2)若數(shù)列唯一,求的值. 15. (2011年高考湖南卷理科16)對于,將表示為,當時, ,當時,為或.記為上述表示中為的個數(shù)(例如:, ,故,),則(1) ;(2) . (2)通過例舉可知:,,,,,,, ,且相鄰之間的整數(shù)的個數(shù)有0,1,3,7,15,31,63.它們正好滿足“楊輝三角”中的規(guī)律: 從而 . 評析:本小題主要考查學(xué)生的閱讀理解能力、探究問題能力和創(chuàng)新意識.以二進制為知識背景,著重考查等比數(shù)列求和以及“楊輝三角”中的規(guī)律的理解和

22、運用. 16. (2011年高考廣東卷理科20)設(shè)數(shù)列滿足, (1) 求數(shù)列的通項公式; (2) 證明:對于一切正整數(shù)n, (2)當時,(欲證) 17. (2011年高考湖北卷理科19)(本小題滿分13分) 已知數(shù)列的前n項和為,且滿足: (Ⅰ)求數(shù)列的通項公式; (Ⅱ)若存在,使得成等差數(shù)列,試判斷:對于任意的,且, 是否成等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論. 本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基礎(chǔ)知識,同時考查推理論證能力,以及特殊與一般的思想. 解析: (Ⅱ)對于任意的,且成等差數(shù)列,證明如下: 當r=0時,由(Ⅰ)知, 18.(2011年高考重

23、慶卷理科21)(本小題滿分12分。(Ⅰ)小問5分,(Ⅱ)小問7分) 設(shè)實數(shù)數(shù)列的前n項和滿足 (Ⅰ)若成等比數(shù)列,求和 (Ⅱ)求證:對有。 (Ⅱ)證明:有題設(shè)條件有, 故,且 從而對有 ① 因,且, 要證,由①,只要證 即證,即,此式明顯成立, 因此。 最后證,,若不然,, 又因,故,即。矛盾, 19.(2011年高考四川卷理科20) (本小題共12分) 設(shè)d為非零實數(shù),an = [C1n d+2Cn2d2+…+(n—1)Cnn-1d n-1+nCnndn](n∈N*). (I) 寫出a1,a2,a3并判斷

24、{an}是否為等比數(shù)列.若是,給出證明;若不是,說明理由; (II)設(shè)bn=ndan (n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解析:(1) 20.(2011年高考全國卷理科20)設(shè)數(shù)列滿足且 (Ⅰ)求的通項公式;(Ⅱ)設(shè) 21.(2011年高考江蘇卷20)設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合,數(shù)列的首項,前n項和為,已知對任意整數(shù)k屬于M,當n>k時,都成立 (1)設(shè)M={1},,求的值; (2)設(shè)M={3,4},求數(shù)列的通項公式 (2)由題意:, 當時,由(1)(2)得: 由(3)(4)得: 由(1)(3)得: 由(2)(4)得: 由(7)(8)知

25、:成等差,成等差;設(shè)公差分別為: 由(5)(6)得: 由(9)(10)得:成等差,設(shè)公差為d, 在(1)(2)中分別取n=4,n=5得: 22.(2011年高考江蘇卷23)(本小題滿分10分) 設(shè)整數(shù),是平面直角坐標系中的點,其中 (1)記為滿足的點的個數(shù),求; (2)記為滿足是整數(shù)的點的個數(shù),求 23.(2011年高考北京卷理科20)(本小題共13分) 若數(shù)列滿足,數(shù)列為數(shù)列,記=. (Ⅰ)寫出一個滿足,且〉0的數(shù)列; (Ⅱ)若,n=2000,證明:E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011; (Ⅲ)對任意給定的整數(shù)n(n

26、≥2),是否存在首項為0的E數(shù)列,使得=0?如果存在,寫出一個滿足條件的E數(shù)列;如果不存在,說明理由。 解:(Ⅰ)0,1,2,1,0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。 (答案不唯一,0,1,0,1,0也是一個滿足條件的E的數(shù)列A5) (Ⅱ)必要性:因為E數(shù)列A5是遞增數(shù)列, 所以. 因為 所以為偶數(shù), 所以要使為偶數(shù), 即4整除. 24.(2011年高考福建卷理科16)(本小題滿分13分) 已知等比數(shù)列{an}的公比q=3,前3項和S3=。 (I)求數(shù)列{an}的通項公式; (II)若函數(shù)在處取得最大值,且最大值為a3,求函數(shù)f(x)的解析式。

