《2015年高考數(shù)學(xué)（理科）真題分類匯編N單元選修4系列》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2015年高考數(shù)學(xué)（理科）真題分類匯編N單元選修4系列（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 數(shù) 學(xué) N單元 選修4系列 N1 選修4-1 幾何證明選講 15．N1[2015·廣東卷] (幾何證明選講選做題)如圖1-1，已知AB是圓O的直徑，AB＝4，EC是圓O的切線，切點為C，BC＝1.過圓心O作BC的平行線，分別交EC和AC于點D和點P，則OD＝________. 圖1-1 15．8　[解析] 連接OC，因為AB是圓O的直徑，則∠ACB＝，而BC∥OD，故CP⊥OD，由題知CD是圓O的切線，∴CP是Rt△ODC斜邊上的高，由射影定理知OC2＝OP·OD，而OC＝2，OP＝BC＝，∴OD＝＝＝8.

2、 15．N1[2015·湖北卷] (選修4-1：幾何證明選講) 如圖1-4，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線，且BC＝3PB，則＝________． 圖1-4 15.　[解析] 由切割線定理知PA2＝PB·PC，又BC＝3PB，所以PA＝2PB.由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APC＝∠BPA，所以△PAB∽△PCA，所以＝＝. 21．N1[2015·江蘇卷] A．[選修4-1：幾何證明選講]如圖1-5，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圓⊙O的弦AE交BC于點D. 求證：△ABD∽△AEB. 圖1-5 N2B.[選修4-2：矩

3、陣與變換]已知x，y∈R，向量α＝是矩陣A＝的屬于特征值－2的一個特征向量，求矩陣A以及它的另一個特征值． N3C.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]已知圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρsin－4＝0，求圓C的半徑． N4D.[選修4-5：不等式選講]解不等式x＋|2x＋3|≥2. 21．A.證明：因為AB＝AC，所以∠ABD＝∠C. 又因為∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E， 又∠BAE為公共角，所以△ABD∽△AEB. B．解：由已知，得Aα＝－2α，即＝＝，則即所以矩陣A＝. 從而矩陣A的特征多項式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩陣A的另一個特征值為1. C．解：以極坐標

4、系的極點為平面直角坐標系的原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系xOy. 圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρ－4＝0，化簡得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0， 則圓C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6， 所以圓C的半徑為. D．解：原不等式可化為或 解得x≤－5或x≥－. 綜上，原不等式的解集是. 22．N1[2015·全國卷Ⅱ] 選修4-1：幾何證明選講 如圖1-8，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點，⊙O與△ABC的底邊BC交于M，N兩點，與底邊上的高AD交于點G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點． (1)證明：EF

5、∥BC； (2)若AG等于⊙O的半徑，且AE＝MN＝2，求四邊形EBCF的面積． 圖1-8 22．解：(1)證明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分線．又因為⊙O分別與AB，AC相切于點E，F(xiàn)，所以AE＝AF，故AD⊥EF，從而EF∥BC. (2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分線．又EF為⊙O的弦，所以O(shè)在AD上． 連接OE，OM，則OE⊥AE. 由AG等于⊙O的半徑得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等邊三角形． 因為AE＝2，所以AO＝4，OE＝2. 因為OM＝OE＝2，DM

6、＝MN＝，所以O(shè)D＝1.于是AD＝5，AB＝. 所以四邊形EBCF的面積為××－×(2)2×＝. 22．N1[2015·全國卷Ⅰ] 選修4-1：幾何證明選講 如圖1-7，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點E. (1)若D為AC的中點，證明：DE是⊙O的切線； (2)若OA＝CE，求∠ACB的大小． 圖1-7 22．解：(1)證明：連接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB. 在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE. 連接OE，則∠OBE＝∠OEB. 又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝9

7、0°，即DE是⊙O的切線． (2)設(shè)CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝2，BE＝. 由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝，即x4＋x2－12＝0， 可得x＝，所以∠ACB＝60°. N2 選修4-2 矩陣 21．N1[2015·江蘇卷] A．[選修4-1：幾何證明選講]如圖1-5，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圓⊙O的弦AE交BC于點D. 求證：△ABD∽△AEB. 圖1-5 N2B.[選修4-2：矩陣與變換]已知x，y∈R，向量α＝是矩陣A＝的屬于特征值－2的一個特征向量，求矩陣A以及它的另一個特征值． N3C.[選修4-4：

