《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 配套PPT課件,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ),《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》,配套PPT課件,經(jīng)濟(jì),數(shù)學(xué),基礎(chǔ),配套,PPT,課件 第五章 定積分及其應(yīng)用 一.教學(xué)目標(biāo) 1.了解定積分在理論的重要意義。 2.學(xué)習(xí)定積分的概念。 3.討論定積分的性質(zhì)與計(jì)算方法。 4.介紹定積分在幾何和經(jīng)濟(jì)方面的一些應(yīng)用。 二.課時(shí)分配 本項(xiàng)目共5個(gè)小節(jié)，安排10課時(shí)。 三.教學(xué)重點(diǎn) 學(xué)習(xí)定積分的概念；討論定積分的性質(zhì)與計(jì)算方法；介紹定積分在幾何和經(jīng)濟(jì)方面的一些應(yīng)用。 四.教學(xué)難點(diǎn) 討論定積分的性質(zhì)與計(jì)算方法。 五.教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 定積分的概念 一.引例 1. 曲邊梯形的面積 在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線(xiàn)y=f（x），直線(xiàn)x=a，x=b及x軸所圍成的圖形稱(chēng)為曲邊梯形。 設(shè)y=f（x）在［a，b］上連續(xù)，且f（x）≥0，求以曲線(xiàn)y=f（x）為曲邊，底邊為［a，b］的曲邊梯形的面積A，如圖所示。 曲邊梯形面積可按下述步驟來(lái)計(jì)算： （1） 分割.在區(qū)間［a，b］中任取若干分點(diǎn) a=x0＜x1＜x2＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn-1＜xn=b 把曲邊梯形的底［a，b］分成n個(gè)小區(qū)間 ［x0，x1］，［x1，x2］，…，［xi-1，xi］，…，［xn-1，xn］. 小區(qū)間［xi-1，xi］的長(zhǎng)度記為 Δxi=xi-xi-1（i=1，2，3，…，n） 過(guò)各分點(diǎn)作垂直于x軸的直線(xiàn)段，把整個(gè)曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，其中第i個(gè)小曲邊梯形的面積記為ΔAi（i=1，2，…，n）。 （2） 取近似.在第i個(gè)小曲邊梯形的底［xi-1，xi］上任取一點(diǎn)ξi（xi-1≤ξi≤xi），它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是f（ξi）.用相應(yīng)的寬為Δxi.長(zhǎng)為f（ξi）的小矩形面積來(lái)近似代替這個(gè)小曲邊梯形的面積，即 ΔAi≈f（ξi）Δxi （3） 求和.把n個(gè)小矩形的面積相加得和式∑nf（ξi）Δxi，它就是曲邊梯形面積A的近似值，即 A≈∑nf（ξi）Δxi （4） 取極限.分割越細(xì)，∑nf（ξi）Δxi就越接近于曲邊梯形的面積A.當(dāng)小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值趨近于零，即‖Δxi‖→0（‖Δxi‖表示這些小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值）時(shí)，和式∑nf（ξi）Δxi的極限就是A，即 A=lim‖Δxi‖→0∑nf（ξi）Δxi 2. 變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程 設(shè)一物體沿一直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，已知速度v=v（t）是時(shí)間區(qū)間［a，b］上t的連續(xù)函數(shù)，且v（t）≥0，求這一物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程S。 （1）分割.任取分點(diǎn)a=t0＜t1＜t2＜…＜ti-1＜ti＜…＜tn-1＜tn=b，把時(shí)間區(qū)間［a，b］分成n個(gè)小區(qū)間 ［a，b］=［t0，t1］∪［t1，t2］∪…∪［ti-1，ti］∪…∪［tn-1，tn］ 記第i個(gè)小區(qū)間［ti-1，ti］的長(zhǎng)度為Δti=ti-ti-1，物體在第i時(shí)間段內(nèi)所走過(guò)的路程為ΔSi（i=1，2，…，n）。 （2）取近似.在小區(qū)間［ti-1，ti］上認(rèn)為運(yùn)動(dòng)是勻速的，用其中任一時(shí)刻ti的速度v（ti）來(lái)近似代替變化的速度v（t），即v（t）≈v（ti），t∈［ti-1，ti］，得到ΔSi的近似值為 ΔSi≈v（ti）·Δti （3）求和.把n段時(shí)間上的路程近似值相加，得到總路程的近似值為 S≈∑ni=1v（ti）Δti 二.定積分的概念 定義:設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上有定義.在區(qū)間［a，b］中任取分點(diǎn) a=x0＜x1＜x2＜x3＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn-1＜xn=b， 將區(qū)間［a，b］分成n個(gè)小區(qū)間［xi-1，xi］，其長(zhǎng)度為 Δxi=xi-xi-1（i=1，2，…，n） 在每個(gè)小區(qū)間［xi-1，xi］上任取一點(diǎn)ξi（xi-1≤ξi≤xi）求乘積f（ξi）Δxi（i=1，2，…，n）的和式 ∑nf（ξi）Δxi 三.定積分的幾何意義 在閉區(qū)間［a，b］上，若函數(shù)f（x）≥0，則∫b/af（x）dx在幾何上表示由曲線(xiàn)y=f（x）（≥0），直線(xiàn)x=a，x=b和x軸圍成的曲邊梯形的面積。 在閉區(qū)間［a，b］上，若函數(shù)f（x）≤0，則∫b/af（x）dx在幾何上表示由曲線(xiàn)y=f（x）（≤0），直線(xiàn)x=a，x=b和x軸圍成的曲邊梯形（在x軸下方）的面積的相反數(shù)。 在閉區(qū)間［a，b］上，f（x）有正有負(fù)時(shí)，如果我們約定位于x軸上方的面積為“正”，下方的面積為“負(fù)”，這時(shí)，∫b/af（x）dx在幾何上表示介于x軸及直線(xiàn)x=a，x=b和曲線(xiàn)y=f（x）之間的各部分面積的代數(shù)和，如圖所示，即 ∫b/af（x）dx=A1-A2+A3 四.定積分的性質(zhì) 由定積分的定義知，定積分是積分和式的極限.因此，由極限的運(yùn)算法則容易推出以下一些簡(jiǎn)單性質(zhì)，其中被積函數(shù)在積分區(qū)間上假設(shè)都是可積的. 性質(zhì)1:被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面，即 ∫b/akf（x）dx=k∫b/af（x）dx 性質(zhì)2兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)和，即 ∫b/a［f（x）±g（x）］dx=∫b/af（x）dx±∫bag（x）dx 性質(zhì)2可推廣到有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情況，即 ∫b/a［f1（x）±f2（x）±…±fn（x）］dx =∫b/af1（x）dx±∫b/af2（x）dx±…±∫b/afn（x）dx 性質(zhì)3:如果a＜c＜b，那么 ∫b/af（x）dx=∫ca/f（x）dx+∫b/cf（x）dx 性質(zhì)3:叫作定積分的區(qū)間可加性.從定積分的幾何意義可以直接看出它的正確性，并且無(wú)論a，b，c三點(diǎn)位置如何，該性質(zhì)總成立，如圖所示。 事實(shí)上，當(dāng)a＜b＜c時(shí)，從幾何上直觀看到 ∫b/af（x）dx=∫c/af（x）dx-∫c/bf（x）dx =∫c/af（x）dx+∫b/cf（x）dx 性質(zhì)4:在［a，b］上，若f（x）≥g（x），則 ∫b/af（x）dx≥∫bag（x）dx 性質(zhì)4說(shuō)明：比較兩個(gè)定積分的大小，只需在同一積分區(qū)間上比較兩個(gè)被積函數(shù)的大小。 性質(zhì)5:（估值定理）如果函數(shù)f（x）在［a，b］上可積，對(duì)任意x∈［a，b］恒有m≤f（x）≤M，則 m（b-a）≤∫b/af（x）dx≤M（b-a） 性質(zhì)5:的幾何意義是：曲線(xiàn)y=f（x）在［a，b］上曲邊梯形的面積介于以區(qū)間［a，b］長(zhǎng)度為底，分別以m和M為高的兩個(gè)矩形面積之間，如圖所示. 第二節(jié) 微積分基本定理 一.積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，則對(duì)于［a，b］上任意x，f（x）在［a，x］上可積，即積分 ∫x/af（x）dx，x∈［a，b］ 存在.