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專題17 空間向量及應(yīng)用(教師版) 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題,高中數(shù)學(xué)課件,數(shù)學(xué)課件,數(shù)學(xué),課件

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《專題17 空間向量及應(yīng)用(教師版) 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題,高中數(shù)學(xué)課件,數(shù)學(xué)課件,數(shù)學(xué),課件》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《專題17 空間向量及應(yīng)用(教師版) 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題,高中數(shù)學(xué)課件,數(shù)學(xué)課件,數(shù)學(xué),課件(12頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題17 空間向量及應(yīng)用 ★★★高考在考什么 【考題回放】 1.在正方體A1B1C1D1-ABCD中,M、N分別是棱A1A和B1B的中點(diǎn),若θ為直 線CM與D1N所成的角,則sinθ等于 ( ) A. B. C.    D. 2.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=900,AC=AA1=a,則點(diǎn)A到平面A1BC的距 S A C B D 離是( C ) A .a(chǎn) B.a(chǎn) C. D.a(chǎn) 3.如圖,正四面體S-ABC中,D為SC的中點(diǎn),則BD與SA 所成角的余弦值是( C ) A.

2、 B. C. D. 4.在正三棱錐P-ABC中,M、N分別是側(cè)棱PB、PC的中點(diǎn), 若截面AMN⊥側(cè)面PBC,則此三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值是( C ) A. B. C. D. 5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=900,AB=BB1=1,直線B1C與平面ABC 成300角,則二面角B-B1C-A的正弦值。 6.在三棱錐S—ABC中,△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC, SA=SC=2,M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)。 (1)證明:AC⊥SB; (2)求二面角N—CM—B的大

3、??; (3)求點(diǎn)B到平面CMN的距離. 【專家解答】(1)取AC中點(diǎn)O,連結(jié)OS、OB. ∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO且AC⊥BO. ∵平面SAC⊥平面ABC, ∴SO⊥面ABC, ∴SO⊥BO.如圖建立空間直角坐標(biāo)系 O-xyz.則A(2,0,0),B(0,2,0), C(-2,0,0),S(0,0,2),M(1,,0),N(0,,). ∴=(-4,0,0),=(0,2,-2), ∵·=(-4,0,0)·(0,2,-2)=0, ∴AC⊥SB. (2)由(1)得=(3,,0),=(-1,0,). 設(shè)n=(x,y,z)為平面CMN的一個(gè)法向量, ∴n=

4、(,-,1), 又=(0,0,2)為平面ABC的一個(gè)法向量, ∴cos(n,)==.∴二面角N-CM-B的大小為arccos. (3)由(1)(2)得=(-1,,0),n=(,-,1)為平面CMN的一個(gè)法向量 ∴點(diǎn)B到平面CMN的距離d==. ★★★高考要考什么 【考點(diǎn)透視】 用空間向量可以解決的立體幾何問題有: 1.利用兩個(gè)向量共線和共面定理,可證明有關(guān)線線平行,線面平行,面面平行問題 2.利用兩個(gè)向量垂直的充要條件可以證明有關(guān)線線,線面,面面垂直問題 3.利用兩個(gè)向量的夾角公式可以求解有關(guān)角的問題 4.利用向量的模及向量在單位向量上的射影可以求解

5、有關(guān)的距離問題 【熱點(diǎn)透析】 空間向量解立體幾何問題的基本步驟是: 1.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系; 2.確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo); 3.求平面的法向量; 4.利用公式求答案。 ★★★突破重難點(diǎn) 【范例1】如圖, 在直三棱柱中, ,點(diǎn)為的中點(diǎn) (Ⅰ)求證; (Ⅱ) 求證:平面; (Ⅲ)求異面直線與所成角的余弦值 解: ∵直三棱錐底面三邊長(zhǎng) ,兩兩垂直 如圖建立坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0) (Ⅰ), (Ⅱ)設(shè)與的交點(diǎn)為E,則E(0,2,2),

6、 (Ⅲ) ∴異面直線與所成角的余弦值為 【點(diǎn)晴】在具有三維直角的立體幾何題中常使用空間向量方法,證明線面垂直即證明直線的方向向量與平面的法向量平行,另外注意異面直線所成角為銳角。 【文】如圖,在三棱錐P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=PA,點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn),OP⊥底面ABC. (Ⅰ) 求證∥平面 (Ⅱ) 求直線與平面PBC所成角的大小; 解析 (1) 。 【點(diǎn)晴】注意空間坐標(biāo)系的選取,證明線面平行即證明直線的方向向量與平面的法向量垂直,另外注意線面所成的角與直線方向向量和法向量所成角的關(guān)系。