8、坐標系與參數(shù)方程]已知圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρsin－4＝0，求圓C的半徑． N4D.[選修4-5：不等式選講]解不等式x＋|2x＋3|≥2. 21．A.證明：因為AB＝AC，所以∠ABD＝∠C. 又因為∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E， 又∠BAE為公共角，所以△ABD∽△AEB. B．解：由已知，得Aα＝－2α，即＝＝，則即所以矩陣A＝. 從而矩陣A的特征多項式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩陣A的另一個特征值為1. C．解：以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系xOy. 圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρ－4＝0，化簡得ρ2＋

9、2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0， 則圓C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6， 所以圓C的半徑為. D．解：原不等式可化為或 解得x≤－5或x≥－. 綜上，原不等式的解集是. 21．N2、N3、N4[2015·福建卷] (1)選修4-2：矩陣與變換 已知矩陣A＝)，B＝))． (i)求A的逆矩陣A－1； (ii)求矩陣C，使得AC＝B. (2)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸

10、)中，直線l的方程為ρsin＝m(m∈R)． (i)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程； (ii)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值． (3)選修4-5：不等式選講 已知a＞0，b＞0，c＞0，函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值為4. (i)求a＋b＋c的值； (ii)求a2＋b2＋c2的最小值． 21．解：(1)(i)因為|A|＝2×3－1×4＝2， 所以A－1＝)) ＝))． (ii)由AC＝B得(A－1A)C＝A－1B，故 C＝A－1B ＝)))) ＝,),－3)))． (2)(i)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為(x－1)2＋(y＋2)

11、2＝9. 由ρsin＝m，得 ρsin θ－ρcos θ－m＝0. 所以直線l的直角坐標方程為x－y＋m＝0. (ii)依題意，圓心C到直線l的距離等于2， 即＝2，解得m＝－3±2. (3)(i)因為f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c， 當且僅當－a≤x≤b時，等號成立， 又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b， 所以f(x)的最小值為a＋b＋c. 又已知f(x)的最小值為4， 所以a＋b＋c＝4. (ii)由(i)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得 (4＋9＋1)≥＝(a＋b＋c)2＝16， 即a2＋b2＋c2≥

12、， 當且僅當＝＝，即a＝，b＝，c＝時等號成立． 故a2＋b2＋c2的最小值為. N3 選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程 12．N3[2015·安徽卷] 在極坐標系中，圓ρ＝8sin θ上的點到直線θ＝(ρ∈R)距離的最大值是________． 12．6　[解析] 依題意得圓的直角坐標方程為x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16，直線的直角坐標方程為x－y＝0，故圓心到直線的距離d＝＝2，因此圓上的點到直線的最大距離為d＋r＝6. 14．N3[2015·廣東卷] (坐標系與參數(shù)方程選做題)已知直線l的極坐標方程為2ρsin＝，點A的極坐標為A，則點A到直線l的距離為

13、________． 14.　[解析] 直線l的極坐標方程2ρsin＝化為直角坐標方程為x－y＋1＝0，A在直角坐標系中的坐標為，即A(2，－2)，故點A到直線的距離為＝. 16．N3[2015·湖北卷] (選修4-4：坐標系與參數(shù)方程) 在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的極坐標方程為ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，l與C相交于A，B兩點，則|AB|＝________． 16．2　[解析] 將直線l的極坐標方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化為直角坐標方程為3x－y＝0，將曲線C的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為

14、普通方程為y2－x2＝4.聯(lián)立 解得或 不妨設(shè)點A，B，所以＝＝2. 21．N1[2015·江蘇卷] A．[選修4-1：幾何證明選講]如圖1-5，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圓⊙O的弦AE交BC于點D. 求證：△ABD∽△AEB. 圖1-5 N2B.[選修4-2：矩陣與變換]已知x，y∈R，向量α＝是矩陣A＝的屬于特征值－2的一個特征向量，求矩陣A以及它的另一個特征值． N3C.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]已知圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρsin－4＝0，求圓C的半徑． N4D.[選修4-5：不等式選講]解不等式x＋|2x＋3|≥2. 21．A.證明：因為A

