《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第7章 第4節(jié) 歸納與類比 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第7章 第4節(jié) 歸納與類比 Word版含解析（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第四節(jié)　歸納與類比 [最新考綱]　1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進(jìn)行簡單的推理，體會合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.2.了解演繹推理的含義.3.掌握演繹推理的基本模式，能運用它們進(jìn)行一些簡單的演繹推理． 1．歸納推理 (1)定義：根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個都有這種屬性的推理方式． (2)特點：①是由部分到整體，由個別到一般的推理． ②利用歸納推理得出的結(jié)論不一定是正確的． 2．類比推理 (1)定義：由于兩類不同對象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類對象的其他特征，推斷另一類對象也具有類似的其他特征的推理過程． (2)特點：①

2、是兩類事物特征之間的推理，是由特殊到特殊的推理． ②利用類比推理得出的結(jié)論不一定是正確的． 3．合情推理 (1)定義：是根據(jù)實驗和實踐的結(jié)果，個人的經(jīng)驗和直覺，已有的事實和正確的結(jié)論(定義、公理、定理等)，推測出某些結(jié)果的推理方式． (2)歸納推理和類比推理是最常見的合情推理． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確．(　　) (2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．(　　) (3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適．(　　) [答案]　(1)×　

3、(2)√　(3)× 二、教材改編 1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，n≥2時，an＝an－1＋2n－1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是(　　) A．a(chǎn)n＝3n－1　　　 B．a(chǎn)n＝4n－3 C．a(chǎn)n＝n2 D．a(chǎn)n＝3n－1 C　[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.] 2．觀察下列各式： a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝(　　) A．28 B．76 C．123 D．199 C　[由題意可知，a6＋b6＝7＋11＝18； a7＋b7＝11＋18＝29；a8＋b8＝18

4、＋29＝47； a9＋b9＝29＋47＝76； a10＋b10＝47＋76＝123.] 3．如圖(1)有面積關(guān)系：＝，則由圖(2)有體積關(guān)系：＝________. (1)　　　　　　(2) 　[平面上的面積可類比到空間上的體積． ＝＝.] 4．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N＋)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則存在的等式為________． b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)　[利用類比推理，借助等比數(shù)列的性質(zhì)， b＝b1＋n·b17－n， 可知存在

5、的等式為b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．] 考點1　歸納推理 　與數(shù)字或式子有關(guān)的推理 　(1)與數(shù)字有關(guān)的數(shù)陣(或數(shù)表)問題，要觀察數(shù)字特征，數(shù)字與序號間的關(guān)系及其變化規(guī)律，一般要結(jié)合數(shù)列知識求解． (2)與式子有關(guān)的問題，要特別注意所給幾個等式(或不等式)中項數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律，歸納推理得出一般結(jié)論． 　(1)(2019·皖南八校月考)將正整數(shù)依次排列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

6、 19 20 21 … … … … … … 由表知第5行第3列的數(shù)是13，若第2 020行第2列的數(shù)是a，則a的各位數(shù)字中，數(shù)字0的個數(shù)為(　　) A．0　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．2 (2)(2019·山東省實驗中學(xué)等四校聯(lián)考)觀察下列式子，ln 2＞，ln 3＞＋，ln 4＞＋＋，…，根據(jù)上述規(guī)律，第n個不等式應(yīng)該為________． (1)B　(2)ln(n＋1)＞＋＋…＋　[(1)由題前n行中共有1＋2＋3＋…＋n＝個整數(shù)，故第2 019行中最后一個數(shù)：＝2 039 190， 第2020行中第2列的數(shù)為：2 039 190＋2＝2 039 1

7、92，故0的個數(shù)為1，故選B. (2)根據(jù)題意，對于第一個不等式，ln 2＞，則有l(wèi)n(1＋1)＞， 對于第二個不等式，ln 3＞＋，則有 ln(2＋1)＞＋， 對于第三個不等式，ln 4＞＋＋，則有 ln(3＋1)＞＋＋， 依此類推： 第n個不等式為：ln(n＋1)＞＋＋…＋.] 　與數(shù)字或式子有關(guān)的推理主要考查數(shù)列的通項的求法，即從題設(shè)信息中發(fā)現(xiàn)數(shù)式變化規(guī)律，運用歸納猜想可解，重視由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想． 　1.(2019·安慶模擬)《周易》歷來被人們視為儒家經(jīng)典之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認(rèn)識，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映了中國古代的二進(jìn)制計數(shù)的