27、25.(2011年高考上海卷理科22)(18分)已知數(shù)列和的通項公式分別為,(),將集合 中的元素從小到大依次排列,構(gòu)成數(shù)列 。 (1)求; (2)求證:在數(shù)列中.但不在數(shù)列中的項恰為; (3)求數(shù)列的通項公式。 【2010年高考試題】 (2010浙江理數(shù))(3)設(shè)為等比數(shù)列的前項和,,則 (A)11 (B)5 (C) (D) 解析:解析:通過,設(shè)公比為,將該式轉(zhuǎn)化為,解得=-2,帶入所求式可知答案選D,本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式,屬中檔題 (2010全國卷2理數(shù))(4).如果等差數(shù)列中,,那么 (A)14

28、 (B)21 (C)28 (D)35 (2010遼寧理數(shù))(6)設(shè){an}是有正數(shù)組成的等比數(shù)列,為其前n項和。已知a2a4=1, ,則 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【命題立意】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式,考查了同學(xué)們解決問題的能力。 【解析】由a2a4=1可得,因此,又因為,聯(lián)力兩式有,所以q=,所以,故選B。 (2010江西理數(shù))5.等比數(shù)列中,,=4,函數(shù),則( ) A. B. C. D. (2010江西理數(shù))4. (

29、 ) A. B. C. 2 D. 不存在 【答案】B 【解析】考查等比數(shù)列求和與極限知識.解法一:先求和,然后對和取極限。 (2010重慶理數(shù))(1)在等比數(shù)列中, ,則公比q的值為 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 解析: (2010四川理數(shù))(8)已知數(shù)列的首項,其前項的和為,且,則 (A)0 (B) (C) 1 (D)2 (2010天津理數(shù))(6)已知是首項為1的等比數(shù)列,是的前n項和,且,則數(shù)列的前5項和為 (A)或5 (B)或5

30、 (C) (D) 【答案】C 【解析】本題主要考查等比數(shù)列前n項和公式及等比數(shù)列的性質(zhì),屬于中等題。 顯然q1,所以,所以是首項為1,公比為的等比數(shù)列, 前5項和 . 【溫馨提示】在進行等比數(shù)列運算時要注意約分,降低冪的次數(shù),同時也要注意基本量法的應(yīng)用。 (2010廣東理數(shù))4. 已知為等比數(shù)列,Sn是它的前n項和。若, 且與2的等差中項為,則= A.35 B.33 C.31 D.29 1.(2010安徽理數(shù))10、設(shè)是任意等比數(shù)列,它的前項和,前項和與前項和分別為,則下列等式中恒成立的是 A、

31、 B、 C、 D、 (2010湖北理數(shù))7、如圖,在半徑為r 的園內(nèi)作內(nèi)接正六邊形,再作正六邊形的內(nèi)切圓,又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形,如此無限繼續(xù)下去,設(shè)為前n個圓的面積之和,則= A. 2 B. C.4 D.6 (2010福建理數(shù))3.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,,則當取最小值時,n等于 A.6 B.7 C.8 D.9 (2010遼寧理數(shù))(16)已知數(shù)列滿足則的最小值為__________. 【答案】 【命題立意】本題

32、考查了遞推數(shù)列的通項公式的求解以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,考查了同學(xué)們綜合運用知識解決問題的能力。 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n 所以 設(shè),令,則在上是單調(diào)遞增,在上是遞減的,因為n∈N+,所以當n=5或6時有最小值。 又因為,,所以,的最小值為 (2010福建理數(shù))11.在等比數(shù)列中,若公比,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通項公式 . 3. (2010江蘇卷)8、函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸交點的橫坐標為a

33、k+1,k為正整數(shù),a1=16,則a1+a3+a5=____▲_____ [解析]考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項。 在點(ak,ak2)處的切線方程為:當時,解得, 所以。 (2010江西理數(shù))22. (本小題滿分14分) 證明以下命題: (1) 對任一正整a,都存在整數(shù)b,c(b

34、 (Ⅰ)證明:,且; (Ⅱ)證明:三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù) (Ⅲ) 設(shè)P,P中有m(m≥2)個元素,記P中所有兩元素間距離的平均值為(P). 證明:(P)≤. 由題意知,,. 當時,; 當時, 所以 從而 (2010四川理數(shù))(21)(本小題滿分12分) 已知數(shù)列{an}滿足a1=0,a2=2,且對任意m、n∈N*都有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2 (Ⅰ)求a3,a5; (Ⅱ)設(shè)bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),證明:{bn}是等差數(shù)列; (Ⅲ)設(shè)cn=(an+1-an)qn-1(q≠0

