《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 配套PPT課件,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ),《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》,配套PPT課件,經(jīng)濟(jì),數(shù)學(xué),基礎(chǔ),配套,PPT,課件 第十章 概率論初步 一.教學(xué)目標(biāo) 1.學(xué)習(xí)多元函數(shù)及多元函數(shù)的微分與積分的問題。 2.遵循與一元函數(shù)相同的分析思路，重點(diǎn)學(xué)習(xí)二元函數(shù)的極限.連續(xù)及其微分學(xué)。 二.課時分配 本項(xiàng)目共5個小節(jié)，安排10課時。 三.教學(xué)重點(diǎn) 學(xué)習(xí)多元函數(shù)及多元函數(shù)的微分與積分的問題；遵循與一元函數(shù)相同的分析思路，重點(diǎn)學(xué)習(xí)二元函數(shù)的極限.連續(xù)及其微分學(xué)。 四.教學(xué)難點(diǎn) 學(xué)習(xí)二元函數(shù)的極限，連續(xù)及其微分學(xué)。 五.教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 隨機(jī)事件 一.隨機(jī)事件的概念 1. 隨機(jī)現(xiàn)象 自然界與人類社會存在和發(fā)生的各種現(xiàn)象，大致可歸結(jié)為兩類：一類稱為確定性現(xiàn)象，即條件完全決定結(jié)果的現(xiàn)象.例如在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水被加熱到100℃時一定沸騰.另一類稱為隨機(jī)現(xiàn)象，即條件不能完全決定結(jié)果的現(xiàn)象。 2. 隨機(jī)試驗(yàn) 為了深入研究隨機(jī)現(xiàn)象，就必須在一定的條件下對它進(jìn)行多次觀察.若把一次觀察視為一次試驗(yàn)，觀測到的結(jié)果就是試驗(yàn)結(jié)果.概率論中把滿足下列條件的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。 3. 隨機(jī)事件 在隨機(jī)試驗(yàn)中，人們通常不僅關(guān)心某個樣本點(diǎn)出現(xiàn)，更關(guān)心滿足某些條件的樣本點(diǎn)出現(xiàn)，即關(guān)心試驗(yàn)時可能出現(xiàn)的某種結(jié)果.例如，在擲骰子的試驗(yàn)E6中，我們可能關(guān)心是否出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1，亦或可能關(guān)注是否出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)（即點(diǎn)數(shù)1，3，5）等結(jié)果.它們皆為樣本空間的子集（隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果），我們稱之為隨機(jī)事件，簡稱為事件。 4. 樣本空間 我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，用Ω來表示.Ω中的元素，即E的每一個可能結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)，一般用ω表示。 二.事件間的關(guān)系與運(yùn)算 1. 包含關(guān)系 若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，記作AB，如圖所示 2. 和（并）事件 事件A與事件B中至少有一個發(fā)生，即事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，這個事件稱為事件A與事件B的和（并）事件，記作A∪B（或A+B），如圖所示 3. 積（交）事件 事件A與事件B同時發(fā)生，即事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，這個事件稱為事件A與事件B的積（交）事件，記作A∩B（或AB），如圖所示 4. 差事件 事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生，這個事件稱為事件A與事件B的差事件，記作A-B（或AB），如圖所示 5. 互斥關(guān)系（互不相容） 若事件A與事件B不可能同時發(fā)生，則稱事件A與事件B互斥，或稱事件A與事件B互不相容，記作A∩B，如圖所示 6. 對立（逆）事件 對于事件A，若事件A滿足A∪A=Ω，A∩A=，則把事件A稱為事件A的對立事件，如圖所示 第二節(jié) 事件的概率 一.概率的古典定義 古典概率模型簡稱古典概型，通常是指具有下列兩個特征的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ? （1） 隨機(jī)試驗(yàn)只有有限個可能的結(jié)果，即有限個樣本點(diǎn)（有限性）； （2） 每一個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等（等可能性） 古典概型又稱為等可能性概型.在概率論產(chǎn)生和發(fā)展的過程中，它是最早的研究對象，在實(shí)際應(yīng)用中它也是最常用的一種概率模型。 對于古典概型，以Ω={ω1，…，ωn}表示樣本空間，ωi（i=1，2，…，n）表示樣本點(diǎn)，對于任一隨機(jī)事件A={ωi1，…，ωin}，下面給出古典概型的定義。 定義：（概率的古典概型定義）對于給定的古典概型，若樣本空間中有n個樣本點(diǎn)，事件A含有m個樣本點(diǎn)，則事件A的概率為 P（A）=mn=事件A所含樣本點(diǎn)的個數(shù)樣本空間Ω中所含樣本點(diǎn)的個數(shù)。 二.概率的統(tǒng)計(jì)定義 頻率描述了事件發(fā)生的頻繁程度。 