《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 配套PPT課件
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第七章 行列式
一.教學(xué)目標(biāo)
1.了解行列式是線性方程組理論。
2.學(xué)習(xí)行列式在許多理論和實(shí)際問題中的重要作用。
3.學(xué)習(xí)行列式的定義.基本性質(zhì).計(jì)算方法及其在求解線性方程組中的應(yīng)用。
二.課時(shí)分配
本項(xiàng)目共2個(gè)小節(jié)，安排4課時(shí)。
三.教學(xué)重點(diǎn)
學(xué)習(xí)行列式在許多理論和實(shí)際問題中的重要作用；學(xué)習(xí)行列式的定義.基本性質(zhì).計(jì)算方法及其在求解線性方程組中的應(yīng)用。
四.教學(xué)難點(diǎn)
行列式的定義.基本性質(zhì).計(jì)算方法及其在求解線性方程組中的應(yīng)用。
五.教學(xué)內(nèi)容
第一節(jié) 行列式
一.二階和三階行列式
行列式這個(gè)概念究竟是如何形成的呢?這就得從求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相等的一次（線性）方程組入手。
在初等代數(shù)中，用加.減消元法求解一個(gè)二元一次方程組
具體步驟是：先從方程組里消去x2而求得x1，這只要將方程組的第1.第2兩個(gè)式子分別乘以a22與-a12，然后再相加，就得到
如果未知量x1，x2的系數(shù)a11a22-a12a21≠0，那么，這個(gè)線性方程組有唯一解：
為了便于使用與記憶，我們引進(jìn)二階行列式的概念。
如果把線性方程組中未知量x1，x2的系數(shù)按原來的位置寫成兩行兩列的數(shù)表，并用兩根豎線加以標(biāo)出，那么，便得到一個(gè)二階行列式，對(duì)此除引入字母D作為記號(hào)外，還規(guī)定：
式最右邊的式子稱為二階行列式D的展開式。
于是，線性方程組的解可以表示為
若記
則線性方程組的解可表示為
由此可見，二階行列式的引入與二元一次方程組有關(guān)，它表示排成兩行兩列的4個(gè)數(shù)在規(guī)定運(yùn)算下得到的一個(gè)數(shù)值。
二.n階行列式的定義
前面，我們首先定義了二階行列式，并指出了三階行列式可通過轉(zhuǎn)化為二階行列式來計(jì)算.下面，按照這種思路給出n階行列式的一種歸納定義。
定義1：由n2個(gè)元素aij（i，j=1，2，…，n）組成的記號(hào)
稱為n階行列式，其中橫排稱為行，豎排稱為列.它表示一個(gè)由確定的遞推運(yùn)算關(guān)系所得到的數(shù)：當(dāng)n=1時(shí)，D1=|a11|=a11
需要指出的是：當(dāng)n=1，2，3時(shí)，可以利用上述規(guī)定求行列式的值，但是當(dāng)n＞3時(shí)，如何求解呢?為了尋求普遍有效的展開方法，下面介紹行列式元素的余子式與代數(shù)余子式的概念。
定義2：在n階行列式D中，劃去元素aij所在第i行.第j列的元素，剩余元素按原順序組成的一個(gè)n-1階行列式，稱為aij的余子式，記為Mij.在Mij前乘上（-1）i+j，稱為aij的代數(shù)余子式，記為Aij=（-1）i+jMij
三.幾個(gè)常用的特殊行列式
形如
的行列式分別稱為上三角行列式與下三角行列式，其特點(diǎn)是主對(duì)角線以上（下）的元素全為零。
我們先來計(jì)算下三角行列式的值.根據(jù)n階行列式的定義，每次均通過按第一行展開的方法來降低行列式的階數(shù)，而每次第一行都僅有第一項(xiàng)不為零，故有
四.行列式的性質(zhì)
將行列式D的行與列互換后得到的行列式，稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT或D′，即若
性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D=DT
性質(zhì)2：交換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)
推論1：若行列式中有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素相同，則此行列式為零。
證明互換D中相同的兩行（列），有D=-D，故D=0
性質(zhì)3：用數(shù)k乘行列式的某一行（列），等于用數(shù)k乘此行列式。
例如
則
推論2：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面。
推論3：行列式中若有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零。
性質(zhì)4：若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式可以寫成兩個(gè)行列式之和.這兩個(gè)行列式是分別以這兩個(gè)數(shù)為所在行（列）對(duì)應(yīng)位置的元素，其他位置的元素與原行列式相同。
設(shè)
則
性質(zhì)5：將行列式的某一行（列）的所有元素都乘以數(shù)k后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變。
以三階行列式為例，將數(shù)k乘第一行加到第二行上，有
五.利用“三角化”計(jì)算行列式
計(jì)算行列式時(shí)，常用行列式的性質(zhì)，把它轉(zhuǎn)化為三角行列式來計(jì)算.例如，化為上三角行列式的步驟是：
如果第一列第一個(gè)元素為0，先將第一行與其他行交換，使得第一列第一個(gè)元素不為0，然后把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其他各行，使得第一列除第一個(gè)元素外其余元素全為0；再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式；如此繼續(xù)下去，直至使它成為上三角行列式，這時(shí)主對(duì)角線上元素的乘積就是所求行列式的值。
第二節(jié) 克拉默法則
我們知道，對(duì)三元線性方程組
在其系數(shù)行列式D≠0的條件下，有唯一解：
其中
那么，對(duì)于更一般的線性方程組是否有類似的結(jié)果?答案是肯定的.在引入克拉默法則之前，我們先介紹有關(guān)n階線性方程組的概念.含有n個(gè)未知數(shù)x1，x2，…，xn的線性方程組
定理1：（克拉默法則）若線性方程組（78）的系數(shù)行列式D≠0，則線性方程組有唯一解，其解為
其中Dj（j=1，2，…，n）是把D中第j列元素a1j，a2j，…，anj對(duì)應(yīng)地?fù)Q成常數(shù)項(xiàng)b1，b2，…，bn，而其余各列保持不變所得到的行列式。
定理2：若線性方程組的系數(shù)行列式D≠0，則線性方程組一定有解，且解是唯一的。
定理3：若齊次線性方程組的系數(shù)行列式D≠0，則齊次線性方程組只有零解。
六．課后習(xí)題
完成每章后面的復(fù)習(xí)題。
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