35、,n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項和Sn. 本小題主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識和化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想,以及推理論證、分析與解決問題的能力. 綜上所述,Sn=…………………………12分 (2010天津理數(shù))(22)(本小題滿分14分) 在數(shù)列中,,且對任意.,,成等差數(shù)列,其公差為。 (Ⅰ)若=,證明,,成等比數(shù)列() (Ⅱ)若對任意,,,成等比數(shù)列,其公比為。 以下分兩種情況進行討論: (2)當n為奇數(shù)時,設(shè)n=2m+1() 所以從而··· 綜合(1)(2)可知,對任意,,有 (2010全國卷1理數(shù))(22)(本小題滿分1

36、2分)(注意:在試題卷上作答無效) 已知數(shù)列中, . (Ⅰ)設(shè),求數(shù)列的通項公式; (Ⅱ)求使不等式成立的的取值范圍 . (2010山東理數(shù))(18)(本小題滿分12分) 已知等差數(shù)列滿足:,,的前n項和為. (Ⅰ)求及; (Ⅱ)令bn=(nN*),求數(shù)列的前n項和. 【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,因為,,所以有 ,解得, 所以;==。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以bn===, (2010湖南理數(shù))21.(本小題滿分13分) 數(shù)列中,是函數(shù)的極小值點 (Ⅰ)當a=0時,求通項; (Ⅱ)是否存在a,使數(shù)列是等比數(shù)列?若存在,求a的取值范圍;

37、若不存在,請說明理由。 (2010湖北理數(shù)) (Ⅲ) 2. (2010安徽理數(shù))20、(本小題滿分12分) 設(shè)數(shù)列中的每一項都不為0。 證明:為等差數(shù)列的充分必要條件是:對任何,都有 。 (2010江蘇卷)19、(本小題滿分16分) 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為,已知,數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。 (1)求數(shù)列的通項公式(用表示); (2)設(shè)為實數(shù),對滿足的任意正整數(shù),不等式都成立。求證:的最大值為。 [解析] 本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和以及基本不等式等有關(guān)知識,考

38、查探索、分析及論證的能力。滿分16分。 (1)由題意知:, , 化簡,得: , 當時,,適合情形。 故所求 【2009年高考試題】 8.(2009·福建理3)等差數(shù)列的前n項和為,且 =6,=4, 則公差d等于 A.1 B C 2 D 3 答案:C 解析:∵且.故選C 9.(2009·廣東理4)已知等比數(shù)列滿足,且,則當時, A. B. C. D. 10.(2009·海南理7)等比數(shù)列的前n項和為,且4,2,成等差數(shù)列。若=

39、1,則= A.7 B.8 C.15 D.16 答案:C 解析:4,2,成等差數(shù)列, ,選C. 11.(2009·遼寧理6)設(shè)等比數(shù)列{ }的前n 項和為 ,若 =3 ,則 = A. 2 B. C. D.3 答案: B 解析:,,。 3.(2009·遼寧理14)等差數(shù)列的前項和為,且則 4.(2009·福建理15)五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報數(shù),規(guī)定:①第一位同學(xué)首次報出的數(shù)為1,第二位同學(xué)首次報出的數(shù)也為1,之后每位同學(xué)所報出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報出的數(shù)之和;②若報出的

40、數(shù)為3的倍數(shù),則報該數(shù)的同學(xué)需拍手一次已知甲同學(xué)第一個報數(shù),當五位同學(xué)依序循環(huán)報到第100個數(shù)時,甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為________. 答案:5 解析:由題意可設(shè)第次報數(shù),第次報數(shù),第次報數(shù)分別為,,,所以有,又由此可得在報到第100個數(shù)時,甲同學(xué)拍手5次。 5.(2009·浙江理11)設(shè)等比數(shù)列的公比,前n項和為,則___________. W 6.(2009·浙江理15)觀察下列等式: , , , , …… 由以上等式推測到一個一般的結(jié)論: 對于n∈,_________. w.w. 8.(2009·山東理20)等比數(shù)列的前n項和為

41、,已知對任意的,點均在函數(shù)的圖象上。 (Ⅰ)求r的值。 (Ⅱ)當b=2時,記 證明:對任意的 ,不等式成立 解::因為對任意的,點,均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當時,,當時,,又因為{}為等比數(shù)列,所以,公比為, 所以當時,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項公式,以及已知求的基本題型,并運用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式. 9.(2009·廣東理21)已知曲線.從點向曲線引斜率為的切線,切點為. (1)求數(shù)列的通項公式; (2)證明:

