《經(jīng)濟數(shù)學基礎》 配套PPT課件
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第七章 行列式
一.教學目標
1.了解行列式是線性方程組理論。
2.學習行列式在許多理論和實際問題中的重要作用。
3.學習行列式的定義.基本性質.計算方法及其在求解線性方程組中的應用。
二.課時分配
本項目共2個小節(jié),安排4課時。
三.教學重點
學習行列式在許多理論和實際問題中的重要作用;學習行列式的定義.基本性質.計算方法及其在求解線性方程組中的應用。
四.教學難點
行列式的定義.基本性質.計算方法及其在求解線性方程組中的應用。
五.教學內容
第一節(jié) 行列式
一.二階和三階行列式
行列式這個概念究竟是如何形成的呢?這就得從求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相等的一次(線性)方程組入手。
在初等代數(shù)中,用加.減消元法求解一個二元一次方程組
具體步驟是:先從方程組里消去x2而求得x1,這只要將方程組的第1.第2兩個式子分別乘以a22與-a12,然后再相加,就得到
如果未知量x1,x2的系數(shù)a11a22-a12a21≠0,那么,這個線性方程組有唯一解:
為了便于使用與記憶,我們引進二階行列式的概念。
如果把線性方程組中未知量x1,x2的系數(shù)按原來的位置寫成兩行兩列的數(shù)表,并用兩根豎線加以標出,那么,便得到一個二階行列式,對此除引入字母D作為記號外,還規(guī)定:
式最右邊的式子稱為二階行列式D的展開式。
于是,線性方程組的解可以表示為
若記
則線性方程組的解可表示為
由此可見,二階行列式的引入與二元一次方程組有關,它表示排成兩行兩列的4個數(shù)在規(guī)定運算下得到的一個數(shù)值。
二.n階行列式的定義
前面,我們首先定義了二階行列式,并指出了三階行列式可通過轉化為二階行列式來計算.下面,按照這種思路給出n階行列式的一種歸納定義。
定義1:由n2個元素aij(i,j=1,2,…,n)組成的記號
稱為n階行列式,其中橫排稱為行,豎排稱為列.它表示一個由確定的遞推運算關系所得到的數(shù):當n=1時,D1=|a11|=a11
需要指出的是:當n=1,2,3時,可以利用上述規(guī)定求行列式的值,但是當n>3時,如何求解呢?為了尋求普遍有效的展開方法,下面介紹行列式元素的余子式與代數(shù)余子式的概念。
定義2:在n階行列式D中,劃去元素aij所在第i行.第j列的元素,剩余元素按原順序組成的一個n-1階行列式,稱為aij的余子式,記為Mij.在Mij前乘上(-1)i+j,稱為aij的代數(shù)余子式,記為Aij=(-1)i+jMij
三.幾個常用的特殊行列式
形如
的行列式分別稱為上三角行列式與下三角行列式,其特點是主對角線以上(下)的元素全為零。
我們先來計算下三角行列式的值.根據(jù)n階行列式的定義,每次均通過按第一行展開的方法來降低行列式的階數(shù),而每次第一行都僅有第一項不為零,故有
四.行列式的性質
將行列式D的行與列互換后得到的行列式,稱為D的轉置行列式,記為DT或D′,即若
性質1:行列式與它的轉置行列式相等,即D=DT
性質2:交換行列式的兩行(列),行列式變號
推論1:若行列式中有兩行(列)的對應元素相同,則此行列式為零。
證明互換D中相同的兩行(列),有D=-D,故D=0
性質3:用數(shù)k乘行列式的某一行(列),等于用數(shù)k乘此行列式。
例如
則
推論2:行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。
推論3:行列式中若有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零。
性質4:若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和,則此行列式可以寫成兩個行列式之和.這兩個行列式是分別以這兩個數(shù)為所在行(列)對應位置的元素,其他位置的元素與原行列式相同。
設
則
性質5:將行列式的某一行(列)的所有元素都乘以數(shù)k后加到另一行(列)對應位置的元素上,行列式的值不變。
以三階行列式為例,將數(shù)k乘第一行加到第二行上,有
五.利用“三角化”計算行列式
計算行列式時,常用行列式的性質,把它轉化為三角行列式來計算.例如,化為上三角行列式的步驟是:
如果第一列第一個元素為0,先將第一行與其他行交換,使得第一列第一個元素不為0,然后把第一行分別乘以適當?shù)臄?shù)加到其他各行,使得第一列除第一個元素外其余元素全為0;再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式;如此繼續(xù)下去,直至使它成為上三角行列式,這時主對角線上元素的乘積就是所求行列式的值。
第二節(jié) 克拉默法則
我們知道,對三元線性方程組
在其系數(shù)行列式D≠0的條件下,有唯一解:
其中
那么,對于更一般的線性方程組是否有類似的結果?答案是肯定的.在引入克拉默法則之前,我們先介紹有關n階線性方程組的概念.含有n個未知數(shù)x1,x2,…,xn的線性方程組
定理1:(克拉默法則)若線性方程組(78)的系數(shù)行列式D≠0,則線性方程組有唯一解,其解為
其中Dj(j=1,2,…,n)是把D中第j列元素a1j,a2j,…,anj對應地換成常數(shù)項b1,b2,…,bn,而其余各列保持不變所得到的行列式。
定理2:若線性方程組的系數(shù)行列式D≠0,則線性方程組一定有解,且解是唯一的。
定理3:若齊次線性方程組的系數(shù)行列式D≠0,則齊次線性方程組只有零解。
六.課后習題
完成每章后面的復習題。
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