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第一章 極限與連續(xù)
一.教學目標
1.學習在解決一些實際問題時，需要研究變量的變化趨勢。
2.極限理論是微積分學的基本推理工具，微積分學中的很多概念和定理都是用極限方法推導出來的。
二.課時分配
本項目共7個小節(jié)，安排14課時。
三.教學重點
本章將主要學習極限與連續(xù)的基本概念，以及它們的一些性質，為進一步學好微積分打下基礎；極限理論是微積分學的基本推理工具，微積分學中的很多概念和定理都是用極限方法推導出來的。
四.教學難點
極限方法推導概念和定理。
五.教學內容
第一節(jié) 函數
一.函數的概念
1.函數的定義
定義1：設D是由數組成的集合.如果對于每個數x∈D，變量y按照一定的對應法則f總有唯一確定的數值和它對應，那么將對應法則f稱為在D上x到y(tǒng)的一個函數，記作y=f（x），x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為函數的定義域。
2.函數的表示法
（1）表格法
（2）圖象法。
用圖象表示兩個變量的函數關系的方法，如下圖所示；
（3） 解析法。
用一個等式表示兩個變量的函數關系的方法，如y=x+3，y=lg（x+2）等.
3.函數的定義域
要使解析式有意義，我們通?？紤]以下幾點：
（1）分式的分母不能為零；
（2）偶次根式的被開方數必須為非負數；
（3）對數式中的真數必須大于零；
（4）冪函數.指數函數.對數函數.三角函數.反三角函數考慮各自的定義域；
（5）若函數表達式是由幾個數學式子組成，則其定義域應取各部分定義域的交集；
（6）分段函數的定義域是各個定義區(qū)間的并集。
二.函數的幾種特性
1.奇偶性
定義2：設函數的定義域D關于原點對稱.如果對于任意的x∈D，f（-x）=-f（x），那么f（x）為奇函數；如果對于任意的x∈D，f（-x）=f（x），那么f（x）為偶函數.否則f（x）為非奇非偶函數。
奇函數的圖象關于原點對稱，如圖所示；偶函數的圖象關于y軸對稱，如圖所示。
2.單調性
定義3：若對于區(qū)間D內任意的兩點x1，x2，當x1＜x2時，恒有f（x1）≤f（x2），那么f（x）在區(qū)間D上單調增加，區(qū)間D稱為單調增區(qū)間；特別地，當x1＜x2時，恒有f（x1)＜f（x2），則稱f（x)為D上的嚴格增函數；如果恒有f（x1）＞f（x2），那么f（x）在區(qū)間D上單調減少，區(qū)間D稱為單調減區(qū)間；特別地當x1＞x2時，恒有f（x1)＞f（x2），則稱f（x)為D上的嚴格減函數。
單調遞增函數的圖象沿x軸正向上升，如圖所示；單調遞減函數的圖象沿x軸正向下降，如圖所示
3.有界性
定義4:設函數f（x）的定義域為D，數集XD.若存在數K1，使得f（x）≤K1
對任意x∈X都成立，則稱函數f（x）在X上有上界，而K1稱為函數f（x）在X上的一個上界（任何大于K1的數也是f（x)在X上的上界）；若存在數K2，使得f（x）≥K2
4.周期性
定義5:設函數f（x）的定義域為D，對于任意的x∈D，存在不為零的數T，使f（x+T）=f（x），那么f（x）為D上的周期函數，T稱為函數的一個周期，并且nT（n為非零整數）也是它的周期.平時，我們把函數的最小正周期稱為函數的周期。
三.初等函數
1.基本初等函數
我們把常數函數y=c（c為常數）.冪函數y=xα（α為實數）.指數函數y=ax（a＞0，a≠1，a為常數）.對數函數y=logax（a＞0，a≠1，a為常數）.三角函數和反三角函數統(tǒng)稱為基本初等函數。
2.復合函數
定義6:若函數y=f（u），u=g（x），且u=g（x）的值域或部分值域包含在f（u）的定義域中，則變量y通過變量u與變量x建立了對應關系，這個對應關系稱為y是x的復合函數，u是中間變量，x是自變量，通常將
y=f（u），u=g（x）合并寫成y=f［g（x）］
第二節(jié) 極限
一.數列的極限
以前我們已經學過數列的概念，現(xiàn)在我們來考察當項數n無限增大時，無窮數列{an}的變化趨勢.我們先看一個實例：一個籃球從距地面1m高處自由下落，受地心引力及空氣阻力作用，每次觸地后籃球又反彈到前一次高度的1/2處.于是，可得到表示籃球高度的一個數列：
我們知道，籃球最終會停在地面上，即反彈高度h=0，這說明，隨著反彈次數n的無限增大，數列通項hn=1/2n-1的值將趨向于0。
從圖中可看出，當n增大時，點（n，an）從橫軸上方無限接近于直線an=0.這表明，當n無限增大時，數列通項an=1/n的值無限趨近于零。