42、 解:(1)設(shè)直線:,聯(lián)立得,則,∴(舍去) ,即,∴ 10.(2009·江蘇17)設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列,為其前項和,滿足 (1)求數(shù)列的通項公式及前項和; (2)試求所有的正整數(shù),使得為數(shù)列中的項.? [解析] 本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和的有關(guān)知識,考查運算和求解的能力。滿分14分。 11.(2009·安徽理21) 首項為正數(shù)的數(shù)列{}滿足. (Ⅰ)證明:若 為奇數(shù),則對一切 , 都是奇數(shù); (Ⅱ)若對一切,都有,求的取值范圍。 解:本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識,考查推理論證、抽象概括、運算求解和探究能力,考查學(xué)生

43、是否具有審慎思維的習慣和一定的數(shù)學(xué)視野。本小題滿分13分。 解:(I)已知是奇數(shù),假設(shè)是奇數(shù),其中為正整數(shù), 則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)。 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法,對任何,都是奇數(shù)。 12.(2009·天津理22)已知等差數(shù)列{}的公差為d(d0),等比數(shù)列{}的公比為q(q>1)。設(shè)=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n (1)若== 1,d=2,q=3,求 的值; (2)若=1,證明(1-q)-(1+q)=,n; (3) 若正數(shù)n滿足2nq,設(shè)的兩個不同的排列, , 證明。 本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式等基礎(chǔ)知

44、識,考查運算能力,推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力,滿分14分。 (Ⅰ)解:由題設(shè),可得 所以, 當時,得 即,…, 【2008年高考試題】 4.(2008·廣東卷理2)記等差數(shù)列的前項和為,若,,則( ) A.16 B.24 C.36 D.48 答案:D 解析:,,故 7.(2008·廣東理2)記等差數(shù)列的前項和為,若,,則( ) A.16 B.24 C.36 D.48 1.(2008·江蘇10)將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣: 1 2 3 4 5 6

45、 7 8 9 10 . . . . . . . 按照以上排列的規(guī)律,第n 行(n ≥3)從左向右的第3 個數(shù)為 . 答案: 解析:前行共用了 個數(shù),因此第行從左向右的第3個數(shù)是全體正整數(shù)中的第個,即為. 3.(2008·海南寧夏卷理17)已知數(shù)列是一個等差數(shù)列,且,。 (1)求的通項; (2)求前n項和的最大值。 4.(2008·山東理19文20)將數(shù)列{an}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 …… 記表中的第一列數(shù)a1,a2,a

46、4,a7,…構(gòu)成的數(shù)列為{bn},b1=a1=1. Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,且滿足=1=(n≥2). (Ⅰ)證明數(shù)列{}成等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項公式; (Ⅱ)上表中,若從第三行起,每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列,且公比為同一個正數(shù).當時,求上表中第k(k≥3)行所有項和的和. , 5.(2008·江蘇卷19).(Ⅰ)設(shè)是各項均不為零的等差數(shù)列(),且公差 ,若將此數(shù)列刪去某一項得到的數(shù)列(按原來的順序)是等比數(shù)列: ①當n =4時,求的數(shù)值;②求的所有可能值; (Ⅱ)求證:對于一個給定的正整數(shù)n(n≥4),存在一個各項及公差都不為零的等差數(shù)列,

47、其中任意三項(按原來順序)都不能組成等比數(shù)列. ②當n=5 時, 中同樣不可能刪去首項或末項. 若刪去,則有=,即.故得=6 ; 若刪去,則=,即. 化簡得3=0,因為d≠0,所以也不能刪去; 6.(2008·廣東卷21)設(shè)為實數(shù),是方程的兩個實根,數(shù)列滿足,,(…).(1)證明:,;(2)求數(shù)列的通項公式; (3)若,,求的前項和. ①當時,此時方程組的解記為 即、分別是公比為、的等比數(shù)列, 由等比數(shù)列性質(zhì)可得,, ②當時,即方程有重根,, 即,得,不妨設(shè),由①可知 ,, 即,等式兩邊同時除以,得,即 數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列,, 綜上

48、所述, 【2007年高考試題】 1.(2007·寧夏、海南理4)已知是等差數(shù)列,,其前10項和, 則其公差(  ) A. B. C. D. 答案:D 解析: 選D 2.(2007·寧夏、海南理7)已知,,成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,則的最小值是(  ) A. B. C. D. 3.(2007·廣東理5) 已知數(shù)列{}的前n項和,第k項滿足5<<8,則= A.9 B.8 C.7 D.6 答案:B 解析:a1=S1= -8,而當n≥2時,由an=Sn-Sn-1求得an=2n-10,此式對于n=1也成立。 要滿足5

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