7、 【范例2】如圖,以正四棱錐V—ABCD底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz,其中Ox//BC,Oy//AB.E為VC中點(diǎn),正正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2a,高為h. (Ⅰ)求 (Ⅱ)記面BCV為α,面DCV為β,若∠BED是二面 角α—VC—β的平面角,求∠BED. 解:(I)由題意知B(a,a,0),C(―a,a,0), D(―a,―a,0),E 由此得 (II)若∠BED是二面角α—VC—β的平面角,則,即有=0. 又由C(-a,a,0),V(0,0,h),有且 即這時(shí)有 【點(diǎn)晴】本小題主要考查

8、應(yīng)用向量知識(shí)解決立體幾何的能力,注意面面所成角與兩法向量所成角的關(guān)系。 【文】如圖,直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=,側(cè)棱AA1=1,側(cè)面AA1B1B的兩條對(duì)角線交點(diǎn)為D,B1C1的中點(diǎn)為M。 求證:(1)CD⊥平面BDM; (2) 求面B1BD與面CBD所成二面角的大小。 解:以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。 (1), 則, ∵A1B、DM為平面BDM內(nèi)兩條相交直線,∴CD⊥平面BDM。 (2) 設(shè)BD的中點(diǎn)為G,連結(jié)B1G, 則 , , ∴的夾角等于所求二面角的平面角. 所以所求的二面角等于 【點(diǎn)晴】本小題坐標(biāo)系的建立容

9、易想到,用直線與平面內(nèi)兩不共線向量垂直來證明線面垂直是根據(jù)立體幾何的判定定理,另注意面面所成角與兩法向量所成角間的轉(zhuǎn)換。 【范例3】如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1,M是底面BC邊上的中點(diǎn),N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn),且CN=2C1N. (Ⅰ)求二面角B1-AM-N的平面角的余弦值; (Ⅱ)求點(diǎn)B1到平面AMN的距離。 解(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則(0,0,1), M(0,,0),C(0,1,0), N (0,1,) , A (), 所以,, 因?yàn)? 所以,同法可得。 故﹤﹥?yōu)槎娼恰狝M—N的平面角 ∴﹤﹥= 故二面角—AM—N的平面角

10、的余弦值為。 (Ⅱ)設(shè)n=(x, y, z)為平面AMN的一個(gè)法向量,則由得 , 故可取 設(shè)與n的夾角為a,則。 所以到平面AMN的距離為。 Q B C P A D 【點(diǎn)晴】本小題坐標(biāo)系的建立有點(diǎn)特殊,同學(xué)們可試在另外坐標(biāo)系下的方法。注意如何使用向量形式下求各種立體幾何中距離的問題,考查應(yīng)用向量解決數(shù)學(xué)問題的能力. 【文】如圖,已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高都是2,AB=4. (Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD; (Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角; (Ⅲ)求點(diǎn)P到平面QAD的距離. 解:(Ⅰ)連結(jié)AC、BD,設(shè). 由P-AB

11、CD與Q-ABCD都是正四棱錐,所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上,所以PQ⊥平面ABCD. (Ⅱ)由題設(shè)知,ABCD是正方形,所以AC⊥BD. 由(Ⅰ),QO⊥平面ABCD. 故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖), Q B C P A D z y x O 由題條件,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 P(0,0,2),A(,0,0), Q(0,0,-2),B(0,,0). 所以 . 故直線AQ與PB所成的角是. (Ⅲ)由(Ⅱ),點(diǎn)D(0,-,0), ,,設(shè)是平面QAD的一個(gè)法向量, 由得.

12、取x=1,得. 所以點(diǎn)P到平面QAD的距離. 【點(diǎn)晴】本小題坐標(biāo)系的建立還可以與ABCD的邊平行,同學(xué)們不妨一試。注意如何使用向量形式下求各種距離的問題,其中求法向量向量解決幾何問題的關(guān)鍵。 【范例4】如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體中,是側(cè)棱上的一點(diǎn),。 (Ⅰ)、試確定,使直線與平面所成角的正切值為; (Ⅱ)、在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得對(duì)任意的,在平面上的射影垂直于,并證明你的結(jié)論。 解:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1), D1(0,0,1).所以 又由

13、 的一個(gè)法向量. 設(shè)與所成的角為, 則 依題意有:,解得. 故當(dāng)時(shí),直線。 (2)若在上存在這樣的點(diǎn),設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為, 則。 依題意,對(duì)任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等價(jià)于 即為的中點(diǎn)時(shí),滿足題設(shè)的要求. 【點(diǎn)晴】空間向量解決立體幾何的開放性或探索性問題的關(guān)鍵是對(duì)未知點(diǎn)坐標(biāo)的設(shè)法,從而建立方程得以解決,注意總結(jié)各種常見類型的坐標(biāo)系以及坐標(biāo)系各種點(diǎn)坐標(biāo)的尋求。 【文】如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=, AF=1,M是線段EF的中點(diǎn). (Ⅰ)求證AM∥平面BDE; (Ⅱ)求二面角A—DF—B的大??; (Ⅲ)試在