15、B＝AC，所以∠ABD＝∠C. 又因為∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E， 又∠BAE為公共角，所以△ABD∽△AEB. B．解：由已知，得Aα＝－2α，即＝＝，則即所以矩陣A＝. 從而矩陣A的特征多項式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩陣A的另一個特征值為1. C．解：以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系xOy. 圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρ－4＝0，化簡得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0， 則圓C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6， 所以圓C的半徑為. D．解：原不

16、等式可化為或 解得x≤－5或x≥－. 綜上，原不等式的解集是. 23．N3[2015·全國卷Ⅱ] 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α<π.在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ. (1)求C2與C3交點的直角坐標； (2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值． 23．解：(1)曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0. 聯(lián)立解得或 所以C2與C3交點的直角坐標為(0，0)和. (2)

17、曲線C1的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A的極坐標為(2sin α，α)， B的極坐標為(2cos α，α)， 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4sin. 故當α＝時，|AB|取得最大值，最大值為4. 23．N3[2015·全國卷Ⅰ] 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求C1，C2的極坐標方程； (2)若直線C3的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積． 23．解

18、：(1)因為x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的極坐標方程為ρcos θ＝－2，C2的極坐標方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝. 又C2的半徑為1，所以△C2MN的面積為. 11．N3[2015·北京卷] 在極坐標系中，點到直線ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距離為________． 11．1　[解析] 利用公式把極坐標轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(1，)，把直線方程ρ(cos θ＋sin θ)＝6轉(zhuǎn)化為x＋y－6＝0.利用點到直線

19、的距離公式可知，d＝＝1. 21．N2、N3、N4[2015·福建卷] (1)選修4-2：矩陣與變換 已知矩陣A＝)，B＝))． (i)求A的逆矩陣A－1； (ii)求矩陣C，使得AC＝B. (2)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，直線l的方程為ρsin＝m(m∈R)． (i)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程； (ii)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值． (3)選修4-5：不等式選講 已知a＞0，b＞0，c＞0，函數(shù)

20、f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值為4. (i)求a＋b＋c的值； (ii)求a2＋b2＋c2的最小值． 21．解：(1)(i)因為|A|＝2×3－1×4＝2， 所以A－1＝)) ＝))． (ii)由AC＝B得(A－1A)C＝A－1B，故 C＝A－1B ＝)))) ＝,),－3)))． (2)(i)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9. 由ρsin＝m，得 ρsin θ－ρcos θ－m＝0. 所以直線l的直角坐標方程為x－y＋m＝0. (ii)依題意，圓心C到直線l的距離等于2， 即＝2，解得m＝－3±2. (3)(i)因為

21、f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c， 當且僅當－a≤x≤b時，等號成立， 又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b， 所以f(x)的最小值為a＋b＋c. 又已知f(x)的最小值為4， 所以a＋b＋c＝4. (ii)由(i)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得 (4＋9＋1)≥＝(a＋b＋c)2＝16， 即a2＋b2＋c2≥， 當且僅當＝＝，即a＝，b＝，c＝時等號成立． 故a2＋b2＋c2的最小值為. N4 選修4-5 不等式選講 5．A2、N4、D3[2015·湖北卷] 設(shè)a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a

22、1，a2，…，an成等比數(shù)列；q：(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2，則(　　) A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 C．p是q的充分必要條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 5．A　[解析] 當p成立，即a1，a2，…，an成等比數(shù)列時，＝＝…＝，滿足柯西不等式(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)≥(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2等號成立的條件，故(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝(a1a2＋a2a3＋…＋ an－1an)2，即q成立；但當q成立時，不一定非要a