頻率的定義若在同一組條件下將試驗(yàn)E重復(fù)N次，事件A發(fā)生了m次，則稱比值mN為事件A在N次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為fN（A），即 fN（A）=mN 概率的統(tǒng)計(jì)定義在觀察某一隨機(jī)事件A的隨機(jī)試驗(yàn)中，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，事件A發(fā)生的頻率fn（A）會越來越穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動，這時就以常數(shù)p作為事件A的概率，并稱其為統(tǒng)計(jì)概率，即P（A）=p 由頻率和概率的統(tǒng)計(jì)定義，可以得到統(tǒng)計(jì)概率的性質(zhì)： （1）非負(fù)性：0≤P（A）≤1； （2）規(guī)范性：P（Ω）=1； （3）有限可加性：若事件A1，A2，…，An互不相容，則P（∪ni=1Ai）=∑ni=1P（Ai） 第三節(jié) 條件概率.乘法公式與事件的獨(dú)立性 一.條件概率 前面我們討論了一個事件A的概率P（A）的計(jì)算.但在實(shí)際生活中，我們常常需要求在事件B已發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，我們記為P（A|B）.一般來說，這兩個概率是不同的。 現(xiàn)在考慮：已知事件B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，則 P（A|B）=23=2434=P（AB）P（B），即P（A|B）=P（AB）P（B）. 定義1：設(shè)A，B為試驗(yàn)E的兩個事件，且P（B）＞0，則稱 P（A|B）=P（AB）P（B） 為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，簡稱條件概率。 二.乘法公式 若已知P（B），P（A|B），也可以求P（AB）.這就是概率的乘法公式 定理1設(shè)P（B）＞0，則有 P（AB）=P（B）P（A|B）.（101） 設(shè)P（A）＞0，則有 P（AB）=P（A）P（B|A）.（102） 式（101）.式（102）稱為概率的乘法公式。 概率的乘法公式可以推廣到任意n個事件的情形。 若事件 三.事件的獨(dú)立性 一般情況下，條件概率P（B|A）與P（B）是不同的.但在某些特殊情況下，條件概率P（B|A）等于無條件概率P（B），這時事件B發(fā)生與否不影響事件A的概率.這表明事件A與事件B之間存在某種獨(dú)立性。 定義2：設(shè)A與B為兩事件，若 P（AB）=P（A）P（B） 成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。 由定義2，可以推出如下定理和性質(zhì)成立。 定理2：設(shè)A，B為兩事件，且P（A）＞0，則A與B相互獨(dú)立的充要條件是P（B|A）=P（B） 證明設(shè)A，B相互獨(dú)立，即P（AB）=P（A）P（B），則 P（B|A）=P（AB）P（A）=P（A）P（B）P（A）=P（B）； 反之，設(shè)P（B|A）=P（B），則 P（AB）=P（A）P（B|A）=P（A）P（B） 顯然，當(dāng)P（B）＞0時，定理2中的充要條件可改為P（A|B）=P（A）.而當(dāng)P（A），P（B）至少有一個為零時，由ABA及ABB易知，此時仍有P（AB）=P（A）P（B）成立.這表明，概率為零的事件與任一事件相互獨(dú)立。 性質(zhì)（1）不可能事件與任何事件獨(dú)立。 第四節(jié) 隨機(jī)變量及其分布 一.隨機(jī)變量的概念 我們發(fā)現(xiàn)在討論隨機(jī)事件及其概率時，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與數(shù)值有密切的關(guān)聯(lián).試驗(yàn)的結(jié)果可以用某些實(shí)數(shù)值加以刻畫.許多隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身就是一個數(shù)值.雖然有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不直接表現(xiàn)為數(shù)值，但卻可以將其數(shù)量化。 定義1：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E，它的樣本空間Ω={ω}.若對任一ω∈Ω，都有實(shí)數(shù)X（ω）與之對應(yīng)，則稱X（ω）為隨機(jī)變量，簡記為X 引進(jìn)隨機(jī)變量后，隨機(jī)事件就可以表示為隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的取值.例如，在擲骰子實(shí)驗(yàn)中{恰出現(xiàn)5點(diǎn)}表示為{X=5}，{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不少于3}表示為{X≥3} 二.分布函數(shù) 定義2：設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù) F（x）=P{X≤x} 為X的分布函數(shù) 分布函數(shù)F（x）的性質(zhì)： （1） F（x）單調(diào)不減，即當(dāng)x1＜x2時，F(xiàn)（x1）≤F（x2）； （2） 0≤F（x）≤1，且F（-∞）=limx→-∞F（x）=0，F(xiàn)（+∞）= limF（x）=1； （3） F（x）在任意一點(diǎn)x處右連續(xù)，即F（x+0）=limF（t） 三.離散型隨機(jī)變量及其分布的定義 1.離散型隨機(jī)變量及其分布 定義3：若隨機(jī)變量X只能取有限個或可列無窮多個數(shù)值，則稱X為離散型隨機(jī)變量。 定義4：設(shè)xk（k=1，2，…）為離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值，pk（k=1，2，…）是X取值xk時相應(yīng)的概率，即 P{X=xk}=pk，k=1，2，…， 則上式叫作離散型隨機(jī)變量X的概率分布，其中pk≥0且∑pk=1 離散型隨機(jī)變量X的概率分布也可以用表的形式來表示，稱其為離散型隨機(jī)變量X的分布律。 四.連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù) 1.連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)的定義 定義5：對于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)可積函數(shù)f（x）（-∞＜x＜+∞），對于任意的實(shí)數(shù)a，b（a＜b），都有 P{a＜X≤b}=∫baf（x）dx.（108） 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f（x）稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).