其中x既表示積分上限，又表示積分變量，為避免混淆，將積分變量x換寫(xiě)成t，即 ∫x/af（x）dx=∫x/af（t）dt，x∈［a，b］ 對(duì)于［a，b］上任一給定的x，有唯一確定的積分值∫xaf（t）dt與之對(duì)應(yīng)，因而∫xaf（t）dt是定義在區(qū)間［a，b］上的自變量x在積分上限的函數(shù)，稱(chēng)為積分上限函數(shù)，也稱(chēng)變上限定積分，記作Φ（x），即 Φ（x）=∫x/af（t）dt，x∈［a，b］ 積分上限函數(shù)的幾何意義是底邊為［a，x］的變動(dòng)曲邊梯形面積，如圖所示。 Φ（x）具有以下性質(zhì)： 定理1:如果f（x）在［a，b］上連續(xù)，則積分上限函數(shù) Φ（x）=∫x/af（t）dt 在［a，b］上對(duì)其上限x的導(dǎo)數(shù)存在，且 Φ′（x）=d/dx∫x/af（t）dt=f（x），x∈［a，b］ 定理2:（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)f（x）在［a，b］上連續(xù)，則f（x）在［a，b］上存在原函數(shù)，并且積分上限函數(shù) Φ（x）=∫x/af（t）dt 是f（x）在［a，b］上的一個(gè)原函數(shù)。 二.微積分基本定理 定理3:設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，F(xiàn)（x）是f（x）在［a，b］上的一個(gè)原函數(shù)，則 ∫b/af（x）dx=F（b）-F（a） 證明已知F（x）是f（x）在［a，b］上的一個(gè)原函數(shù)，而 Φ（x）=∫x/af（t）dt 也是f（x）在［a，b］上的一個(gè)原函數(shù)，因此存在常數(shù)C，使 Φ（x）=∫x/af（t）dt=F（x）+C，x∈［a，b］. 令x=a，得 Φ（a）=∫a/af（t）dt=0=F（a）+C. 故 C=-F（a） 再令x=b，得 Φ（b）=∫b/af（t）dt=F（b）+C=F（b）-F（a） 或 ∫b/af（x）dx=F（b）-F（a） 第三節(jié) 定積分的計(jì)算 一.定積分的換元積分法 定理1：如果函數(shù)f（x）在［a，b］上連續(xù)，函數(shù)x=φ（t）在［α，β］上是單調(diào)的且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)φ′（t），又φ（α）=a，φ（β）=b，且當(dāng)t在［α，β］上變化時(shí)，相應(yīng)的x值不越出［a，b］的范圍，那么 ∫(b/a_f（x）dx=∫β/αf［φ（t）］φ′（t）dt 二.分部積分法 定理2:如果函數(shù)u（x），v（x）在區(qū)間［a，b］上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么 ∫(b/a)u（x）d［v（x）］=［u（x）v（x）］b/a-∫(b/a)v（x）d［u（x）］ 也可簡(jiǎn)寫(xiě)為 ∫(b/a)udv=［uv］b/a-∫(b/a)vdu. 以上兩個(gè)公式稱(chēng)為定積分的分部積分公式。 第四節(jié) 廣義積分 一.無(wú)限區(qū)間上的廣義積分 定義1：假設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，+∞）上連續(xù)，對(duì)于任意b＞a，積分∫b/af（x）dx存在，我們稱(chēng) ∫f（x）dx=lim∫b/af（x）dx 為f（x）在無(wú)限區(qū)間［a，+∞）上的廣義積分.如果上式右邊的極限存在，稱(chēng)廣義積分∫f（x）dx收斂，極限值為廣義積分值；否則，稱(chēng)廣義積分發(fā)散。 同樣地，假設(shè)函數(shù)f（x）在（-∞，b）上連續(xù)，對(duì)于任意a＜b，我們稱(chēng) ∫f（x）dx=lim∫b/af（x）dx 為f（x）在無(wú)限區(qū)間（-∞，b］上的廣義積分.如果極限存在，稱(chēng)廣義積分∫f（x）dx收斂，極限值為廣義積分值；否則稱(chēng)廣義積分發(fā)散。 如果f（x）在（-∞，+∞）上連續(xù)，則將廣義積分∫+∞-∞f（x）dx做如下定義： ∫f（x）dx=∫f（x）dx+∫f（x）dx. 二.無(wú)界函數(shù)的廣義積分 定義2:設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b］上連續(xù)，limf（x）=∞，對(duì)充分小的正數(shù)ε，稱(chēng) ∫b/af（x）dx=lim∫b/a+εf（x）dx 為f（x）在區(qū)間（a，b］上的廣義積分.