《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 配套PPT課件
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第四章 不定積分
一.教學(xué)目標(biāo)
1.學(xué)習(xí)已知一個(gè)函數(shù)，求它的導(dǎo)數(shù)。
2.學(xué)習(xí)已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出這個(gè)函數(shù)。
3.學(xué)習(xí)研究不定積分的概念.性質(zhì)和基本積分方法。
二.課時(shí)分配
本項(xiàng)目共3個(gè)小節(jié)，安排6課時(shí)。
三.教學(xué)重點(diǎn)
學(xué)習(xí)已知一個(gè)函數(shù)，求它的導(dǎo)數(shù)；學(xué)習(xí)已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出這個(gè)函數(shù)；研究不定積分的概念.性質(zhì)和基本積分方法。
四.教學(xué)難點(diǎn)
研究不定積分的概念.性質(zhì)和基本積分方法。
五.教學(xué)內(nèi)容
第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)
一.原函數(shù)與不定積分
微分學(xué)研究如何從已知函數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)，其逆問(wèn)題是求一個(gè)未知函數(shù)，使其導(dǎo)函數(shù)恰好是某一個(gè)已知函數(shù).例如，我們已知t時(shí)刻的速度v（t）是位移s（t）的導(dǎo)數(shù)，v（t）=ds/dt；加速度a（t）是速度v（t）的導(dǎo)數(shù)，a（t）=dv/dt.現(xiàn)在反過(guò)來(lái)，已知速度v（t），如何求位移s（t）?已知加速度a（t），如何求速度v（t）?又例如，我們已知曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x，y）處的切線斜率k是f（x）在切點(diǎn)橫坐標(biāo)x處的導(dǎo)數(shù)，k=f′（x），反過(guò)來(lái)，如果已知某曲線在任意點(diǎn)M（x，y）處的切線斜率k（x），如何求出該曲線方程?
定義1:設(shè)函數(shù)F（x）和f（x）在區(qū)間I上有定義，若對(duì)于I上每一點(diǎn)x，都有F′（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，
則稱F（x）是f（x）在區(qū)間I上的原函數(shù)。
研究原函數(shù)，首先需要解決在什么條件下，函數(shù)的原函數(shù)存在?如果存在，原函數(shù)是否唯一?事實(shí)上，并不是每個(gè)函數(shù)都存在原函數(shù)，我們將在下一章中證明下述定理。
定理若函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)，那么f（x）在I上的原函數(shù)F（x）存在。
由于初等函數(shù)在其定義域上處處連續(xù)，因此，每個(gè)初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都存在原函數(shù)。
設(shè)F（x）是f（x）在區(qū)間I上的原函數(shù)，即F′（x）=f（x），那么，對(duì)任意常數(shù)C，由［F（x）+C］′=F′（x）=f（x）知，F(xiàn)（x）+C也是f（x）的原函數(shù)。
如果F（x），G（x）都是f（x）在區(qū)間I上的原函數(shù)，即有F′（x）=G′（x）=f（x），根據(jù)微分學(xué)拉格朗日中值定理的推論，存在某常數(shù)C，使G（x）=F（x）+C
上述表明，如果某函數(shù)存在原函數(shù)，那么原函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，并且，它們彼此之間只相差一個(gè)常數(shù).因此，若把兩個(gè)函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)作為“等價(jià)”看待，則可認(rèn)為原函數(shù)“基本上”只有一個(gè).要把某函數(shù)的原函數(shù)求出來(lái)，只需求出其中任意一個(gè)，由它加上各個(gè)不同的常數(shù)便可得到全部原函數(shù).根據(jù)全體原函數(shù)的這種結(jié)構(gòu)，引入不定積分的概念。
定義2:函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的原函數(shù)全體稱為f（x）在I上的不定積分，記作∫f（x）dx
其中，記號(hào)∫稱為積分號(hào)，f（x）稱為被積函數(shù)，f（x）dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量。
