《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 配套PPT課件,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ),《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》,配套PPT課件,經(jīng)濟(jì),數(shù)學(xué),基礎(chǔ),配套,PPT,課件
第九章 線性方程組
一.教學(xué)目標(biāo)
1.熟悉解線性方程組是線性代數(shù)。
2.學(xué)習(xí)從更普遍的角度來(lái)討論線性方程組的一般理論。
3.討論一般線性方程組的解法，線性方程組解的存在性及線性變換和線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣等內(nèi)容。
二.課時(shí)分配
本項(xiàng)目共2個(gè)小節(jié)，安排4課時(shí)。
三.教學(xué)重點(diǎn)
學(xué)習(xí)從更普遍的角度來(lái)討論線性方程組的一般理論；討論一般線性方程組的解法，線性方程組解的存在性及線性變換和線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣等內(nèi)容。
四.教學(xué)難點(diǎn)
線性方程組解的存在性及線性變換和線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣等內(nèi)容。
五.教學(xué)內(nèi)容
第一節(jié) 高斯消元法
設(shè)有線性方程組
其中系數(shù)aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）、常數(shù)項(xiàng)bi（i=1，2，…，m）都是已知數(shù)，
xj（j=1，2，…，n）是未知數(shù).當(dāng)bi（i=1，2，…，m）不全為零時(shí)，稱方程組為非齊次線性方程組；當(dāng)bi（i=1，2，…，m）全為零時(shí)，即
稱為齊次線性方程組.線性方程組的矩陣表達(dá)式為
Ax=b，
其中，
矩陣A稱為線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣，x稱為未知數(shù)矩陣，b稱為常數(shù)項(xiàng)矩陣。
將矩陣［A┆b］即
稱為線性方程組的增廣矩陣，有時(shí)記為A.顯然，增廣矩陣包含了線性方程組的全部信息.一般的線性方程組的求解問題都從增廣矩陣入手。
定理若將增廣矩陣［A┆b］用初等行變換化為［S┆t］，則Ax=b與Sx=t是同解方程組。
證明由于對(duì)矩陣做一次初等行變換等價(jià)于矩陣左乘一個(gè)初等矩陣，因此存在初等矩陣P1，P2，…，Pk，使得
PkPk-1…P2P1［A┆b］=［S┆t］
記PkPk-1…P2P1=P，顯然P可逆，若x1為Ax=b的解，即
Ax1=b，
兩邊同時(shí)左乘矩陣P，有
PAx1=Pb，即Sx1=t.
于是x1是Sx=t的解.反之，若x2為Sx=t的解，即Sx2=t，
兩邊同時(shí)左乘矩陣P-1，得
P-1Sx2=P-1t，即Ax2=b，
x2亦為Ax=b的解
綜上所述，Ax=b與Sx=t的解相同，稱之為同解方程組。
為了求方程組的解，運(yùn)用定理，我們用初等行變換把增廣矩陣［A┆b］化簡(jiǎn).我們知道，通過(guò)初等行變換總能把［A┆b］化為階梯形矩陣，再利用階梯形矩陣所表達(dá)的方程組求出解.由于兩者為同解方程組，所以也就得到原方程組的解.這個(gè)方法稱為高斯（Gauss）消元法.下面舉例說(shuō)明利用高斯消元法來(lái)求解一般的線性方程組。
容易證明：任意階梯形矩陣都可以用初等行變換化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，可逆n階矩陣化成的行簡(jiǎn)化階梯形矩陣一定是單位矩陣。
將階梯形矩陣化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣的方法是：首先，從階梯形矩陣最后一個(gè)非零行的首非零元開始，將首非零元化為1，然后將其所在列的其余元素化為0；其次，把倒數(shù)第二個(gè)非零行的首非零元化為1，將其所在列的其余元素化為0；依次往上，最后得到行簡(jiǎn)化階梯形矩陣。
通過(guò)上面兩個(gè)例子，可歸納出解線性方程組的高斯消元法的一般步驟：
（1） 將線性方程組的增廣矩陣［A┆b］，通過(guò)初等行變換化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣；將行簡(jiǎn)化階梯形矩陣首非零元所在列的未知數(shù)稱為基本未知數(shù)（元），設(shè)為r個(gè)，其余未知數(shù)稱為自由未知數(shù)（元），共有n-r個(gè)（n是未知數(shù)的個(gè)數(shù)）；
（2） 求行簡(jiǎn)化階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組的解，把此方程組含有自由元的項(xiàng)移至方程右端，得到用自由元表達(dá)的基本元，這就是方程組的一般解；
（3） 為得到所有解的矩陣形式，可以把n-r個(gè)自由元依次令為（任意）常數(shù)k1，k2，…，kn-r，對(duì)應(yīng)地解出基本元，即可寫出方程所有解的矩陣形式。
第二節(jié) 線性方程組的相容性定理
由上節(jié)知線性方程組有有解、無(wú)解兩種情況.若線性方程組有解，則稱此線性方程組為相容的，否則稱此線性方程組為不相容的.利用高斯消元法知，線性方程組是否有解，取決于把線性方程組的增廣矩陣［A┆b］化為階梯形矩陣后的非零行行數(shù)和系數(shù)矩陣A化為階梯形矩陣后的非零行行數(shù)是否相同。
我們知道，一個(gè)矩陣用初等行變換化為階梯形矩陣后非零行的數(shù)目就等于該矩陣的秩，因此，可以用矩陣的秩來(lái)刻畫線性方程組是否有解（相容）.得到以下定理：
定理1：線性方程組有解（相容）的充分必要條件是
r（A）=r（［A┆b］）
當(dāng)r（A）=r（［A┆b］）=r時(shí)，方程組有解，而且有r個(gè)基本未知元，有n-r個(gè)自由未知元，易知，只要方程組有自由元，方程組的解就有無(wú)窮多個(gè)，而當(dāng)方程組沒有自由元時(shí)，即r=n時(shí)，解才唯一.這一點(diǎn)可歸結(jié)為下述定理：
定理2：設(shè)對(duì)于線性方程組，有r（A）=r（［A┆b］）=r，則當(dāng)r=n時(shí)，線性方程組有唯一解（n是未知數(shù)的個(gè)數(shù)）
定理3：設(shè)對(duì)于線性方程組，有r（A）=r（［A┆b］）=r，則當(dāng)r
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