同樣，從圖中可看出，當n增大時，點（n，an）從上下兩側無限接近于直線an=1.這表明，當n無限增大時，數列通項an=（n+（-1）n）/n的值無限趨近于常數1。
定義1:如果無窮數列{an}的項數n無限增大時，an無限趨近于一個確定的常數A，那么A就叫作數列{an}的極限（limit）
limn→∞1/2n-1=0；
limn→∞1/n=0；
limn→∞(n+（-1）n)/n=1
二.函數的極限
1.當x→∞時函數f（x）的極限
定義2:如果當x→∞時，函數f（x）無限趨近于確定的常數A，那么A就叫作函數f（x）當x→∞時的極限，記作
limx→∞f（x）=A或當x→∞時，f（x）→A
下面給出當x→+∞或x→-∞時函數極限的定義。
定義3:如果當x→+∞（或x→-∞）時，函數f（x）的值無限趨近于一個確定的常數A，那么A就稱為函數f（x）當x→+∞（或x→-∞）時的極限，記作
limx→+∞f（x）=A，或當x→+∞時，f（x）→A
（limx→-∞f（x）=A，或當x→-∞時，f（x）→A）
2.當x→x0時函數f（x）的極限
定義4:設函數y=f（x）在x0的某空心鄰域
鄰域就是在數軸上滿足{x||x-x0|＜δ}，δ＞0的點的集合，即區(qū)間（x0-δ，x0+δ）內的一切實數.x0稱為鄰域的中心，δ為半徑.若這個區(qū)間不含點x0，則稱為x0的空心δ鄰域。
第三節(jié) 無窮小量與無窮大量
一.無窮小量
定義1:如果當x→x0（或x→∞）時，函數f（x）的極限為零，那么稱函數f（x）當x→x0（或x→∞）時為無窮小量，簡稱無窮小。
例如，當x→0時，sinx是無窮??；當x→∞時，1x是無窮小。
二.無窮大量
定義2:如果當x→x0（或x→∞）時，函數f（x）的絕對值無限增大，那么稱函數f（x）當x→x0（或x→∞）時為無窮大量，簡稱無窮大.
如果按函數極限的定義來看，f（x）的極限不存在，但是為了便于敘述，我們稱“函數的極限是無窮大”，并記作
limx→x0（x→∞）f（x）=∞
三.無窮小量與無窮大量的關系
定理:在自變量的同一變化過程中，如果f（x）為無窮大，那么1f（x）為無窮??；反之，如果f（x）為無窮小，且f（x）≠0，那么1f（x）為無窮大.
例如，因為limx→∞x3=∞，所以limx→∞
1x3=0；因為limx→0sinx=0，所以limx→01sinx=∞
四.無窮小量的性質
在自變量的同一變化過程中，無窮小具有以下三個性質：
性質1:有限個無窮小的代數和為無窮小。
性質2:有界函數與無窮小的乘積為無窮小。
性質3:有限個無窮小的乘積為無窮小。
第四節(jié) 極限的運算法則
法則設limx→x0f（x）=A，limx→x0g（x）=B，則有
（1） limx→x0［f（x）±g（x）］=limx→x0f（x）±
limx→x0g（x）=A±B；
（2） limx→x0［f（x）·g（x）］=limx→x0f（x）·
limx→x0g（x）=A·B；
（3） limx→x0［Cf（x）］=C·limx→x0f（x）=C·A（C為常數）；
（4） limx→x0f（x）g（x）=
limx→x0f（x）
limx→x0g（x）=AB（B≠0）
第五節(jié) 兩個重要極限
一.判定極限存在的兩個準則
準則1:如果函數f（x），g（x），h（x）在同一變化過程中滿足
g（x）≤f（x）≤h（x）
且limg（x）=limh（x）=A，那么limf（x）存在且等于A。
準則2：若數列{xn}單調有界，則limn→∞xn一定存在。
二.兩個重要極限公式
1.limx→0sinx/x=1
我們考察當x趨近于0時，函數sinx/x的變化趨勢，列表如下：
從上表中可以看出，當x→0時，sinx/x→1，即
limx→0sinx/x=1
2.limx→∞(1+1/x)/x=e
我們考察當x→∞時，函數(1+1/x)x的變化趨勢，列表如下：
從上表中可以看出，當x→+∞和x→-∞時，函數1+1xx無限趨近于一個確定的常數，這個常數就是無理數e=2.718 281 828 45…，即
limx→∞1+1xx=e
在上式中，令u=1x，則當x→∞時，u→0，于是我們可以得到另一種形式
limu→0（1+u）1u=limx→∞1+1xx=e，
即
limx→0（1+x）1x=e
第六節(jié) 函數的連續(xù)性
一.函數連續(xù)的概念
1.函數的增量
定義1:設函數y=f（x），當自變量由初值x0變到終值x1時，我們把差值x1-x0叫作自變量的增量（或改變量），記作Δx，即
Δx=x1-x0，
因此x1=x0+Δx
這時可以說，自變量由初值x0變化到x0+Δx.