由定義2可知不定積分與原函數(shù)是整體和個(gè)體的關(guān)系，f（x）的不定積分∫f（x）dx是f（x）的原函數(shù)的全體，是一族函數(shù).若F（x）是f（x）在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則f（x）在I上的不定積分為
∫f（x）dx=F（x）+C。
其中，C為任意實(shí)數(shù)，稱為積分常數(shù)。
二.不定積分的幾何意義
在直角坐標(biāo)系中，f（x）的任意一個(gè)原函數(shù)F（x）的圖形是一條曲線y=F（x），這條曲線上任意點(diǎn)（x，F(xiàn)（x））處的切線的斜率F′（x）恰為函數(shù)值f（x），稱這條曲線為f（x）的一條積分曲線.f（x）的不定積分F（x）+C則是一個(gè)曲線簇，稱為積分曲線簇.如圖41所示，平行于y軸的直線與簇中每一條曲線的交點(diǎn)處的切線斜率都等于f（x），因此積分曲線簇可以由一條積分曲線通過(guò)經(jīng)y軸方向平移得到。
由不定積分和微分的關(guān)系可知：
［∫f（x）dx］′=f（x）或d∫f（x）dx=f（x）dx，
∫F′（x）dx=F（x）+C或∫dF（x）=F（x）+C
三.不定積分的基本公式
根據(jù)積分法是微分法的逆運(yùn)算關(guān)系，我們可以從每一個(gè)導(dǎo)數(shù)公式相應(yīng)地得到一個(gè)不定積分公式.下面為最常用的不定積分公式：
（1） ∫kdx=kx+C（k為常數(shù)）；
（2） ∫xαdx=xα+1 /(α+1)+C（α≠-1，α為常數(shù)）；
（3） ∫(1/x)dx=∫dx/x=ln|x|+C；
（4） ∫exdx=ex+C；
（5） ∫axdx=ax/lna+C（a＞0，a≠1，a為常數(shù)）；
四.不定積分的性質(zhì)
性質(zhì)1:若f（x）和g（x）的不定積分存在，則f（x）+g（x）的不定積分也存在，且
∫［f（x）+g（x）］dx=∫f（x）dx+∫g（x）dx。
性質(zhì)2:若f（x）的不定積分存在，k為非零常數(shù)，則kf（x）的不定積分也存在，且
∫kf（x）dx=k∫f（x）dx。
利用不定積分的性質(zhì)和基本積分表，可以求得一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)的不定積分。
第二節(jié) 換元積分法
一.第一類換元積分法
定理1：設(shè)函數(shù)u=φ（x）具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且∫f（u）du=F（u）+C，則
∫f［φ（x）］φ′（x）dx=F［φ（x）］+C。
稱為不定積分的第一類換元積分公式.利用第一類換元積分公式計(jì)算不定積分的方法為第一類換元積分法。
第一類換元積分法的關(guān)鍵是要能從被積函數(shù)g（x）中分離出因式φ′（x），φ′（x）與dx結(jié)合湊成微分d［φ（x）］.因此也稱該換元積分法為湊微分法。
運(yùn)用湊微分法求不定積分，需要熟悉以下常用的微分式：
（1） dx=1/ad（ax+b）（a≠0）； （2） xdx=1/2d（x2）；
（3） 1/xdx=d（lnx）； （4） 1/x2dx=-d(1/x)；
二.第二類換元積分法
如果不定積分∫f（x）dx不易直接應(yīng)用基本積分表計(jì)算，我們還可以通過(guò)適當(dāng)代換x=φ（t），將不定積分∫f（x）dx化為比較容易計(jì)算的關(guān)于新積分變量t的不定積分∫f［φ（t）］φ′（t）dt，這就是第二類換元積分法。
定理2:設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，x=φ（t）具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且導(dǎo)數(shù)不為零，t=φ-1（x）是其反函數(shù).如果Φ（t）是f［φ（t）］φ′（t）的原函數(shù)，則
∫f（x）dxx=φ（t）∫f［φ（t）］φ′（t）dt=Φ（t）+C
=Φ［φ-1（x）］+C
稱為第二類換元積分公式，相應(yīng)的積分方法稱為第二類換元積分法。
第三節(jié) 分部積分法
通過(guò)前面內(nèi)容的學(xué)習(xí)，利用基本積分法和換元積分法可以解決大量的不定積分的計(jì)算問(wèn)題，但是仍然有一些不定積分如∫xcosxdx，∫xexdx，∫xlnxdx等不定積分無(wú)法用上述方法求出，那么它們又是如何計(jì)算的呢？本節(jié)將要介紹另一種基本積分方法——分部積分法。
定理：設(shè)函數(shù)u=u（x），v=v（x）均具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則由兩個(gè)函數(shù)乘法的微分法則可得：
d（uv）=udv+vdu或udv=d（uv）-vdu，
兩邊同時(shí)積分得
∫udv=∫d（uv）-∫vdu=uv-∫vdu，
這個(gè)公式被稱為分部積分公式。
u，v的選擇原則如下：
（1） 由φ（x）dx=dv，求v比較容易；
（2） ∫vdu比∫udv更容易計(jì)算。
分部積分法在選取u，v過(guò)程中，要始終選取同一類函數(shù)作為u，v。
六．課后習(xí)題
完成每章后面的復(fù)習(xí)題。
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