若等式右邊的極限存在，則稱(chēng)廣義積分∫b/af（x）dx收斂，極限值為廣義積分值；否則，稱(chēng)廣義積分發(fā)散。 類(lèi)似地，設(shè)f（x）在區(qū)間［a，b）上連續(xù)，limf（x）=∞，對(duì)充分小的正數(shù)ε，稱(chēng) ∫b/af（x）dx=limε→0+∫b-εaf（x）dx 為f（x）在區(qū)間［a，b）上的廣義積分.如果極限存在，則稱(chēng)廣義積分∫baf（x）dx收斂，極限值為廣義積分值；否則，稱(chēng)廣義積分發(fā)散。 如果a＜c＜b，limf（x）=∞，f（x）在［a，c）∪（c，b］上連續(xù)，則將廣義積分∫b/af（x）dx定義為 ∫b/af（x）dx=∫c/af（x）dx+∫b/cf（x）dx 只有等式右邊兩個(gè)廣義積分都收斂時(shí)，廣義積分∫b/af（x）dx才收斂。 第五節(jié) 定積分的應(yīng)用 一.微元法 （1） U依賴(lài)于區(qū)間［a，b］，當(dāng)將［a，b］分成若干子區(qū)間后，量U成為對(duì)應(yīng)于各子區(qū)間上部分量ΔU的和； （2） U依賴(lài)于區(qū)間［a，b］上的某函數(shù)； （3） 在［a，b］的微小子區(qū)間［x，x+dx］上對(duì)應(yīng)的部分量ΔU≈f（x）dx，若記量U的微元為dU， 即有ΔU≈dU，ΔU與dU的差是比dx高階的無(wú)窮小。 那么以dU=f（x）dx為積分表達(dá)式，從x=a到x=b的定積分∫baf（x）dx就是所求量U。 綜上可知，用定積分解決實(shí)際問(wèn)題的方法和步驟如下： （1） 根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況，選取一個(gè)變量為積分變量，并確定它的變化區(qū)間［a，b］； （2） 把區(qū)間［a，b］分成n個(gè)小區(qū)間，取其中一個(gè)小區(qū)間并記［x，x+dx］，求出該小區(qū)間上ΔU的近似值dU，若dU=f（x）dx，就把f（x）dx稱(chēng)為量U的元素； （3） 以元素f（x）dx為積分表達(dá)式，在區(qū)間［a，b］上作定積分，得U=∫b/af（x）dx 這種方法稱(chēng)為定積分的微元法。 二.定積分在幾何上的應(yīng)用 1.平面圖形的面積 下面我們以求曲邊梯形的面積（圖59）為例，介紹如何用定積分來(lái)求平面圖形的面積.設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，求由x軸，曲線(xiàn)y=f（x），直線(xiàn)x=a，x=b（a＜b）所圍成的圖形的面積A 用微元法分析： 第一步：選積分變量x∈［a，b］和典型區(qū)間［x，x+dx］［a，b］； 第二步：在［x，x+dx］上用矩形面積代替小曲邊梯形面積ΔA，f（x）為小矩形的高，則得到面積微元為 dA=f（x）dx，（53） 所求圖形的面積為 A=∫b/af（x）dx，（54） 2.旋轉(zhuǎn)體的體積 由連續(xù)曲線(xiàn)y=f（x）和直線(xiàn)x=a，x=b（a＜b）及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體.這個(gè)幾何體的體積也可以用微元法討論。 第一步：選取積分變量x∈［a，b］和典型區(qū)間［x，x+dx］［a，b］； 第二步：在子區(qū)間［x，x+dx］上，小旋轉(zhuǎn)體的體積可以用以f（x）為半徑，dx為高的小圓柱體的體積近似代替，而小圓柱體的體積為 dV=πf2（x）dx， 在［a，b］上積分得旋轉(zhuǎn)體的體積為 Vx=π∫b/af2（x）dx 用類(lèi)似的方法，可求得由曲線(xiàn)x=g（y）及直線(xiàn)y=c，y=d（c＜d）與y軸所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為 Vy=π∫d/cg2（y）dy 三.定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用 1.已知邊際函數(shù)求總量 定積分的微元法在經(jīng)濟(jì)中應(yīng)用非常廣泛，如由邊際需求求總需求.由邊際成本求總成本.由邊際收益求總收益.由邊際利潤(rùn)求總利潤(rùn)等. 2.投資問(wèn)題 設(shè)企業(yè)在［0，T］時(shí)間內(nèi)的收入流的變化率為f（t），年利率為r，則總收入的現(xiàn)值為∫T/0f（t）e-rtdt，總收入的終值為∫T/0f（t）e（T-t）rdt。 六.課后習(xí)題 完成每章后面的復(fù)習(xí)題。