《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 配套PPT課件
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第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
一.教學(xué)目標(biāo)
1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)及曲線的某些性態(tài)，并解決一些實(shí)際問題。
2.在微分中值定理的基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的某些性態(tài)。
二.課時(shí)分配
本項(xiàng)目共7個(gè)小節(jié)，安排14課時(shí)。
三.教學(xué)重點(diǎn)
學(xué)習(xí)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)及曲線的某些性態(tài)，并解決一些實(shí)際問題；在微分中值定理的基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的某些性態(tài)。
四.教學(xué)難點(diǎn)
在微分中值定理的基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的某些性態(tài)。
五.教學(xué)內(nèi)容
第一節(jié) 微分中值定理
一.羅爾定理
羅爾定理如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b），那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b），使得函數(shù)f（x）在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，即f′（ξ）=0.
二.拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b），使等式
f（b）-f（a）=f′（ξ）/（b-a）成立。
f（b）-f（a）/b-a=f′（ξ），
由圖可看出，f（b）-f（a）b-a為弦AB的斜率，而f′（ξ）為曲線在點(diǎn)C處的切線的斜率.因此拉格朗日中值定理的幾何意義是：如果連續(xù)曲線y=f（x）的弧AB上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切線，那么這弧上至少有一點(diǎn)C，使曲線在C點(diǎn)處的切線平行于弦AB.
第二節(jié) 洛必達(dá)法則
一.00型未定式
定理1：（洛必達(dá)法則）如果函數(shù)f（x），g（x）滿足條件：
（1） limf（x）=0，limx→x0g（x）=0；
（2） f（x）和g（x）在點(diǎn)x0的某空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g′（x）≠0；
（3） limf′（x）g′（x）存在（或?yàn)闊o窮大）；
那么
limf（x）/g（x）=limf′（x）/g′（x）。
這個(gè)法則告訴我們，當(dāng)x→x0時(shí)，如果f（x）/g（x）為0/0型未定式，那么在上述條件下，要計(jì)算極限limf（x）/g（x），可化為計(jì)算極限limf′（x）/g′（x）。
如果f′（x）/g′（x）當(dāng)x→x0時(shí)，仍屬0/0型，且f′（x）和g′（x）仍滿足洛必達(dá)法則條件，則可連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算，即
limf（x）/g（x）=limf′（x）/g′（x）=limf″（x）/g″（x）。
二.∞∞型未定式
對(duì)于x→x0時(shí)的∞∞型未定式，也有相應(yīng)的洛必達(dá)法則.
定理2:如果f（x），g（x）滿足條件：
（1） limf（x）=∞，limg（x）=∞；
（2） f（x）和g（x）在點(diǎn)x0的某空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g′（x）≠0；
（3） limf′（x）/g′（x）存在（或無窮大）；
那么
limf（x）/g（x）=limf′（x）/g′（x）
對(duì)于x→∞時(shí)的∞∞型未定式，上述法則也同樣適用.
第三節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性
如圖所示，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上單調(diào)增加，那么它的圖象是一條沿x軸正向上升的曲線，這時(shí)，曲線上各點(diǎn)切線的傾斜角都是銳角，它們的切線斜率f′（x）都是正的，即f′（x）＞0.同樣地，如圖所示，如果函數(shù)y=f（x）在［a，b］上單調(diào)減少，那么它的圖象是一條沿x軸正向下降的曲線，這時(shí)曲線上各點(diǎn)切線的傾斜角都是鈍角，它們的斜率f′（x）都是負(fù)的，即f′（x）＜0。
定理設(shè)函數(shù)y=f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)：
（1） 如果在（a，b）內(nèi)f′（x）＞0，那么函數(shù)y=f（x）在［a，b］上單調(diào)增加；
（2） 如果在（a，b）內(nèi)f′（x）＜0，那么函數(shù)y=f（x）在［a，b］上單調(diào)減少。
第四節(jié) 函數(shù)的極值
一.函數(shù)極值的定義
在圖中我們可以看出，函數(shù)y=f（x）在c1，c4的函數(shù)值f（c1），f（c4）比它們兩旁各點(diǎn)的函數(shù)值都大，而在點(diǎn)c2，c5的函數(shù)值f（c2），f（c5）比它們兩旁各點(diǎn)的函數(shù)值都小.對(duì)于這種性質(zhì)的點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，我們給出如下的定義。
定義設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有定義，x0∈（a，b）.若對(duì)于點(diǎn)x0近旁的任意點(diǎn)x（x≠x0），均有f（x）＜f（x0）成立，則稱f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值，點(diǎn)x0稱為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；若對(duì)于點(diǎn)x0近旁的任意點(diǎn)x（x≠x0），均有f（x）＞f（x0）成立，則稱f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，點(diǎn)x0稱為f（x）的極小值點(diǎn)。
二.函數(shù)極值的判定和求法
定理1：設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在點(diǎn)x0處取得極值，則必有f′（x0）=0。
使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)（即方程f′（x）=0的實(shí)根）叫作函數(shù)f（x）的駐點(diǎn)（又叫穩(wěn)定點(diǎn)）。
定理2：（第一種充分條件）設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)。
（1）如果當(dāng)x取x0左側(cè)鄰域的值時(shí)，恒有f′（x）＞0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰域的值時(shí)，恒有f′（x）＜0，那么函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處取得極大值f（x0）；