有時也可用其他函數(shù)符號如p（x）等表示。 五.隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 在一些試驗(yàn)中，所關(guān)心的隨機(jī)變量往往不能由直接測量得到，但它卻是某個能直接測量隨機(jī)變量的函數(shù).本小節(jié)主要討論如何由已知隨機(jī)變量X的分布去求它的函數(shù)Y=g（X）的分布。 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 定理設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如表所示。 X的分布律 六.二維隨機(jī)變量及分布的幾個相關(guān)概念 定義6：設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x，y，二元函數(shù) F（x，y）=P（X≤x，Y≤y） 稱為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。 定義7：設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)為F（x，y），如果讓其中一個隨機(jī)變量的取值趨于無窮，就能得到X或Y的分布函數(shù)，則有 FX（x）=P（X≤x）=P（{X≤x}∩Ω） =P（{X≤x}∩{Y＜+∞}） =P（X≤x，Y＜+∞）=F（x，+∞）， 即 FX（x）=F（x，+∞）. 同理，有 FY（y）=F（+∞，y）， 分別稱FX（x）和FY（y）為二維隨機(jī)變量（X，Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù). 定義8：設(shè)F（x，y）及FX（x），F(xiàn)Y（y）分別為隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù).若對于任意實(shí)數(shù)x，y，有 P（X≤x，Y≤y）=P（X≤x）P（Y≤y）， 即 F（x，y）=FX（x）FY（y） 成立，則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立. 定義9：若二維隨機(jī)變量（X，Y）的所有可能取值為有限或可列對，則稱（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量。 對于二維離散型隨機(jī)變量（X，Y），若它至多只能取有限或可數(shù)無限對不同值（xi，yj）（i，j=1，2，…），則稱（X，Y）取各可能值的相應(yīng)的概率 P（X=xi，Y=yj）=pij，i，j=1，2，… 為（X，Y）的分布律或概率分布，或稱為X與Y的聯(lián)合分布律。 第五節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 一.數(shù)學(xué)期望 1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義1：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X=xi}=pi（i=1，2，…），則稱和式∑xipi為離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作 或記EX，即數(shù)學(xué)期望等于離散型隨機(jī)變量的所有可能取值與其對應(yīng)概率乘積之和。 2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 對于連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望概念的引入，大體上可以在離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望基礎(chǔ)上，沿用高等數(shù)學(xué)中生成定積分的思路，改求和為求積分即可。 定義2：設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f（x）（-∞＜x＜+∞），若積分∫+∞-∞xf（x）dx絕對收斂，則稱積分∫f（x）dx的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.記為 3.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 在實(shí)踐中，我們經(jīng)常會遇到已知隨機(jī)變量X的概率分布，求其隨機(jī)變量的函數(shù)Y=g（X）的數(shù)學(xué)期望E［g（X）］的問題.例如，已知圓盤半徑X的概率分布，需要求其面積Y=πX2的數(shù)學(xué)期望E（πX2）.我們當(dāng)然可以先求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g（X）的分布，然后求其數(shù)學(xué)期望E（Y）.而由前面所學(xué)內(nèi)容知，求隨機(jī)變量函數(shù)的分布是個相當(dāng)復(fù)雜甚至困難的問題，尤其是對于連續(xù)型的情形。 二.方差 1.方差的概念 為不使正.負(fù)偏差互相抵消，易得到量 E［|X-EX|］ 能度量隨機(jī)變量X與其均值EX的偏離程度.但由于上式含絕對值，在運(yùn)算上不方便，通常是用量 E（X-EX）2取而代之 定義3：設(shè)X是隨機(jī)變量，若E（X-EX）2存在，則稱它為隨機(jī)變量X的方差，記為D（X），即 D（X）=E（X-EX）2 與隨機(jī)變量X具有相同量綱的量D（X）稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。 2.切比雪夫大數(shù)定律 設(shè)X1，X2，…，Xn，…是一個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，每個Xi的數(shù)學(xué)期望E（Xi）存在，且方差D（Xi）有限，公共上界為c，即D（Xi）≤c（i=1，2，…），則對任意ε＞0，都有 切比雪夫大數(shù)定律說明相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的算術(shù)平均X=1n ∑ni=1Xi依概率收斂于它們數(shù)學(xué)期望的平均值μ=1n∑ni=1E（Xi）=E（X） 六．課后習(xí)題 完成每章后面的復(fù)習(xí)題。