《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 配套PPT課件
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第十一章 數(shù)理統(tǒng)計初步
一.教學(xué)目標(biāo)
1.學(xué)習(xí)以隨機(jī)現(xiàn)象為研究對象。
2.學(xué)習(xí)概率論是數(shù)理統(tǒng)計的理論基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計是概率論的實際應(yīng)用。
3.主要學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計的相關(guān)內(nèi)容。
二.課時分配
本項目共4個小節(jié)，安排8課時。
三.教學(xué)重點
學(xué)習(xí)以隨機(jī)現(xiàn)象為研究對象；學(xué)習(xí)概率論是數(shù)理統(tǒng)計的理論基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計是概率論的實際應(yīng)用；主要學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計的相關(guān)內(nèi)容。
四.教學(xué)難點
學(xué)習(xí)二元函數(shù)的極限.連續(xù)及其微分學(xué)。
五.教學(xué)內(nèi)容
第一節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念
一.總體與個體
在數(shù)理統(tǒng)計中，我們把研究對象的全體稱為總體，而把組成總體的每個基本元素稱為個體。
對于總體概念進(jìn)行隨機(jī)化處理，為的是把概率論的一套方法引進(jìn)到數(shù)理統(tǒng)計中來，并作為研究數(shù)理統(tǒng)計的工具。
二.樣本與樣本容量
從總體X中隨機(jī)抽出的n個個體X1，X2，…，Xn，其全體（X1，X2，…，Xn）便為總體X的樣本.其中Xi（i=1，2，…，n）稱為樣本的第i個樣品.樣本中所含樣品個數(shù)n稱為樣本容量。
由于對總體特征的考察，其信息來自從中抽取的樣本，因此要求樣本應(yīng)滿足下述兩條基本要求：
（1）獨立性——X1，X2，…，Xn是相互獨立的隨機(jī)變量；
（2）代表性——X1，X2，…，Xn中的每一個個體都與總體X有相同分布。
三.幾個常用統(tǒng)計量
1.常用統(tǒng)計量
假設(shè)（X1，X2，…，Xn）是總體X的樣本，則稱
（1） vk=1/n∑Xki為樣本的k階原點矩.其中，k為正整數(shù).特別地，當(dāng)k=1時，樣本的一階原點矩稱為樣本均值，記為X
（2） uk=1/n∑（Xi-X）k為樣本的k階中心矩。
（3） S*2n=1/( n-1)∑（Xi-X）2為樣本方差。
2.常用統(tǒng)計量的數(shù)字特征
設(shè)（X1，X2，…，Xn）是總體X的樣本，且X~N（μ，σ2），則
（1） E（X）=μ，D（X）=σ2 /n
（2） E（S2n）=(n-1)/nσ2，E（S*2n）=σ2
四.幾個重要分布
1.χ2分布
定義1:設(shè)X1，X2，…，Xn為n個相互獨立的隨機(jī)變量，且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），則稱隨機(jī)變量
所服從的分布是自由度為n的χ2分布，記為χ2（n）
根據(jù)卷積公式和數(shù)學(xué)歸納法，可以證明χ2（n）的概率密度為
性質(zhì)1:（可加性）設(shè)Y1～χ2（m），Y2～χ2（n），且Y1與Y2相互獨立，則
Y1+Y2～χ2（m+n）
性質(zhì)2:（χ2分布的數(shù)字特征）若χ2～χ2（n），則
E（χ2）=n，D（χ2）=2n
2.t分布
定義2:設(shè)隨機(jī)變量X～N（0，1），Y～χ2（n），且X與Y相互獨立，則稱隨機(jī)變量
服從自由度為n的t分布，記為T～t（n）.隨機(jī)變量T亦稱為t變量.利用獨立隨機(jī)變量商的密度公式，不難由已知的N（0，1），χ2（n）的密度公式得到t（n）的密度：
下面介紹t分布具有的性質(zhì)
性質(zhì)3:設(shè)隨機(jī)變量T～t（n），則當(dāng)n＞2時，有
E（T）=0，D（T）=n/n-2
性質(zhì)4:設(shè)隨機(jī)變量T～t（n），p（t）是T的分布密度，則