相應地，函數值由f（x0）變化到f（x0+Δx），我們把差值
f（x0+Δx）-f（x0）
叫作函數的增量（或改變量），記作Δy，即
Δy=f（x0+Δx）-f（x0）
2.函數的連續(xù)
定義2:設函數y=f（x）在點x0某鄰域內有定義，如果當自變量x在x0處的增量Δx趨近于零時，函數y=f（x）的相應增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）也趨近于零，也就是說，有
lim Δy=0或lim［f（x0+Δx）-f（x0）］=0，
那么稱函數y=f（x）在點x0處連續(xù)，x0稱為函數f（x）的連續(xù)點
定義3:如果函數y=f（x）在點x0
某鄰域內有定義，并且limf（x）=f（x0），那么稱函數y=f（x）在點x0處連續(xù)，x0稱為函數f（x）的連續(xù)點。
定義4:設函數y=f（x）在x0處及其左（或右）鄰域內有定義，如果limf（x）=f（x0）（或limf（x）=f（x0）），那么稱函數f（x）在x0處左連續(xù)（或右連續(xù)）。
定義5:如果函數f（x）在開區(qū)間（a，b）內每一點都連續(xù)，那么稱函數f（x）在區(qū)間（a，b）內連續(xù)，或稱函數f（x）為區(qū)間（a，b）內的連續(xù)函數，區(qū)間（a，b）稱為函數f（x）的連續(xù)區(qū)間。
二.初等函數的連續(xù)性
1.連續(xù)函數的和、差、積、商的連續(xù)性
性質1：如果函數f（x）與g（x）在點x0處連續(xù)，那么它們的和.差.積.商（分母在x0處不等于零）也都在x0處連續(xù).即
lim［f（x）±g（x）］=f（x0）±g（x0）；
lim［f（x）·g（x）］=f（x0）g（x0）；
limf（x）g（x）=f（x0）g（x0）（g（x0）≠0）.
2.復合函數的連續(xù)性
性質2如果函數u=φ（x）在點x0處連續(xù)，且φ（x0）=u0，而函數y=f（u）在點u0處連續(xù)，那么復合函數y=f［φ（x）］在點x0處也連續(xù)。
3.初等函數的連續(xù)性
性質3：一切初等函數在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的。
這個結論對于以后判定函數連續(xù)性及一些極限的運算是非常有價值的。如果已知函數f（x）是初等函數，且x0屬于f（x）的定義區(qū)間，那么求limf（x）時，只需將x0代入函數，求函數值f（x0）即可。
三.閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質
性質4：如果函數f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，那么函數f（x）在［a，b］上一定有最大值與最小值。
如圖所示，可以看出，在［a，b］上至少有一點ξ（a≤ξ≤b）使得f（ξ）=m為最小值，即m=f（ξ）≤f（x）（a≤x≤b），又至少有一點η（a≤η≤b）使f（η）=M為最大值，即M=f（η）≥f（x）（a≤x≤b）.
對于在開區(qū)間內連續(xù)或在閉區(qū)間上有間斷點的函數，其最大值.最小值不一定存在。
性質5：如果函數y=f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且在兩端點取不同的函數值f（a）=A和f（b）=B，C是A與B之間的任一數，那么在開區(qū)間（a，b）內至少有一點ξ，使得
f（ξ）=C（a＜ξ＜b）
這就是著名的介值定理，它的幾何意義是：在［a，b］上的連續(xù)曲線y=f（x）與直線y=C（C在A與B之間）至少有一個交點，交點坐標為（ξ，f（ξ）），其中f（ξ）=C，如圖所示。
推論如果函數y=f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號，那么至少存在一點ξ（a＜ξ＜b），使得f（ξ）=0。
第七節(jié) 經濟學中常用的函數
一.需求函數與供給函數
1.需求函數
一種商品的市場需求量Q與該商品的價格P密切相關，通常降低商品價格會使需求量增加；提高商品價格會使需求量減少.如果不考慮其他因素的影響，需求量Q可以看成是價格P的一元函數，稱為需求函數，記作
Q=Q（P）.
一般來說，需求函數為價格P的單調減少函數。
2.供給函數
某種商品的市場供給量S也受商品價格P的制約，價格上漲將刺激生產者向市場提供更多的商品，使供給量增加；反之，價格下跌將使供給量減少．供給量S也可看成價格P的一元函數，稱為
供給函數，記為
S=S（P）
供給函數為價格P的單調增加函數。
常見的供給函數有線性函數.二次函數.冪函數.指數函數等。其中，線性供給函數為
S=-c+dP（c>0，d>0）
二.成本函數、平均成本函數
設Q為某種產品的產量，C為生產此種產品的成本，則用
C=C（Q）
表示該種產品的成本函數。
設生產每個單位產品的成本為a，固定成本為C0，則成本函數為
C=C（Q）=aQ+C0
用C表示生產Q個單位產品的平均成本，則
C=C（Q）=C（Q）Q
表示每單位的平均成本函數.平均成本函數也用AC表示.
三.價格函數、收入函數與利潤函數
在消費理論中，需求函數是我們前面討論的形式
Q=f（P）
這種形式所強調的是既定價格下的需求量．在廠商理論中，強調的是既定需求下的價格．在這種情況下，價格是需求量的函數，表示為
P=P（Q）
六．課后習題
完成每章后面的復習題。
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