14、線段AC上確定一點(diǎn)P,使得PF與 BC所成的角是60°。 解:(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 設(shè),連接NE,則點(diǎn)N、E的坐 標(biāo)分別是(、(0,0,1), ∴NE=(, 又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是()、( ∴ =( ∴NE=AM且NE與AM不共線, ∴NE∥AM. 又∵平面BDE, 平面BDE,∴AM∥平面BDF. (Ⅱ)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF ∴AB⊥平面ADF. ∴為平面DAF的法向量. ∵NE·DB=(·=0, ∴NE·NF=(·=0 得NE⊥DB,NE⊥NF, ∴NE為平面BDF的法向量 ∴cos=,∴AB與NE的夾角是60o

15、. 即所求二面角A—DF—B的大小是60o. (Ⅲ)設(shè)P(t,t,0)(0≤t≤)得 ∴CD=(,0,0)又∵PF和CD所成的角是60o. ∴ 解得或(舍去),即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn). 【點(diǎn)晴】本題前兩個(gè)小題較簡(jiǎn)單,(Ⅰ)用到了立體幾何的判定定理;(Ⅱ)注意法向量的求法;(Ⅲ)用未知數(shù)設(shè)不定點(diǎn)是空間向量解決立體幾何問題的難點(diǎn),注意總結(jié)各種常見類型的坐標(biāo)系以及坐標(biāo)系各種點(diǎn)坐標(biāo)的尋求。 ★★★自我提升 1.如果向量a=(1,0,1),b=(0,1,1)分別平行于平面α,β且都與此兩平面的交線l垂直,則二面角α-l-β的大小是 ( D ) A. 90° B. 30°

16、 C.45° D.60° A1 C B A B1 C1 D1 D O 2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等,D是A1C1的 中點(diǎn),則直線AD 與平面B1DC所成角的正弦值為( D ). A.  B.  C.  D. 3.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,O是底 面A1B1C1D1中心,則O到平面ABC1D1的距離為( B ) A.  B.  C. D. 4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1-BD-A 的正切值為

17、( B ) A.1  B.  C. D.2 5.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,那么 (1) 直線BA1與CC1所成角的大小為 45° 。 (2) 直線BA1與B1C所成角的大小為 60° 。 (3) 異面直線BC與AA1的距離為 a 。 (4) 異面直線BA1與CC1的距離為 a 。 6.已知直四棱柱中,,底面 是直角梯形,,,,, ,則異面直線與所成的角為 arccos 。 7.如圖,在長(zhǎng)方體中,分別是的中點(diǎn),分別是的中點(diǎn), (Ⅰ)求證:面; (Ⅱ)求二面角的大?。? (Ⅲ

18、)求三棱錐的體積。 方法一 解:(Ⅰ)證明:取的中點(diǎn),連結(jié) ∵分別為的中點(diǎn) ∵ ∴面,面 ∴面面 ∴面 (Ⅱ)設(shè)為的中點(diǎn) ∵為的中點(diǎn) ∴ ∴面 作,交于,連結(jié),則由三垂線定理得,從而為二面角的平面角。 在中,, 從而 在中, 故二面角的大小為 (Ⅲ) 作,交于,由面得 ∴面 ∴在中, ∴ 方法二:以為原點(diǎn),所在直 線分別為軸,軸,軸,建立直角坐標(biāo)系,則 ∵分別是的中點(diǎn) ∴ (Ⅰ), 取,顯然面,, ∴ 又面 ∴面 (Ⅱ)過作,交于,取的中點(diǎn),則 設(shè),則 又由,及在直線上, 可得,解得 ∴ ∴, 即 ∴與所

19、夾的角等于二面角的大小 故二面角的大小為 (Ⅲ)設(shè)為平面的法向量,則 又 ∴ 即 ∴可取 ∴點(diǎn)到平面的距離為 ∵, ∴ ∴ 8.在直三棱柱中,底面是以為直角的等腰直角三角形,,,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn), (1)求直線與所成的角; (2)在線段上是否存在點(diǎn),使平面?若存在,求出; 若不存在,說明理由。 解:以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系 (1) , , 故直線與所成的角為 (2)假設(shè)存在點(diǎn),使平面,只要且 不妨設(shè)則, , 恒成立 或 故或時(shí),平面 《專題17 空間向量及應(yīng)用》第12頁(共12頁)

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