23、1，a2，…，an成等比數(shù)列，如：當a1＝1，a2＝a3＝…＝an＝0時，q成立，但不滿足a1，a2，…，an成等比數(shù)列．所以p是q的充分條件，但不是q的必要條件．故選A. 21．N1[2015·江蘇卷] A．[選修4-1：幾何證明選講]如圖1-5，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圓⊙O的弦AE交BC于點D. 求證：△ABD∽△AEB. 圖1-5 N2B.[選修4-2：矩陣與變換]已知x，y∈R，向量α＝是矩陣A＝的屬于特征值－2的一個特征向量，求矩陣A以及它的另一個特征值． N3C.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]已知圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρsin－4＝0，求圓C的

24、半徑． N4D.[選修4-5：不等式選講]解不等式x＋|2x＋3|≥2. 21．A.證明：因為AB＝AC，所以∠ABD＝∠C. 又因為∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E， 又∠BAE為公共角，所以△ABD∽△AEB. B．解：由已知，得Aα＝－2α，即＝＝，則即所以矩陣A＝. 從而矩陣A的特征多項式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩陣A的另一個特征值為1. C．解：以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系xOy. 圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρ－4＝0，化簡得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0， 則圓C的直角坐標方程為x2＋y

25、2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6， 所以圓C的半徑為. D．解：原不等式可化為或 解得x≤－5或x≥－. 綜上，原不等式的解集是. 24．N4[2015·全國卷Ⅱ] 選修4-5：不等式選講 設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d，證明： (1)若ab>cd，則＋>＋； (2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件． 24．證明：(1)(＋)2＝a＋b＋2， (＋)2＝c＋d＋2， 由題設(shè)a＋b＝c＋d，ab>cd， 得(＋)2>(＋)2， 因此＋>＋. (2)(i)若|a－b|<|c－d|，則(a－b)2<(c－d)2，即 (a＋

26、b)2－4ab<(c＋d)2－4cd. 因為a＋b＝c＋d，所以ab>cd. 由(1)得＋>＋. (ii)若＋>＋， 則(＋)2>(＋)2， 即a＋b＋2>c＋d＋2. 因為a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是 (a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2， 因此|a－b|<|c－d|. 綜上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件． 24．N4[2015·全國卷Ⅰ] 選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0. (1)當a＝1時，求不等式f(x)>1的解集； (2)若f(x)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于

27、6，求a的取值范圍． 24．解：(1)當a＝1時，f(x)>1化為|x＋1|－2|x－1|－1>0. 當x≤－1時，不等式化為x－4>0，無解； 當－10，解得0，解得1≤x<2. 所以f(x)>1的解集為. (2)由題設(shè)可得，f(x)＝ 所以函數(shù)f(x)的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，△ABC的面積為(a＋1)2. 由題設(shè)得(a＋1)2>6，故a>2. 所以a的取值范圍為(2，＋∞)． 21．N2、N3、N4[2015·福建卷] (1)選修4-2：

28、矩陣與變換 已知矩陣A＝)，B＝))． (i)求A的逆矩陣A－1； (ii)求矩陣C，使得AC＝B. (2)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，直線l的方程為ρsin＝m(m∈R)． (i)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程； (ii)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值． (3)選修4-5：不等式選講 已知a＞0，b＞0，c＞0，函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值為4. (i)求a＋b＋c的值； (ii)求

29、a2＋b2＋c2的最小值． 21．解：(1)(i)因為|A|＝2×3－1×4＝2， 所以A－1＝)) ＝))． (ii)由AC＝B得(A－1A)C＝A－1B，故 C＝A－1B ＝)))) ＝,),－3)))． (2)(i)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9. 由ρsin＝m，得 ρsin θ－ρcos θ－m＝0. 所以直線l的直角坐標方程為x－y＋m＝0. (ii)依題意，圓心C到直線l的距離等于2， 即＝2，解得m＝－3±2. (3)(i)因為f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c， 當且僅當－a≤x≤b時，等號成立， 又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b， 所以f(x)的最小值為a＋b＋c. 又已知f(x)的最小值為4， 所以a＋b＋c＝4. (ii)由(i)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得 (4＋9＋1)≥＝(a＋b＋c)2＝16， 即a2＋b2＋c2≥， 當且僅當＝＝，即a＝，b＝，c＝時等號成立． 故a2＋b2＋c2的最小值為. N5 優(yōu)選法與試驗設(shè)計