3.F分布
性質(zhì)5:設(shè)X～χ2（n1），Y～χ2（n2），且X與Y相互獨立，則稱隨機(jī)變量
服從自由度為n1和n2的F分布，記為F～F（n1，n2）
F分布的密度函數(shù)為
第二節(jié) 參數(shù)點估計
一.點估計的概念
設(shè)總體X的分布函數(shù)為F（x，θ），這里x是變量.分布函數(shù)的類型，可以為已知也可以為未知；θ是參數(shù)，可以是一個數(shù)，也可以是一個向量.在這里，θ或θ的某函數(shù)是我們要估計的對象，假定θ是未知的，以后為書寫方便起見，就用θ來表示θ本身（θ的真值）或θ的某函數(shù)g（θ）。
二.估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)
1.估計量的無偏性
定義：設(shè)
是參數(shù)θ的估計量，
2.估計量的有效性
僅僅要求估計的無偏性還是很不夠的，有的估計雖然無偏，但是取偏離θ很遠(yuǎn)的值的概率很大.這種無偏估計顯然是不理想的.為了使估計有更好的優(yōu)良性，應(yīng)在無偏性的基礎(chǔ)上進(jìn)一步達(dá)到方差盡量小。
定義：設(shè)
都是總體未知參數(shù)θ的無偏估計量，若對任意的θ，恒有
3.估計量的一致性
無偏性和有效性是在樣本容量n固定的情況下建立起來的評判估計量優(yōu)劣的準(zhǔn)則，然而估計量θ∧（X1，X2，…，Xn）依賴于樣本容量n，當(dāng)樣本容量n增大時，由樣本提供的總體的信息量也隨之增多.因而用θ∧對θ進(jìn)行估計時，隨著n的增大，這種估計也應(yīng)更加準(zhǔn)確有效.也就是說，我們有理由要求當(dāng)樣本容量n無限增大時，估計量能在某種意義上越來越接近于被估計的參數(shù)的真值，這就是估計量的一致性。
定義：設(shè)
是未知參數(shù)θ的估計量，若當(dāng)n→∞時，θ∧依概率收斂于θ，即對任意ε＞0，有
則稱θ∧為參數(shù)θ的一致估計或相合估計。
第三節(jié) 參數(shù)的區(qū)間估計
一.置信區(qū)間
設(shè)總體分布含有一個未知參數(shù)θ，若由樣本所確定的兩個統(tǒng)計量θ1，θ2，對于給定的α（0＜α＜1），能滿足條件
P{θ1＜θ＜θ2}=1-α，
則區(qū)間（θ1，θ2）稱為θ的1-α置信區(qū)間.θ1為置信下限，θ2為置信上限，它們統(tǒng)稱為置信限，1-α稱為置信水平，在一般情況下，α取0.01，0.05，0.10等。
二.正態(tài)總體均值的置信區(qū)間
為了計算置信區(qū)間的上.下限θ2和θ1，必須引進(jìn)一個估計量.我們知道正態(tài)總體參數(shù)μ的估計量為
對于已知σ2來說，當(dāng)α=0.05時，根據(jù)題意需要計算滿足條件
于是
即
于是，
推廣到一般，如果已知正態(tài)總體N（μ，σ2），其中，σ2為已知，μ未知，（x1，x2，…，xn）為來自總體的一個樣本，則μ的1-α置信區(qū)間為
三.正態(tài)總體方差的置信區(qū)間
求σ2的置信區(qū)間的步驟與求μ的置信區(qū)間相仿，即引進(jìn)一個隨機(jī)變量，且它的分布依賴于σ2的估計量S2，而和σ2無關(guān)。
若總體X~N（μ，σ2），（x1，x2，…，xn）為來自總體X的一個樣本，S2為樣本方差，則統(tǒng)計量χ2=（n-1）S*2n/σ2服從自由度（n-1）的χ2分布，記為χ2~χ2（n-1）。
第四節(jié) 假設(shè)檢驗
一.假設(shè)檢驗的基本思想和概念
1.假設(shè)檢驗的問題舉例
【例1】某廠有一批產(chǎn)品200件，按規(guī)定次品率不超過3％才能出廠.今在其中任意抽取10件，發(fā)現(xiàn)10件產(chǎn)品中有兩件次品.問這批產(chǎn)品能否出廠?
【解】這一批產(chǎn)品可看作一個總體，次品率設(shè)為p，其為總體的一個參數(shù).實際上所要解決的問題是：判斷是否有p≤0.03。
【例2】某廠生產(chǎn)的滾球直徑服從正態(tài)分布N（15.1，0.05）.現(xiàn)從某天生產(chǎn)的滾球中隨機(jī)抽取6個，測得其平均直徑為x=14.95mm，假定方差不變，問這天生產(chǎn)的滾球是否符合要求？
【解】依題意，這天生產(chǎn)的滾球直徑服從正態(tài)分布N（μ，0.05）.如果這天的滾球生產(chǎn)符合要求，滾球直徑應(yīng)該在15.1mm附近波動，即隨機(jī)變量X的期望μ=15.1；否則認(rèn)為不符合要求.這樣所要解決的問題是：判斷是否有μ=15.1.