8、思想方法．我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻“”當(dāng)做數(shù)字“1”，把陰爻“”當(dāng)做數(shù)字“0”，則八卦代表的數(shù)表示如下： 卦名 符號 表示的二進(jìn)制數(shù) 表示的十進(jìn)制數(shù) 坤 000 0 震 001 1 坎 010 2 兌 011 3 以此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號“”表示的十進(jìn)制數(shù)是(　　) A．18 B．17 C．16 D．15 B　[由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號“”表示二進(jìn)制數(shù)的010001，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的計算為1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故選B.] 2．對大于或等于2的自然數(shù)m的n次方冪

9、有如下分解方式： 22＝1＋3；32＝1＋3＋5；42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19. 根據(jù)上述分解規(guī)律，則52＝1＋3＋5＋7＋9，若m3(m∈N＋)的分解中最小的數(shù)是73，則m的值為________． 9　[根據(jù)23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19，從23起，m3的分解規(guī)律恰為數(shù)列3,5,7,9…中若干連續(xù)項之和，23為前兩項和，33為接下來三項和，故m3的首個數(shù)為m2－m＋1.因為m3(m∈ N＋)的分解中最小的數(shù)是73，所以m2－m＋1＝73，解得m＝9.] 　與圖形變化有關(guān)的推理 　與圖形變化有關(guān)

10、的推理，其解題切入點： (1)從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值變化與序號的關(guān)系；(2)從圖形的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化后，與上一次比較，結(jié)構(gòu)、數(shù)值發(fā)生了怎樣的變化，探求規(guī)律． 　如圖所示，第n個圖形是由正n＋2邊形拓展而來(n＝1,2，…)，則第n－2(n≥3)個圖形共有________個頂點． ①　　 ②　　 ?、邸　　?　④ n2＋n　[第一個圖有3＋3×3＝4×3個頂點； 第二個圖有4＋4×4＝5×4個頂點； 第三個圖有5＋5×5＝6×5個頂點； 第四個圖有6＋6×6＝7×6個頂點； …… 第n個圖有(n＋3)(n＋2)個頂點， 第n－2個圖形

11、共有n(n＋1)＝n2＋n個頂點．] 　與圖形變化有關(guān)的推理常借助特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡裕? 　(2019·呼和浩特模擬)分形理論是當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科．其中，把部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形．分形是一種具有自相似特性的現(xiàn)象、圖像或者物理過程．標(biāo)準(zhǔn)的自相似分形是數(shù)學(xué)上的抽象，迭代生成無限精細(xì)的結(jié)構(gòu)．也就是說，在分形中，每一組成部分都在特征上和整體相似，只僅僅是變小了一些而已，謝爾賓斯基三角形就是一種典型的分形， 是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出的，按照如下規(guī)律依次在一個黑色三角形內(nèi)去掉小三角形，則當(dāng)n＝6時，該黑色三角形內(nèi)去掉

12、小三角形個數(shù)為(　　) n＝1　　 　n＝2　　　n＝3 A．81 B．121 C．364 D．1 093 C　[由題圖可知，每一個圖形中小三角形的個數(shù)等于前一個圖形小三角形個數(shù)的3倍加1， 所以，n＝1時，a1＝1； n＝2時，a2＝3＋1＝4； n＝3時，a3＝3×4＋1＝13； n＝4時，a4＝3×13＋1＝40； n＝5時，a5＝3×40＋1＝121； n＝6時，a6＝3×121＋1＝364，故選C.] 考點2　類比推理 　類比推理的應(yīng)用類型及解題方法 類比 定義 在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時，可以借助原定義來求解 類比 性質(zhì)

13、從一個特殊式子的性質(zhì)、一個特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵 類比 方法 有一些處理問題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識的遷移 　(1)(2019·太原模擬)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的 論割圓術(shù)中有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程．比如在表達(dá)式1＋中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式 卻是個定值，它可以通過方程1＋＝x(x＞0)求得x＝.類比上述方法，則＝(　　) A．3 B. C．6 D