（2）如果當(dāng)x取x0左側(cè)鄰域的值時(shí)，恒有f′（x）＜0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰域的值時(shí)，恒有f′（x）＞0，那么函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處取得極小值f（x0）；
（3）如果在x0的兩側(cè)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)相同，那么函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處沒有極值。
當(dāng)函數(shù)f（x）在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零時(shí)，也可以利用下列定理來判定f（x）在駐點(diǎn)處取得極大值還是極小值。
定理3：（第二種充分條件）設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f′（x0）=0，f″（x0）≠0，那么
（1） f″（x0）＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在x0處取得極大值；
（2） f″（x0）＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在x0處取得極小值。
根據(jù)上面三個(gè)定理，如果函數(shù)f（x）在所討論的區(qū)間內(nèi)各點(diǎn)處都具有導(dǎo)數(shù)，我們就以下列步驟來求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)和極值：
（1） 求出函數(shù)f（x）的定義域；
（2） 求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）；
（3） 求出f（x）的全部駐點(diǎn)（即求出方程f′（x）=0在所討論的區(qū)間內(nèi)的全部實(shí)根）或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；
（4） 用以上所求得的點(diǎn)把函數(shù)的定義域劃分為若干個(gè)部分區(qū)間，考察每個(gè)部分區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號(hào)，以確定這些點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，如果是極值點(diǎn)，還要按定理2確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值；
（5） 求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值，就得到了函數(shù)f（x）的全部極值。
第五節(jié) 函數(shù)的最值
一.函數(shù)的最大值和最小值的求法
我們知道，閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)f（x）一定有最大值和最小值存在.顯然，這個(gè)最大值和最小值只能在區(qū)間（a，b）內(nèi)的極值點(diǎn)或者區(qū)間的端點(diǎn)處取得.因此，求閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值時(shí)，只要把可能取得極值的點(diǎn)（駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)）與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較大小，最大的就是f（x）在［a，b］上的最大值，最小的就是f（x）在［a，b］上的最小值。
二.最大值和最小值的應(yīng)用問題
在實(shí)際問題中，常要遇到在一定條件下，怎樣使產(chǎn)量最多.用料最省.成本最低等問題，這類問題?？蓺w結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題。
第六節(jié) 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)
一.曲線的凹凸性及其判別法
定義1：若在開區(qū)間（a，b）內(nèi)，曲線y=f（x）的各點(diǎn)處切線都位于曲線的下方，則稱此曲線在（a，b）內(nèi)是凹的；若曲線y=f（x）的各點(diǎn)處切線都位于曲線的上方，則稱此曲線在（a，b）內(nèi)是凸的。
如圖所示，曲線y=f（x）在區(qū)間（a，c）內(nèi)是凸的，在區(qū)間（c，b）內(nèi)是凹的.再觀察曲線段上各點(diǎn)處的斜率的變化我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，曲線y=f（x）在區(qū)間（a，c）內(nèi)從左至右切線的斜率是遞減的；在區(qū)間（c，b）內(nèi)從左至右切線的斜率是遞增的.聯(lián)系函數(shù)增減性的判別方法，我們便有如下的曲線凹凸性的判別定理。
定理設(shè)函數(shù)y=f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，則
（1）若果在區(qū)間（a，b）內(nèi)f″（x）＞0，則曲線y=f（x）在（a，b）內(nèi)是凹的；
（2）若在區(qū)間（a，b）內(nèi)f″（x）＜0，則曲線y=f（x）在（a，b）內(nèi)是凸的。
二.曲線的拐點(diǎn)
定義2：若連續(xù)曲線y=f（x）上的一點(diǎn)是凹的曲線弧與凸的曲線弧的分界點(diǎn)，則稱該點(diǎn)是曲線y=f（x）的拐點(diǎn)。
因?yàn)楣拯c(diǎn)是曲線凹凸的分界點(diǎn)，所以拐點(diǎn)左右兩側(cè)近旁f″（x）的符號(hào)必然異號(hào).因此曲線y=f（x）拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0只可能是使f″（x）=0或f″（x）不存在的點(diǎn).下面我們介紹判定曲線的拐點(diǎn)的步驟。
（1）確定函數(shù)y=f（x）的定義域；
（2）求出二階導(dǎo)數(shù)f″（x），令f″（x）=0，求出定義域內(nèi)的所有實(shí)根，指出f″（x）不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)來劃分定義域；
（3）列表討論f（x）在各個(gè)區(qū)間f″（x）的符號(hào)和f（x）的凹凸性；
（4）確定y=f（x）的拐點(diǎn)。
第七節(jié) 圖象的描繪
一.漸近線
定義若曲線y=f（x）的定義域是無限區(qū)間，且有l(wèi)imf（x）=b或limf（x）=b，則直線y=b為曲線y=f（x）的水平漸近線；若曲線y=f（x）有l(wèi)imf（x）=∞，或limf（x）=∞，則直線x=x0是曲線y=f（x）的垂直漸近線。
二.圖象的描繪
（1） 確定函數(shù)的定義域，并討論函數(shù)的有界性.周期性.奇偶性等；
（2） 求f′（x），f″（x），解出f′（x）=0及f″（x）=0在定義域內(nèi)的全部實(shí)根及一階.二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；
（3） 列表討論f′（x），f″（x）的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性.凹凸性.極值和拐點(diǎn)；
（4） 計(jì)算一些必要的輔助點(diǎn)；
（5） 討論曲線的漸近線；
（6） 描出函數(shù)圖象。
六．課后習(xí)題
完成每章后面的復(fù)習(xí)題。
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