【例3】在針織品的漂白工藝過程中，要考慮溫度對針織品斷裂強力的影響.為了比較70℃和80℃的影響有無差別，在這兩個溫度下，分別重復(fù)做了8次試驗，得到數(shù)據(jù)如下（單位：kg）：
70℃時的斷裂強力
20.5，18.8，19.8，20.9，21.5，19.5，21.0，21.2；
80℃時的斷裂強力
17.7，20.3，20.0，18.8，19.0，20.1，20.2，19.1.
設(shè)斷裂強力服從正態(tài)分布，若方差不變，問70℃時的斷裂強力與80℃時的斷裂強力有沒有顯著差別？
【解】如果設(shè)在70℃和80℃時的斷裂強力分別為X和Y，則X～N（μ1，σ2），Y～N（μ2，σ2）。
要考察70℃時的斷裂強力和80℃時的斷裂強力有沒有顯著差別，只要看看這兩個溫度下斷裂強力的期望μ1和μ2是否相等即可，因此所要解決的問題是：判斷是否有μ1=μ2
2.假設(shè)檢驗的基本思想
概率小到什么程度的事件才算作小概率事件，沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，是根據(jù)具體情況在檢驗之前事先指定的.通常選0.1，0.05，0.01等，這種界定小概率的值常用α表示，稱其為顯著性水平或檢驗水平.所提出的假設(shè)用H0表示，稱H0為原假設(shè)或零假設(shè)，并把原假設(shè)的對立假設(shè)用H1表示，稱H1為備擇假設(shè)。
下面利用上述基本方法對例1做假設(shè)檢驗。
為解決問題方便，將原假設(shè)H0：p≤0.03分成：p=0.03及p<0.03兩種情況，并取α=0.05，即概率小于0.05的事件為小概率事件。
對于假設(shè)H0：p=0.03的情況，依此假設(shè)，可知200件產(chǎn)品中有6件次品.設(shè)“任意抽取10件，有2件次品”的事件為A，則
因為0.0287<0.05，所以按事先取的標(biāo)準(zhǔn)，這是小概率事件。
對于假設(shè)p<0.03的情況，依此假設(shè)，此時200件產(chǎn)品中的次品數(shù)少于6件，則事件A的概率更小.依據(jù)小概率原理，拒絕p≤0.03的假設(shè)，認(rèn)為這批產(chǎn)品不能出廠。
再來解例2.由于例1中的總體為離散型隨機(jī)變量，而例2中的總體為連續(xù)型隨機(jī)變量，為解決連續(xù)型隨機(jī)變量在單點處概率為0所帶來的問題，我們采取以下的解法。
（1）提出假設(shè).原假設(shè)H0：μ=μ0=15.1，備擇假設(shè)可取H1：μ≠15.1.
（2）選取與原假設(shè)μ=15.1有關(guān)的檢驗統(tǒng)計量
由此可知U～N（0，1）
二.正態(tài)總體的假設(shè)檢驗
1.正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗
（1） 方差已知時，正態(tài)總體均值的檢驗（U檢驗）.設(shè)X1，X2，…，Xn是來自正態(tài)總體N（μ，σ20）的一個樣本，其中，μ未知，-∞＜μ＜+∞，σ20已知，要檢驗假設(shè)
其中μ0為已知常數(shù)，取檢驗的統(tǒng)計量為
當(dāng)H0成立時，U服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），且當(dāng)H0成立時，|X-μ0|的值應(yīng)較小，故|U|的值也應(yīng)較小，若根據(jù)一次抽樣結(jié)果發(fā)現(xiàn)|U|的值較大，自然懷疑H0不成立.對于給定的檢驗水平α（0＜α＜1），查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得分位數(shù)uα2，使得
P{|U|≥uα2}=α，
2.正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗
這里只討論μ未知時σ2的假設(shè)檢驗問題（關(guān)于μ已知時的情況，一是比較少見，二是與μ未知時的討論類似）.首先討論如下的三種假設(shè)檢驗問題：
三．課后習(xí)題
完成每章后面的課后習(xí)題。
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