14、．2 (2)若點P0(x0，y0)在橢圓＋＝1(a>b>0)外，過點P0作該橢圓的兩條切線，切點分別為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線的方程為＋＝1.那么對于雙曲線－＝1(a>0，b>0)，類似地，可以得到一個正確的切點弦方程為________． (1)A　(2)－＝1　[(1)由題意結(jié)合所給的例子類比推理可得＝x(x≥0)，整理得(x＋1)(x－3)＝0，則x＝3，x＝－1(舍)，即＝3，故選A. (2)若點P0(x0，y0)在雙曲線－＝1(a>0，b>0)外，過點P0作該雙曲線的兩條切線，切點分別為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線的方程為－＝1.] 　類比推理的關(guān)鍵是找到合

15、適的類比對象，推理的一般步驟為：先找出兩類事物之間的相似性或一致性，再用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)． [教師備選例題] 1．我國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦．若a，b，c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則a2＋b2＝c2，稱這個定理為勾股定理．現(xiàn)將這一定理推廣到立體幾何中：在四面體O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA ＝90°，S為頂點O所對面△ABC的面積，S1，S2，S3分別為側(cè)面△OAB，△OAC，△OBC的面積，則下列選項中對于S，S1，S2，S3滿足的關(guān)系描述正確的為(　　) A．S2

16、＝S＋S＋S B．S2＝＋＋ C．S＝S1＋S2＋S3 　　 D．S＝＋＋ A　[如圖，作OD⊥BC于點D，連接AD，則AD⊥BC，從而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝2＋2＋2＝S＋S＋S.] 2．“求方程x＋x＝1的解”有如下解題思路：設(shè)f(x)＝x＋x，則f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2.類比上述解題思路，不等式x6－(x＋2)＞(x＋2)3－x2的解集是________． (－∞，－1)∪(2，＋∞)　[不等式x6－(x＋2)＞(x＋2)3－x2變形為x6＋x2＞(x＋2)3

17、＋(x＋2)， 令u＝x2，v＝x＋2， 則x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)轉(zhuǎn)化為u3＋u＞v3＋v. 設(shè)f(x)＝x3＋x，知f(x)在R上為增函數(shù)， ∴由f(u)＞f(v)，得u＞v. 不等式x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)可化為x2＞x＋2， 解得x＜－1或x＞2. ∴所求解集為(－∞，－1)∪(2，＋∞)．] 　在平面幾何中，若正方形ABCD的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則＝，推廣到立體幾何中，若正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則＝________. 　[正方形ABCD的內(nèi)切圓的半徑為r1，外接圓的半徑為r2，半徑

18、比＝，面積比為半徑比的平方，＝，正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球的半徑為R1，外接球的半徑為R2，半徑比＝，所以體積比是半徑比的立方，＝.] 考點3　生活中的合情推理 　假設(shè)反證法解決邏輯推理問題：先假設(shè)題中給出的某種情況是正確的，并以此為起點進(jìn)行推理．如果推理導(dǎo)致矛盾，則證明此假設(shè)是錯誤的，再重新提出一個假設(shè)繼續(xù)推理，直到得到符合要求的結(jié)論為止． 　(2019·全國卷Ⅱ)在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進(jìn)行預(yù)測． 甲：我的成績比乙高． 乙：丙的成績比我和甲的都高． 丙：我的成績比乙高． 成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確，那么三人按成績由高

19、到低的次序為(　　) A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 A　[若甲預(yù)測正確，則乙、丙預(yù)測錯誤，則甲比乙成績高，丙比乙成績低，故3人成績由高到低依次為甲，乙，丙；若乙預(yù)測正確，則丙預(yù)測也正確，不符合題意；若丙預(yù)測正確，則甲必預(yù)測錯誤，丙比乙的成績高，乙比甲成績高，即 丙比甲、乙成績都高，即乙預(yù)測正確，不符合題意，故選A.] 　對于邏輯推理問題，求解的關(guān)鍵是以肯定某個事物(某句話等)為基準(zhǔn)，推出矛盾，進(jìn)而得出結(jié)論． 　(2019·東北三省三校一模)甲、乙、丙三人中，只有一個會彈鋼琴，甲說：“我會”，乙說：“我不會”，丙說：“甲不會”，如果這三句話只有一句是真的，那么會彈鋼琴的是_____． 乙　[假設(shè)甲會，那么甲、乙說的都是真話，與題意矛盾，所以甲不會；假設(shè)乙會，那么甲、乙說的都是假話，丙說的是真話，符合題意；假設(shè)丙會，那么乙、丙說的都是真話，與題意矛盾．故答案是乙．]